Exercice 4, § 4

Soit E un espace hilbertien complexe de dimension finie $d$.

a) Pour tout $u \geq 0$ dans $\mathscr{L}(E)$ (V, p. 45), prouver qu’il existe un unique $v \geq 0$ dans $\mathscr{L}(E)$ tel que $u = v^2$ (diagonaliser $u$); on le note $v = u^{1/2}$.

b) Pour tout $u \in \mathscr{L}(E)$, on pose $\operatorname{abs}(u) = (u^* u)^{1/2}$. Montrer que $u$ et $\operatorname{abs}(u)$ ont même norme et que l’on a $\operatorname{abs}(\Lambda^n(u)) = \Lambda^n(\operatorname{abs}(u))$ pour tout entier $n \leq d$.

c) Soit $s_1(u) \geq s_2(u) \geq \cdots \geq s_d(u) \geq 0$ la suite des valeurs propres de $\operatorname{abs}(u)$ comptées avec leur ordre de multiplicité. Montrer que $\|u\| = s_1(u)$ et que pour tout entier $n \leq d$ on a $\|\Lambda^n(u)\| = s_1(u) s_2(u) \ldots s_n(u)$. Pour que $\|\Lambda^n(u)\| = \|u\|^n$ pour tout $n$ tel que $1 \leq n \leq d$, il faut et il suffit que $u^* u$ soit une homothétie, autrement dit que $u$ soit un multiple scalaire d’un opérateur unitaire.