Exercice 23, § 4

Soit X un espace de Banach réel de dimension infinie. a) On suppose que, pour tout $\lambda > 0$, il existe un sous-espace $E_\lambda$ de X, de dimension finie, tel qu'il n'existe aucun projecteur continu P de X ayant $E_\lambda$ pour image et tel que $\|P\| \leq \lambda$. Montrer que tout sous-espace fermé Y de X, de codimension finie, a alors la même propriété que X. b) Montrer par récurrence sur n qu'il existe une suite décroissante $(X_n)$ de sous-espaces fermés de X, de codimension finie, et pour chaque n un sous-espace $E_n$ de $X_n$, de dimension finie, tels que : 1° la somme $E_1 + E_2 + \cdots + E_n$ est directe, et il existe un projecteur continu $P_n$ dans $X_n$, de norme $\leq 2$ et dont l'image est $E_1 + E_2 + \cdots + E_n$; 2° l'espace $E_n$ est contenu dans $(I - P_{n-1}) (X_{n-1})$; 3° il n'existe aucun projecteur continu de X, d'image $E_n$ et de norme $\leq n + 2$. c) Soit Z le sous-espace fermé de X engendré par la réunion des $E_n$. Montrer qu'il n'existe pas de supplémentaire topologique de Z dans X (observer que si Q était un projecteur continu de X, d'image Z, $(I - P_{n-1}) P_n Q$ serait un projecteur continu de X, d'image $E_n$).