Bài tập 5, § 4

Cho E và F là hai không gian định chuẩn, u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. a) Chứng minh rằng nếu u là một cấu xạ ngặt từ E vào F, thì 'u là một cấu xạ ngặt từ đối ngẫu mạnh F'_b vào đối ngẫu mạnh E'_b. b) Giả sử E đầy đủ; chứng minh rằng nếu 'u là một cấu xạ ngặt từ F'_b vào E'_b, thì u là một cấu xạ ngặt từ E vào F, và 'u là một cấu xạ ngặt từ F' vào E' đối với các tôpô yếu σ(F', F) và σ(E', E) (xét F như một không gian con của bao đầy đủ của nó). c) Cho một ví dụ trong đó E không đầy đủ, F đầy đủ, 'u là một cấu xạ đơn ánh ngặt từ F' vào E' đối với các tôpô mạnh và đối với các tôpô yếu, nhưng u không là một cấu xạ ngặt từ E vào F (xem II, p. 74, bài tập 5). d) Cho một ví dụ trong đó E không đầy đủ, F đầy đủ, u là một cấu xạ đơn ánh ngặt từ E vào F, 'u là một cấu xạ ngặt từ F' vào E' đối với các tôpô mạnh, nhưng không phải đối với các tôpô yếu (lấy E trù mật khắp nơi trong F). e) Nếu F đầy đủ và nếu 'u là một cấu xạ ngặt từ F' vào E' đối với các tôpô yếu, thì 'u là một cấu xạ ngặt từ F' vào E' đối với các tôpô mạnh (mở rộng u lên Ē). f) Cho một ví dụ trong đó E đầy đủ, F không đầy đủ, 'u là một cấu xạ ngặt từ F' vào E' đối với các tôpô yếu nhưng không phải đối với các tôpô mạnh (xem II, p. 74, bài tập 5).