Exercice 21, § 4

Soient E, F deux espaces de Banach. On dit qu'une application linéaire continue u de E dans F est un opérateur de Fredholm (ou un quasi-isomorphisme) si $u^{-1}(0)$ est de dimension finie et $u(E)$ de codimension finie (ce qui implique que $u(E)$ est fermé dans F et u un morphisme strict); on appelle indice de u le nombre $\mathrm{Ind}(u) = \mathrm{codim}(u(E)) - \dim(u^{-1}(0))$. a) Montrer que $'u : F' \to E'$ est aussi un opérateur de Fredholm et que l'on a $\mathrm{Ind}('u) = -\mathrm{Ind}(u)$. b) Si $u : E \to F$ et $v : F \to G$ sont deux opérateurs de Fredholm, il en est de même de $v \circ u : E \to G$, et on a $\mathrm{Ind}(v \circ u) = \mathrm{Ind}(u) + \mathrm{Ind}(v)$. c) Si $w : E \to F$ est une application linéaire continue de rang fini ou de norme assez petite, $u + w$ est un opérateur de Fredholm et on a $\mathrm{Ind}(u + w) = \mathrm{Ind}(u)$ (utiliser les exerc. 17, c) et 18, b) de IV, p. 66).