Exercice 19, § 4

Soit $E$ le sous-espace de l’espace de Banach $\mathscr{C}([ - 1, 1 ]; \mathbf{R})$ des applications continues de $[ - 1, 1 ]$ dans $\mathbf{R}$ formé des polynômes. Soit de même $F$ le sous-espace de $\mathscr{C}([0, 1 ]; \mathbf{R})$ formé des polynômes. Soit $u$ l’application qui, à tout polynôme $f \in E$ fait correspondre le polynôme $t \mapsto \frac{1}{2}(f(\sqrt{t}) + f(-\sqrt{t}))$ dans $F$. Soit d’autre part $w$ l’application linéaire de $E$ dans $F$ qui, à tout polynôme $f \in E$ fait correspondre sa restriction à $[0, 1 ]$. Montrer que $u$ est un morphisme strict de $E$ sur $F$, mais que pour aucun $\varepsilon > 0$, $u + \varepsilon w$ n’est un morphisme strict de $E$ dans $F$.