Exercice 6, § 4

Soit E l’espace localement convexe métrisable obtenu en munissant l’espace $\ell^1(\mathbf{N})$ (I, p. 4) de la topologie induite par celle de l’espace produit $\mathbf{R}^\mathbf{N}$; son dual $E'$ s’identifie à $\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}$ et la topologie $\tau(E', E)$ est la topologie induite sur $E'$ par la topologie de la norme de $c_0(\mathbf{N})$ (IV, p. 47, exerc. 1). Montrer que si $u$ est une application linéaire continue surjective de $E$ sur un espace tonnelé séparé $F$, $F$ a nécessairement une dimension finie. (Observer que $'u$ est un isomorphisme de $F'$, muni de $\sigma(F', F)$, sur un sous-espace de $E'$ muni de $\sigma(E', E)$; du fait que $F$ est tonnelé, conclure que $'u(F')$, muni de la topologie induite par $\tau(E', E)$, est un espace de Banach, et utiliser l’exerc. 24 de II, p. 85.)