Bài tập 22, § 4

Cho X là một không gian Banach thực, E là một không gian con hữu hạn chiều của X. a) Cho S là mặt cầu đơn vị trong X. Chứng minh rằng với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một số hữu hạn các điểm độc lập tuyến tính $z_i \in S$ ($1 \leq i \leq r$) sao cho với mọi $x \in S \cap E$, tồn tại một chỉ số $i$ sao cho $\|x - z_i\| \leq \varepsilon$. b) Cho $z'_i$ ($1 \leq i \leq r$) là các điểm trong không gian đối ngẫu $E'$ của E với $\|z'_i\| \geq 1$ với mọi $i$, và $\langle z_i, z'_j \rangle = \delta_{ij}$ (chỉ số Kronecker), và cho F là không gian con đóng có đối chiều $r$ trong E vuông góc với không gian con của E' sinh bởi các $z'_i$. Chứng minh rằng với mọi x ∈ S ∩ E và với mọi y ∈ F, $\|x + y\| \geq 1 - \varepsilon$, và đặc biệt, E ∩ F = {0}, sao cho tổng E + F là tổng trực tiếp tôpô. c) Suy ra từ b) rằng phép chiếu liên tục P từ E + F lên E tương ứng với tổng trực tiếp tôpô phân tích E ⊕ F có chuẩn $\|P\| < 1/(1 - \varepsilon)$.