Bài tập 23, § 4

Cho X là một không gian Banach thực vô hạn chiều. a) Giả sử rằng với mọi λ > 0, tồn tại một không gian con hữu hạn chiều E_λ của X sao cho không tồn tại phép chiếu liên tục P trên X có ảnh là E_λ và sao cho \|P\| ≤ λ. Chứng minh rằng mọi không gian con đóng Y của X có đối chiều hữu hạn đều có cùng tính chất như X. b) Bằng quy nạp theo n, chứng minh rằng tồn tại một dãy giảm (X_n) các không gian con đóng của X, có đối chiều hữu hạn, và với mọi n, một không gian con hữu hạn chiều E_n của X sao cho: 1° tổng E_1 + E_2 + ⋯ + E_n là trực tiếp, và tồn tại một phép chiếu liên tục P_n trên X_n, với chuẩn ≤ 2 có ảnh là E_1 + E_2 + ⋯ + E_n; 2° không gian E_n được chứa trong (I − P_{n−1})(X_{n−1}); 3° không tồn tại phép chiếu liên tục nào trên X có ảnh là E_n và có chuẩn ≤ n + 2. c) Cho Z là không gian con đóng của X sinh bởi hợp của các E_n. Chứng minh rằng không tồn tại một không gian bù tôpô của Z trong X (nhận xét rằng nếu Q là một phép chiếu liên tục trên X, có ảnh là Z, thì (I − P_{n−1})P_nQ sẽ là một phép chiếu liên tục trên X có ảnh là E_n).