Exercice 8, § 4

Pour tout entier $n > 0$, soit $a^{(n)}$ la suite double $a^{(n)} = (a_{ij}^{(n)})_{i \geq 1, j \geq 1}$ définie par $a_{ij}^{(n)} = j^n$ pour tout couple $(i, j)$ tel que $i < n$, et $a_{ij}^{(n)} = i^n$ pour tout couple $(i, j)$ tel que $i \geq n$. Soit $E$ l’espace vectoriel des suites doubles $x = (x_{ij})$ de nombres réels telles que, pour tout entier $n > 0$, on ait $p_n(x) = \sum_{i,j} a_{ij}^{(n)} |x_{ij}| < + \infty$; les $p_n$ sont des semi-normes définissant sur $E$ une topologie d’espace de Fréchet et d’espace de Montel (IV, p. 60, exerc. 11); le dual $E'$ de $E$, qui est un espace (DF) et un espace de Montel (donc ultrabornologique et réflexif) est identifié à l’espace des suites $x' = (x'_{ij})$ telles que, pour un indice $n$ au moins, on ait la relation $\sup_{i,j} |a_{ij}^{(n)}|^{-1} |x'_{ij}| < + \infty$ (IV, p. 47, exerc. 1, c)). a) Pour tout $x = (x_{ij}) \in E$, soit $y_j = \sum_i x_{ij}$ (pour tout $j \geq 1$). Montrer que l’on a $\sum_j |y_j| < + \infty$; on désigne par $u(x)$ la suite $(y_j) \in \ell^1(\mathbf{N})$; montrer que $u$ est une application linéaire continue de $E$ dans $F = \ell^1(\mathbf{N})$, et que pour toute suite $y' = (y'_j) \in F' = \ell^\infty(\mathbf{N}), 'u(y')$ est la suite $(z'_{ij}) \in E'$ telle que $z'_{ij} = y'_j$ pour tout indice $i$. En déduire que $'u$ est une application linéaire injective de $\ell^\infty(\mathbf{N})$ sur un sous-espace de $E'$ fermé pour $\sigma(E', E)$, et par suite que $u$ est un morphisme strict de $E$ sur $\ell^1(\mathbf{N})$ pour les topologies initiales, et $'u$ un isomorphisme de $F' = \ell^\infty(\mathbf{N})$ sur $'u(F')$ pour les topologies faibles $\sigma(F', F)$ et $\sigma(E', E)$. b) Soit $M = u^{-1}(0)$; on a $M^\circ = 'u(F')$. Montrer que l’image réciproque par $'u$ de la topologie induite sur $M^\circ$ par la topologie forte de $E'$ est la topologie de la convergence uniforme dans les parties compactes de $F$ (IV, p. 28, th. 1 et p. 54, exerc. 15). En déduire que sur $M^\circ$ la topologie induite par la topologie forte $\beta(E', E)$ n’est pas la topologie forte $\beta(M^\circ, E/M)$, et que pour la topologie induite par $\beta(E', E)$, $M^\circ$ n’est pas un espace infratonné, bien que ce soit un sous-espace fermé d’un espace de Montel ultrabornologique; d’autre part $E/M$, quotient d’un espace de Fréchet et de Montel par un sous-espace fermé, n’est pas réflexif. Montrer qu’il existe dans $E/M$ des ensembles bornés qui ne sont pas images canoniques de parties bornées de $E$.