Bài tập 21, § 4

Cho E và F là hai không gian Banach. Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F được gọi là một toán tử Fredholm (hoặc một quasi-đẳng cấu) nếu $u^{-1}(0)$ là hữu hạn chiều và $u(E)$ có đối chiều hữu hạn (điều này kéo theo rằng $u(E)$ là đóng trong F và $u$ là một cấu xạ ngặt); số $\operatorname{Ind}(u) = \operatorname{codim}(u(E)) - \dim(u^{-1}(0))$ được gọi là chỉ số của $u$. a) Chứng minh rằng $^tu : F' \to E'$ cũng là một toán tử Fredholm và rằng $\operatorname{Ind}(^tu) = - \operatorname{Ind}(u)$. b) Nếu $u : E \to F$ và $v : F \to G$ là hai toán tử Fredholm, thì $v \circ u : E \to G$ cũng là một toán tử Fredholm và $\operatorname{Ind}(v \circ u) = \operatorname{Ind}(u) + \operatorname{Ind}(v)$. c) Nếu $w : E \to F$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục có hạng hữu hạn hoặc có chuẩn đủ nhỏ, thì $u + w$ là một toán tử Fredholm và $\operatorname{Ind}(u + w) = \operatorname{Ind}(u)$ (sử dụng Bài tập 17, c) của IV, p. 65 và 18, b)).