Exercice 2, § 4

Soit E un espace localement convexe séparé tel qu'il existe dans son dual $E'$ un ensemble convexe $B'$ compact pour $\sigma(E', E)$ et de dimension infinie (condition réalisée par exemple lorsque E est un espace vectoriel de dimension infinie muni de $\sigma(E, E^*)$). Montrer qu'il existe une forme linéaire $u \in {E'}^*$ non bornée sur $B'$; en déduire que $B'$ n'est pas compact pour la topologie $\sigma(E', F)$, où F est le sous-espace $E + Ru$ de ${E'}^*$. Conclure de là que l'injection canonique de E dans F est un morphisme strict pour les topologies $\sigma(E, E')$ et $\sigma(F, E')$, mais non pour les topologies $\tau(E, E')$ et $\tau(F, E')$.