Exercice 22, § 4

Soient X un espace de Banach réel, E un sous-espace de X de dimension finie. a) Soit S la sphère unité dans X. Montrer que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un nombre fini de points $z_i \in S$ ($1 \leq i \leq r$) qui sont linéairement indépendants et tels que, pour tout $x \in S \cap E$, il existe un indice i tel que $\|x - z_i\| \leq \varepsilon$. b) Soient $z'_i$ ($1 \leq i \leq r$) des points du dual $E'$ de E tels que $\langle z_i, z'_j \rangle = \delta_{ij}$ (indice de Kronecker), de sorte que $\|z'_i\| \geq 1$ pour tout i, et soit F le sous-espace fermé, de codimension r dans E, orthogonal au sous-espace de $E'$ engendré par les $z'_i$. Montrer que, pour tout $x \in S \cap E$ et tout $y \in F$, on a $\|x + y\| \geq 1 - \varepsilon$, et en particulier $E \cap F = \{0\}$, de sorte que la somme $E + F$ est une somme directe topologique. c) Déduire de b) que le projecteur continu P de $E + F$ sur E, correspondant à la décomposition $E \oplus F$ en somme directe topologique, a une norme $\|P\| \leq 1/(1 - \varepsilon)$.