Exercice 7, § 4

a) Soient $E$ un espace de Banach, et $(x_\alpha)_{\alpha \in A}$ un ensemble partout dense dans la sphère unité de $E$. Soit $u$ l’application linéaire de l’espace $\ell^1(A)$ (I, p. 4) dans $E$ définie par $u(t) = \sum_{\alpha \in A} t(\alpha)x_\alpha$ pour tout $t = (t(\alpha))_{\alpha \in A}$ appartenant à $\ell^1(A)$. Montrer que $u$ est un morphisme strict de $\ell^1(A)$ sur $E$, et par suite que $E$ est isomorphe à un espace quotient de $\ell^1(A)$. b) Déduire de a) un exemple de sous-espace fermé de l’espace $\ell^1(\mathbf{N})$ qui n’admet pas de supplémentaire topologique dans $\ell^1(\mathbf{N})$ (prendre pour $E$ l’espace $c_0(\mathbf{N})$ et utiliser IV, p. 54, exerc. 15, b) et p. 55, exerc. 18).