Bài tập 8, § 4

Với mọi số nguyên $n > 0$, gọi $a^{(n)}$ là dãy kép $a^{(n)} = (a_{ij}^{(n)})_{i \geq 1, j \geq 1}$ được định nghĩa bởi $a_{ij}^{(n)} = j^n$ đối với mọi cặp $(i, j)$ sao cho $i < n$ và $a_{ij}^{(n)} = i^n$ đối với mọi cặp $(i, j)$ sao cho $i \geq n$. Gọi E là không gian vectơ của các dãy kép $x = (x_{ij})$ các số thực sao cho, với mọi số nguyên $n > 0$, ta có $p_n(x) = \sum_{i,j} a_{ij}^{(n)} |x_{ij}| < + \infty$; các bán chuẩn $p_n$ xác định một tôpô của một không gian Fréchet và của một không gian Montel trên E (IV, p. 60, exerc. 11); đối ngẫu $E'$ của E, là một không gian (DF) và một không gian Montel (do đó siêu sinh bởi đĩa và phản xạ), trùng với không gian của tất cả các dãy $x' = (x'_{ij})$ sao cho, với ít nhất một chỉ số $n$, ta có quan hệ $\sup_{i,j} |a_{ij}^{(n)}|^{-1} |x'_{ij}| < + \infty$ (IV, p. 47, exerc. 1, $c$).

a) Với mọi $x = (x_{ij}) \in E$, đặt $y_j = \sum_i x_{ij}$ (với mọi $j \geq 1$). Chứng minh rằng $\sum_j |y_j| < + \infty$; gọi $u(x)$ là dãy $(y_i) \in \ell^1(\mathbf{N})$; chứng minh rằng $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào $F = \ell^1(\mathbf{N})$, và rằng với mọi dãy $y' = (y'_j) \in F' = \ell^\infty(\mathbf{N})$, $u'(y')$ là dãy $(z'_{ij}) \in E'$ mà $z'_{ij} = y'_j$ với mọi chỉ số $i$. Suy ra rằng $u'$ là một ánh xạ tuyến tính đơn ánh từ $\ell^\infty(\mathbf{N})$ lên một không gian con của $E'$ đóng đối với $\sigma(E', E)$, và do đó $u$ là một cấu xạ ngặt từ E lên $\ell^1(\mathbf{N})$ đối với các tôpô ban đầu, và $u'$ là một đẳng cấu từ $F' = \ell^\infty(\mathbf{N})$ lên $u'(F')$ đối với các tôpô yếu $\sigma(F', F)$ và $\sigma(E', E)$.

b) Đặt $M = u^{-1}(0)$; khi đó $M^\circ = u'(F')$. Chứng minh rằng ảnh ngược bởi $u'$ của tôpô cảm sinh trên $M^\circ$ bởi tôpô mạnh của $E'$ là tôpô hội tụ đều trên các tập hợp compact của $F$ (IV, p. 28, th. 1 và p. 54, exerc. 15). Suy ra rằng trên $M^\circ$, tôpô cảm sinh bởi tôpô mạnh $\beta(E', E)$ không phải là tôpô mạnh $\beta(M^\circ, E/M)$, và rằng đối với tôpô cảm sinh bởi $\beta(E', E)$, $M^\circ$ không phải là một không gian infra-barrelled, mặc dù là một không gian con đóng của một không gian Montel siêu sinh bởi đĩa; mặt khác, $E/M$, là thương của một không gian Fréchet và một không gian Montel bởi một không gian con đóng, không phải là phản xạ. Chứng minh rằng trong $E/M$ tồn tại các tập hợp bị chặn không phải là ảnh chính tắc của các tập hợp bị chặn của E.