Bài tập 19, § 4

Cho E là không gian con của không gian Banach $C([ - 1, 1]) ; \mathbf{R}$ gồm tất cả các ánh xạ liên tục từ $[-1, 1]$ vào $\mathbf{R}$, gồm các đa thức. Tương tự, cho F là không gian con của $C([0, 1]) ; \mathbf{R}$ gồm tất cả các đa thức. Cho $u$ là ánh xạ gán cho mỗi đa thức $f \in E$, đa thức $t \mapsto \frac{1}{2}(f(\sqrt{t}) + f(-\sqrt{t}))$ trong F. Ngoài ra, cho $w$ là ánh xạ từ E vào F gán cho mỗi đa thức $f \in E$ hạn chế của nó lên $[0, 1]$. Chứng minh rằng $u$ là một cấu xạ ngặt từ E lên F, nhưng với mọi $\varepsilon > 0$, $u + \varepsilon w$ không phải là một cấu xạ ngặt từ E vào F.