Bài tập 6, § 4

Cho E là không gian lồi địa phương mêtric được trang bị bởi tôpô của tích cảm sinh bởi tôpô của không gian tích $\mathbf{R}$^$\mathbf{N}$; đối ngẫu của nó E' có thể được đồng nhất với $\mathbf{R}$^{($\mathbf{N}$)} và tôpô τ(E', E) là tôpô cảm sinh trên E' bởi tôpô chuẩn của c_0($\mathbf{N}$) (IV, p. 47, exerc. 1). Chứng minh rằng nếu u là một ánh xạ tuyến tính liên tục toàn ánh từ E lên một không gian Hausdorff khả thùng F, thì F nhất thiết hữu hạn chiều. (Nhận xét rằng 'u là một đẳng cấu từ F', được trang bị bởi σ(F', F), lên một không gian con của E', được trang bị bởi σ(E', E); từ sự kiện F là khả thùng, kết luận rằng 'u(F') được trang bị bởi tôpô cảm sinh bởi τ(E', E), là một không gian Banach, và sử dụng bài tập 24 của II, p. 80.)