§ 3. Dérivées et intégrales de fonctions dépendant d’un paramètre

1. Intégrale d’une limite de fonctions dans un intervalle compact

Le th. 1 de II, p. 2, appliqué au cas particulier des primitives de fonctions réglées dans un intervalle compact, se traduit de la manière suivante dans la notation propre aux intégrales:

2. Intégrale d’une limite de fonctions dans un intervalle non compact

Le th. 1 de II, p. 2 s’applique à des fonctions plus générales que les fonctions réglées, puisqu’il suppose seulement que ces fonctions admettent des primitives. On voit donc en particulier que la prop. 1 de II, p. 19 s’applique encore lorsque, dans un intervalle $I \subset \mathbf{R}$, les fonctions $f_\alpha$ sont seulement supposées réglées par morceaux et admettant une intégrale dans $I$; toutefois, ce résultat suppose que soient vérifiées les deux autres hypothèses de la prop. 1, savoir : 1° $I$ est un intervalle borné ; 2° les $f_\alpha$ convergent uniformément dans $I$ vers $f$. La formule (1) de II, p. 19 peut être inexacte lorsque l’une de ces conditions cesse d’être remplie : il peut se faire alors que l’un ou l’autre des deux membres n’existe pas, ou qu’ils existent tous deux mais aient des valeurs distinctes.

Par exemple, si $f_n$ est la fonction réglée dans $]0, 1[$, définie par $f_n(x) = n$ pour $0 < x < 1/n$, $f_n(x) = 0$ pour $1/n \leq x \leq 1$, la suite $(f_n)$ converge vers 0 uniformément dans tout intervalle compact contenu dans $]0, 1[$, mais non uniformément dans $]0, 1[$, et on a $\int_0^1 f_n(t) \, dt = 1$ pour tout $n$. On aurait un exemple où $\int_0^1 f_n(t) \, f$ ne tend vers aucune limite en remplaçant la suite $(f_n)$ précédente par la suite $((-1)^n f_n)$ qui converge encore uniformément vers 0 dans tout intervalle compact contenu dans $]0, 1[$.

D’autre part, dans l’intervalle non borné $I = (0, +\infty[$, soit $f_n$ la fonction réglée telle que $f_n(x) = 1/n$ pour $n^2 \leq x \leq (n+1)^2$ et $f_n(x) = 0$ pour toute autre valeur de $x$ dans $I$ ($n \geq 1$) ; la suite $(f_n)$ converge uniformément vers 0 dans $I$, mais l’intégrale $\int_0^{+\infty} f_n(t) \, dt = (2n+1)/n$ tend vers 2 lorsque $n$ croît indéfiniment.

En d’autres termes, lorsque $I$ est non borné, si on désigne par $\mathscr{F}$ l’espace vectoriel formé des fonctions $f$ réglées dans $I$, à valeurs dans $E$, et admettant une intégrale dans $I$, l’application $f \mapsto \int_I f(t) \, dt$ n’est pas continue lorsqu’on munit $\mathscr{F}$ de la topologie de la convergence uniforme dans $I$ (cf. II, p. 4, cor. 2).

Nous allons chercher des conditions suffisantes pour assurer la validité de la prop. 1, sous les hypothèses suivantes : 1° $I$ est un intervalle quelconque de $\mathbf{R}$, $f_\alpha$ est réglée dans $I$, et admet dans $I$ une intégrale ; 2° suivant le filtre $\mathfrak{F}$, la famille $(f_\alpha)$ converge uniformément vers $f$ dans tout intervalle compact contenu dans $I$.

Désignant alors par $\mathfrak{S}(I)$ l’ensemble ordonné filtrant des intervalles compacts contenus dans $I$ (II, p. 15), le premier membre de la formule (1) de II, p. 19 peut s’écrire $\lim_{J \in \mathfrak{S}(I)} (\lim_{\alpha \in J} \int_J f_\alpha(t) \, dt)$; d’autre part compte tenu de la prop. 1 (II, p. 19) et du fait que la famille $(f_\alpha)$ est uniformément convergente dans tout intervalle compact $J \subset I$, le second membre de (1) (II, p. 19) peut s’écrire $\lim_{J \in \mathfrak{S}(I)} (\lim_{\alpha \in J} \int_J f_\alpha(t) \, dt)$. On voit donc que la prop. 1 de II, p. 19 s’étendra lorsqu’on pourra intervertir les limites de l’application $(J, \alpha) \mapsto \int_J f_\alpha(t) \, dt$ suivant le filtre $\mathfrak{F}$, et suivant le filtre des sections $\Phi$ de l’ordonné filtrant $\mathfrak{S}(I)$. Or, nous connaissons une condition suffisante pour que cette interversion soit licite, savoir l’existence de la limite de l’application $(J, \alpha) \mapsto \int_J f_\alpha(t)\ dt$ suivant le filtre produit $\Phi \times \mathfrak{F}$ (TG, I, p. 58, cor. du th. 1). Nous allons transformer cette condition en une condition équivalente plus maniable.

En premier lieu, comme $E$ est complet, pour que $(J, \alpha) \mapsto \int_J f_\alpha(t)\ dt$ ait une limite suivant $\Phi \times \mathfrak{F}$, il faut et il suffit que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un intervalle compact $J_0 \subset I$ et un ensemble $M \in \mathfrak{F}$ tels que, quels que soient les éléments $\alpha, \beta$ de $M$ et l’intervalle compact $J \supset J_0$ contenu dans $I$, on ait

Nous allons montrer d’autre part que cette condition est elle-même équivalente à la condition suivante: pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un intervalle compact $J_0 \subset I$ et un ensemble $M \in \mathfrak{F}$ tels que, quels que soient $\alpha \in M$ et l’intervalle compact $J \supset J_0$ contenu dans $I$, on ait

Il est évident en effet que cette dernière condition est nécessaire; inversement, si elle est satisfaite, il existe (en vertu de la convergence uniforme de $(f_\alpha)$ dans tout intervalle compact) un ensemble $N \in \mathfrak{F}$ tel que, quels que soient $\alpha, \beta$ dans $N$, on ait

et par suite, on a $\left\| \int_{J_0} f_\alpha(t)\ dt - \int_J f_\beta(t)\ dt \right\| \leq 2\varepsilon$ quels que soient $\alpha$ et $\beta$ dans $M \cap N \in \mathfrak{F}$ et quel que soit l’intervalle compact $J \supset J_0$.

Enfin, le lemme de II, p. 16 nous permet de mettre la dernière condition trouvée sous la forme équivalente suivante: pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un intervalle compact $J_0 \subset I$ et un ensemble $M \in \mathfrak{F}$ (dépendant de $\varepsilon$) tels que, pour tout intervalle compact $K \subset I$ n’ayant aucun point intérieur commun avec $J_0$, et tout $\alpha \in M$, on ait $\left\| \int_K f_\alpha(t)\ dt \right\| \leq \varepsilon$.

Le plus souvent, on utilise une condition plus restrictive, obtenue en supposant, dans l’énoncé précédent, que l’ensemble $M$ ne dépende pas de $\varepsilon$:

Cette définition équivaut à dire que la famille des applications $\alpha \mapsto \int_I f_\alpha(t) \, dt$ est uniformément convergente dans $A$ (vers l’application $\alpha \mapsto \int_I f_\alpha(t) \, dt$) suivant le filtre des sections $\Phi$ de $\mathfrak{F}(I)$; chacune des intégrales $\int_I f_\alpha(t)$ est a fortiori convergente (la réciproque étant inexacte). En outre, d’après ce que nous venons de voir (ou d’après TG, X, p. 8, cor. 2):

3. Intégrales normalement convergentes

Soit (f_α)_{α∈A} une famille de fonctions réglées dans un intervalle quelconque I ⊂ R, à valeurs dans un espace normé complet E sur R. Supposons qu’il existe une fonction numérique finie g réglée dans I, telle que, pour tout x ∈ I et tout α ∈ A, on ait \|f_α(x)\| ≤ g(x) et que l’intégrale ∫_I g(t) dt soit convergente. Dans ces conditions, l’intégrale ∫_I f_α(t) dt est absolument et uniformément convergente dans A ; en effet, pour tout intervalle compact K contenu dans I, on a

et la convergence de l’intégrale ∫_I g(t) dt entraîne que, pour tout ε > 0, il existe un intervalle compact J ⊂ I tel que, pour tout intervalle compact K ⊂ I ne rencontrant pas J, on ait ∫_K g(t) dt ≤ ε. Lorsqu’il existe une fonction numérique g ayant les propriétés précédentes, on dit que l’intégrale ∫_I f_α(t) dt est normalement convergente dans A (cf. TG, X, p. 22).

Une intégrale peut être uniformément convergente dans A sans être normalement convergente. \* C’est ce qui se passe pour la suite (f_n) de fonctions numériques définies par les conditions f_n(x) = 1/x pour n ≤ x ≤ n + 1, f_n(x) = 0 pour les autres valeurs de x dans I = (1, +∞[. Il est immédiat que l’intégrale ∫_1^{+∞} f_n(t) dt est uniformément convergente, mais elle n’est pas normalement convergente, car la relation g(x) ≥ f_n(x) pour tout x ∈ I et tout n entraîne g(x) ≥ 1/x, et par suite l’intégrale de g dans I n’est pas convergente. \*

En particulier, considérons une série dont le terme général u_n est une fonction réglée dans l’intervalle I, et supposons que la série de terme général \|u_n(x)\| (qui est une fonction réglée dans I) converge uniformément dans tout intervalle compact contenu dans I, et soit telle que la série de terme général ∫_I \|u_n(t)\| dt soit convergente; alors (II, p. 16, prop. 2) la fonction (réglée) g(x), somme de la série de terme général \|u_n(x)\|, est telle que l’intégrale ∫_I g(t) dt soit convergente. Si on pose f_n = ∑_{p=1}^n u_p, l’intégrale ∫_I f_n(t) dt est normalement convergente, car on a

pour tout $x \in I$ et tout $n$; par suite, la somme $f$ de la série de terme général $u_n$ est une fonction réglée dans $I$ telle que l’intégrale $\int_I f(t)\, dt$ soit convergente, et on a

(« intégration terme à terme d’une série dans un intervalle non compact »).

4. Dérivée par rapport à un paramètre d’une intégrale dans un intervalle compact

Soient $A$ un voisinage compact d’un point $x_0$ dans le corps $\mathbf{R}$ (resp. le corps $\mathbf{C}$), $I = [a,\ b]$ un intervalle compact dans $\mathbf{R}$, $f$ une application continue de $I \times A$ dans un espace normé complet $E$ sur $\mathbf{R}$ (resp. $\mathbf{C}$). On a vu (II, p. 19, prop. 2) que, dans ces conditions, $g(\alpha) = \int_a^b f(t,\ \alpha)\, dt$ est une fonction continue dans $A$. Cherchons des conditions suffisantes pour que $g$ admette une dérivée au point $x_0$. On a, pour $\alpha \neq x_0$

donc (II, p. 19, cor. 2), si les fonctions $x \mapsto \frac{f(x,\ \alpha) - f(x,\ x_0)}{\alpha - x_0}$ convergent uniformément dans $I$ vers une fonction (nécessairement continue) $x \mapsto h(x)$ lorsque $\alpha$ tend vers $x_0$ (en restant $\neq x_0$), $g$ admet une dérivée égale à $\int_a^b h(t)\, dt$ au point $x_0$; d’ailleurs, pour chaque $x \in I$, $\frac{f(x,\ \alpha) - f(x,\ x_0)}{\alpha - x_0}$ tend vers $h(x)$, donc $h(x)$ est la dérivée au point $x_0$ de l’application $\alpha \mapsto f(x,\ \alpha)$; nous désignerons cette dérivée (dite dérivée partielle de $f$ par rapport à $\alpha$) par la notation $f'_\alpha(x,\ x_0)$; les hypothèses faites entraînent donc que

La proposition suivant donne une condition suffisante plus simple pour la validité de la formule (12):

5. Dérivée par rapport à un paramètre d’une intégrale dans un intervalle non compact

L’ensemble V ayant la même signification que dans la prop. 5 de II, p. 24, supposons maintenant que I soit un intervalle quelconque de $\mathbf{R}$, $\mathbf{f}$ une application continue de $I \times V$ dans E; si l’intégrale $g(\alpha) = \int_I \mathbf{f}(t, \alpha) \, dt$ existe pour tout $\alpha \in V$ et est fonction continue de $\alpha$, la fonction $g$ n’a pas nécessairement au point $\alpha_0$ une dérivée égale à $\int_I \mathbf{f}'_\alpha(t, \alpha_0) \, dt$, même si $\mathbf{f}'_\alpha(x, \alpha)$ converge uniformément vers $\mathbf{f}'_\alpha(x, \alpha_0)$ dans tout intervalle compact contenu dans I, et si l’intégrale $\int_I \mathbf{f}'_\alpha(t, \alpha) \, dt$ existe pour tout $\alpha \in V$ (cf. II, p. 35, exerc. 3).

Une condition suffisante pour que la formule (12) (II, p. 24) soit encore valable dans ce cas est donnée par la proposition suivante:

6. Interversion des intégrations

Soient $I = [a, b]$ et $A = [c, d]$ deux intervalles compacts de $\mathbf{R}$; soit $f$ une fonction continue dans $I \times A$, à valeurs dans un espace normé complet $E$ sur $\mathbf{R}$; d’après la prop. 2 de II, p. 19, $\int_a^b f(x, \alpha) \, dx$ est fonction continue de $\alpha$ dans $A$; son intégrale $\int_c^d (\int_a^b f(x, \alpha) \, dx) d\alpha$ se note aussi, pour simplifier $\int_c^d d\alpha \int_a^b f(x, \alpha) \, dx$.

Exercices

See the exercises for § 3.