Exercice 5, § 4

Soient E et F deux espaces normés, $u$ une application linéaire continue de E dans F. a) Montrer que, si $u$ est un morphisme strict de E dans F, $u$ est un morphisme strict du dual fort $F'_b$ dans le dual fort $E'_b$. b) Montrer que si E est complet, et si $u$ est un morphisme strict de $F'_b$ dans $E'_b$, $u$ est un morphisme strict de E dans F, et $u$ est un morphisme strict de $F'$ dans $E'$ pour les topologies faibles $\sigma(F', F)$ et $\sigma(E', E)$ (considérer F comme sous-espace de son complété). c) Donner un exemple où E est non complet, F complet, $u$ un morphisme strict injectif de F' dans E' pour les topologies fortes et pour les topologies faibles, mais $u$ n'est pas un morphisme strict de E dans F ($cf.$ II, p. 79, exerc. 5). d) Donner un exemple où E est non complet, F complet, $u$ un morphisme strict injectif de E dans F, $u$ un morphisme strict de F' dans E' pour les topologies fortes, mais non pour les topologies faibles (prendre E partout dense dans F). e) Si F est complet et si $u$ est un morphisme strict de F' dans E' pour les topologies faibles, $u$ est un morphisme strict de F' dans E' pour les topologies fortes (prolonger $u$ à $\hat{E}$). f) Donner un exemple où E est complet, F non complet, $u$ un morphisme strict de F' dans E' pour les topologies faibles mais non pour les topologies fortes ($cf.$ II, p. 79, exerc. 5).