Exercice 20, § 4

a) Soient $E, F$ deux espaces de Banach, $u$ un morphisme strict de $E$ dans $F$, tel que $u^{-1}(0)$ soit de dimension finie. Montrer que, pour toute application linéaire continue $w$ de $E$ dans $F$, de norme assez petite, $v = u + w$ est un morphisme strict de $E$ dans $F$ et l’on a l’inégalité $\dim v^{-1}(0) \leq \dim u^{-1}(0)$. (Écrire $E$ comme somme directe topologique de $u^{-1}(0)$ et d’un sous-espace fermé et utiliser l’exerc. 18 de IV, p. 66.) b) Soient $E, F$ deux espaces de Banach, $u$ une application linéaire continue de $E$ dans $F$ telle que $u(E)$ soit de codimension finie dans $F$. Alors $u(E)$ est fermé et $u$ est un morphisme strict (I, p. 28, exerc. 4). Montrer que pour toute application linéaire continue $w$ de $E$ dans $F$, de norme assez petite, $v = u + w$ est un morphisme strict de $E$ dans $F$ et

(considérer $^tv = ^tu + ^tw$, et utiliser $a$) et IV, p. 29, cor. 3).

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EVT IV.67