Bài tập 20, § 4

a) Cho E, F là hai không gian Banach, $u$ là một cấu xạ ngặt từ E vào F, sao cho $u^{-1}(0)$ có chiều hữu hạn. Chứng minh rằng với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục $w$ từ E vào F có chuẩn đủ nhỏ, $v = u + w$ là một cấu xạ ngặt từ E vào F và $\dim v^{-1}(0) \leq \dim u^{-1}(0)$. (Viết E thành tổng trực tiếp tôpô của $u^{-1}(0)$ và một không gian con đóng, rồi sử dụng bài tập 18 của IV, p. 66.) b) Cho E, F là hai không gian Banach, $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F sao cho $u(E)$ có đối chiều hữu hạn trong F. Khi đó $u(E)$ là đóng và $u$ là một cấu xạ ngặt (I, p. 28, bài tập 4). Chứng minh rằng với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục $w$ từ E vào F, có chuẩn đủ nhỏ, $v = u + w$ là một cấu xạ ngặt từ E vào F và

(xét $^tv = ^tu + ^tw$, và sử dụng a) và IV, p. 30, hệ quả 3).