Bài tập 7, § 4

a) Cho E là một không gian Banach, và $(x_\alpha)_{\alpha\in A}$ là một tập hợp trù mật khắp nơi trong mặt cầu đơn vị của E. Cho u là ánh xạ tuyến tính từ không gian $\ell^1$(A)(I, p. 4) vào E được xác định bởi u(t) = $\sum_{\alpha\in A} t(\alpha)x_\alpha$ với mọi $t = (t(\alpha))_{\alpha\in A}$ thuộc $\ell^1$(A). Chứng minh rằng u là một cấu xạ ngặt từ $\ell^1$(A) lên E và do đó E là đẳng cấu với một không gian thương của $\ell^1$(A).

b) Từ a) suy ra một ví dụ về một không gian con đóng của $\ell^1(\mathbf{N})$ không có phần bù tôpô trong $\ell^1(\mathbf{N})$ (lấy E là $c_0(\mathbf{N})$ và sử dụng IV, p. 54, exerc. 15, $b$) và p. 55, exerc. 18).