12. Nombres réels

Toute mesure de grandeur implique une notion confuse de nombre réel. Du point de vue mathématique, on doit faire remonter les origines de la théorie des nombres réels à la formation progressive, dans la science babylonienne, d’un système de numération capable (en principe) de noter des valeurs aussi approchées qu’on veut de tout nombre réel [232]. La possession d’un tel système, et la confiance dans le calcul numérique qui ne peut manquer d’en résulter, aboutissent inévitablement, en effet, à une notion « naïve » de nombre réel, qui n’est guère différente de celle qu’on retrouve aujourd’hui (liée au système de numération décimal) dans l’enseignement élémentaire ou chez les physiciens et ingénieurs ; cette notion ne se laisse pas définir avec exactitude, mais on peut l’exprimer en disant qu’un nombre est considéré comme défini par la possibilité d’en obtenir des valeurs approchées et d’introduire celles-ci dans le calcul : ce qui, d’ailleurs, implique nécessairement un certain degré de confusion entre les mesures de grandeurs données dans l’expérience, qui ne sont naturellement pas susceptibles d’approximation indéfinie, et des « nombres » tels que $\sqrt{2}$ (en supposant qu’on possède un algorithme pour l’approximation indéfinie de celui-ci).

Un pareil point de vue « pragmatiste » reparaît donc dans toutes les écoles mathématiques où l’habileté calculatrice l’emporte sur le souci de la rigueur et les préoccupations théoriques. Ce sont ces dernières, au contraire, qui dominent dans la mathématique grecque : aussi lui doit-on la première théorie rigoureuse et cohérente des rapports de grandeurs, c’est-à-dire, essentiellement, des nombres réels ; elle est l’aboutissement d’une série de découvertes sur les proportions et en particulier sur les rapports incommensurables, dont il est difficile d’exagérer l’importance dans l’histoire de la pensée grecque, mais dont, en l’absence de textes précis, nous ne pouvons qu’à peine discerner les grandes lignes. La mathématique grecque à ses débuts est inséparablement liée à des spéculations, partie scientifiques, partie philosophiques et mystiques, sur les proportions, les similitudes et les rapports, en particulier les « rapport simples » (expri-mables par des fractions à petits numérateur et dénominateur) ; et ce fut l’une des tendances caractéristiques de l’école pythagoricienne de prétendre tout expliquer par le nombre entier et les rapports d’entiers. Mais ce fut l’école pythagoricienne, justement, qui décou-vrit l’incommensurabilité du côté du carré avec sa diagonale (l’irrationnalité de $\sqrt{2}$) : premier exemple, sans doute, d’une démonstration d’impossibilité en mathématique ; le seul fait de se poser une telle question implique la distinction nette entre un rapport et ses valeurs approchées, et suffit à indiquer l’immense fossé qui sépare les mathématiciens grecs de leurs devanciers *.

Nous sommes mal renseignés sur le mouvement d’idées qui accom-pagna et suivit cette importante découverte **. Nous nous bornerons à indiquer sommairement les idées principales qui sont à la base de la théorie des rapports des grandeurs, théorie qui, édifiée par le grand mathématicien Eudoxe (contemporain et ami de Platon), fut définitivement adoptée par la mathématique grecque classique, et nous est connue par les Éléments d’Euclide [107], où elle se trouve magistralement exposée (dans le Livre V de ces Éléments) :

1) Le mot et l’idée de nombre sont strictement réservés aux entiers naturels $> 1$ (1 est la monade et non un nombre à proprement parler), à l’exclusion, non seulement de nos nombres irrationnels, mais même de ce que nous nommons nombres rationnels, ceux-ci étant, pour les mathématiciens grecs de l’époque classique, des rap-ports de nombres. Il y a là beaucoup plus qu’une simple question de

\* La découverte de l’irrationalité de $\sqrt{2}$, est attribuée par les uns à Pythagore lui-même, sans autorité suffisante semble-t-il ; par les autres, à quelque pythagoricien du ve siècle ; on s’accorde, sur le témoignage de Platon dans son Théétète, à attribuer à Théodore de Cyrène la démonstration de l’irrationalité de $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, « et ainsi de suite jusqu’à $\sqrt{17}$ », à la suite de quoi Théétète aurait, soit obtenu une démonstration générale pour $\sqrt{N}$ ($N =$ entier non carré parfait), soit en tout cas (si, comme il se peut, la démonstration de Théodore était générale dans son principe) procédé à une classification de certains types d’irrationnelles. On ne sait pas si ces premières démonstrations d’irrationalité procédaient par voie arithmétique ou géométrique : v. là-dessus [148], chap. IV; cf. aussi [153 a], [321] et [151]. ** On consultera en particulier là-dessus [153 a], [309 b et c], et en outre les ouvrages cités dans la note précédente, ainsi que [317 c].

terminologie, le mot de nombre étant lié pour les Grecs (et pour les modernes jusqu’à une époque récente) à l’idée de système à double loi de composition (addition et multiplication) : les rapports d’entiers sont conçus par les mathématiciens grecs classiques comme des opérateurs, définis sur l’ensemble des entiers ou sur une partie de cet ensemble (le rapport de $p$ à $q$ est l’opérateur qui, à $\mathbf{N}$, fait correspondre, si $\mathbf{N}$ est multiple de $q$, l’entier $p.(N/q)$), et formant un groupe multiplicatif, mais non un système à double loi de composition. En ceci, les mathématiciens grecs se séparaient volontairement des « logisticiens » ou calculateurs professionnels, qui n’avaient, comme leurs prédécesseurs égyptiens ou babyloniens, aucun scrupule à traiter comme des nombres les fractions ou les sommes d’un entier et d’une fraction. Il semble d’ailleurs qu’ils se soient imposé cette restriction de l’idée de nombre pour des motifs plus philosophiques que mathématiques, et à la suite des réflexions des premiers penseurs grecs sur l’un et le multiple, l’unité ne pouvant (dans ce système de pensée) se partager sans perdre par là même son caractère d’unité *.

2) La théorie des grandeurs est fondée axiomatiquement, et à la fois pour toute espèce de grandeurs (on trouve des allusions à des théories antérieures qui, à ce qu’il semble, traitaient séparément des longueurs, des aires, des volumes, des temps, etc.). Les grandeurs d’une même espèce sont caractérisées par le fait d’être susceptibles de comparaison (c’est-à-dire qu’on suppose définie l’égalité, qui est à proprement parler une équivalence, et les relations $>$ et $<$), d’être ajoutées et retranchées ($A + B$ est défini, et $A - B$ si $A > B$), et satisfont à l’axiome dit « d’Archimède » ; celui-ci est clairement conçu, dès le début, comme clef de voûte de l’édifice (il est en effet indispensable à toute caractérisation axiomatique des nombres réels) ; c’est par un pur accident qu’on lui a attribué le nom d’Archimède, et celui-ci insiste, dans l’introduction de sa « Quadrature de la Parabole » ([5 b], t. II, p. 265), sur le fait que cet axiome a été employé par ses prédécesseurs, qu’il joue un rôle essentiel dans les travaux d’Eudoxe, et que ses conséquences ne sont pas moins assurées que les

\* Platon ([250], livre VII, 525e) se moque des calculateurs « qui changent l’unité pour de la menue monnaie » et nous dit que, là où ceux-ci divisent, les savants multiplient : ce qui veut dire que, par exemple, pour le mathématicien, l’égalité de deux rapports $a/b$ et $c/d$ se constate, non en divisant $a$ par $b$ et $c$ par $d$, ce qui conduit en général à un calcul de fractions (c’est ainsi qu’auraient opéré aussi les Égyptiens ou les Babyloniens), mais en vérifiant que $a.d = b.c$; et autres faits semblables.

déterminations d’aires et de volumes faites sans son secours *.

Il est facile de voir que, de ce fondement axiomatique, découle nécessairement la théorie des nombres réels. On notera que, pour Eudoxe, les grandeurs d’une espèce donnée forment un système à une loi de composition interne (l’addition), mais que ce système possède une loi de composition externe avec pour opérateurs les rapports de grandeurs, ceux-ci étant conçus comme formant un groupe multiplicatif abélien. A et A’ étant des grandeurs de même espèce, et de même B et B’, les rapports de A et A’ et de B à B’ sont définis comme égaux si, quels que soient les entiers m et m’, mA < m’A’ entraîne mB < m’B’ et mA > m’A’ entraîne mB > m’B’ ; on définit par des moyens analogues les inégalités entre rapports. Que ces rapports forment un domaine d’opérateurs pour toute espèce de grandeur équivaut à l’axiome (non explicité mais plusieurs fois utilisé dans la rédaction d’Euclide) de l’existence de la quatrième proportionnelle : un rapport A/A’ étant donné et B’ étant donné, il existe un B, de même espèce que B’, tel que B/B’ = A/A’. Ainsi l’idée géniale d’Eudoxe permettait d’identifier entre eux les domaines d’opérateurs définis par toute espèce de grandeur** ; d’une manière analogue, on peut identifier l’ensemble des rapports d’entiers (voir plus haut) avec une partie de l’ensemble des rapports de grandeurs, à savoir avec l’ensemble des rapports rationnels (rapports de grandeurs commensurables) ; cependant, du fait que ces rapports, en tant qu’opérateurs sur les entiers, sont (en général) définis seulement sur une partie de l’ensemble des entiers, il restait nécessaire d’en développer la théorie séparément (Livre VII d’Euclide).

Le domaine d’opérateurs universel ainsi construit était donc pour les mathématiciens grecs l’équivalent de ce qu’est pour nous l’ensemble des nombres réels ; il est clair d’ailleurs qu’avec l’addition des grandeurs et la multiplication des rapports de grandeurs, ils possédaient l’équivalent de ce qu’est pour nous le corps des nombreux réels, bien

\* Allusion manifeste à des polémiques qui ne nous ont pas été conservées : on croirait un moderne parlant de l’axiome de Zermelo. ** Elle permet ainsi de faire en toute rigueur ce que faisaient couramment les premiers mathématiciens grecs lorsqu’ils considéraient comme démontré un théorème sur les proportions dès que celui-ci était démontré pour tout rapport rationnel. Il semble qu’avant Eudoxe on ait tenté de construire une théorie qui aurait atteint les mêmes objets en définissant le rapport A/A’ de deux grandeurs par ce que nous appellerions en langage moderne les termes de la fraction continuée qui l’exprime ; sur ces essais, auxquels conduisait naturellement l’algorithme dit « d’Euclide » pour la recherche d’une commune mesure de A et A’ si elle existe (ou pour la détermination du p.g.c.d.), cf. [17 a].

que sous une forme beaucoup moins maniable*. On peut, d'autre part, se demander s'ils avaient conçu ces ensembles (ensemble des grandeurs d'une espèce donnée, ou ensemble des rapports de grandeurs) comme complets à notre sens ; on ne voit pas bien, autrement, pourquoi ils auraient admis (sans même éprouver le besoin d'en faire un axiome) l'existence de la quatrième proportionnelle ; de plus, certains textes paraissent se référer à des idées de ce genre ; enfin, ils admettaient certainement comme évident qu'une courbe, susceptible d'être décrite d'un mouvement continu, ne peut passer d'un côté à l'autre d'une droite sans couper celle-ci, principe qu'ils ont utilisé par exemple dans leurs recherches sur la duplication du cube (construction de $\sqrt[3]{2}$ par des intersections de courbes) et qui est essentiellement équivalent à la propriété dont il s'agit ; cependant, les textes que nous possédons ne nous permettent pas de connaître avec une entière précision leurs idées sur ce point.

Tel est donc l'état de la théorie des nombres réels à l'époque classique de la mathématique grecque. Pour admirable que fût la construction d'Eudoxe, et ne laissant rien à désirer du point de vue de la rigueur et de la cohérence, il faut avouer qu'elle manquait de souplesse, et était peu favorable au développement du calcul numérique et surtout du calcul algébrique. De plus, sa nécessité logique ne pouvait apparaître qu'à des esprits épris de rigueur et exercés à l'abstraction ; il est donc naturel qu'au déclin des mathématiques grecques, on voie reparaître peu à peu le point de vue « naïf » qui s'était conservé à travers la tradition des logiciens ; c'est lui qui domine par exemple chez Diophante [91 a], véritable continuateur de cette tradition bien plutôt que de la science grecque officielle ; celui-ci, tout en reproduisant pour la forme la définition euclidienne du nombre, entend en réalité par le mot « nombre », l'inconnue de problèmes algébriques dont la solution est, soit un entier, soit un nombre fractionnaire,

\* Si peu maniable que les mathématiciens grecs, pour traduire dans leur langage la science algébrique des Babyloniens, s'étaient trouvés obligés d'utiliser systématiquement un moyen d'un tout autre ordre, à savoir la correspondance entre deux longueurs et l'aire du rectangle construit sur ces deux longueurs pour côtés : ce qui n'est pas une loi de composition à proprement parler, et ne permet pas d'écrire commodément les relations algébriques d'un degré plus élevé que le second.

On notera d'autre part que, dans tout cet exposé, nous faisons abstraction de la question des nombres négatifs (voir p. 70).

soit même une irrationnelle *. Bien que ce changement d’attitude, au sujet du nombre, soit lié à l’un des progrès les plus importants de l’histoire des mathématiques, à savoir le développement de l’Algèbre (voir p. 69), il ne constitue bien entendu pas un progrès en lui-même, mais plutôt un recul.

Il ne nous est pas possible de suivre ici les vicissitudes de l’idée de nombre à travers les mathématiques hindoue, arabe et occidentale jusqu’à la fin du Moyen âge : c’est la notion « naïve » de nombre qui y domine ; et, bien que les Éléments d’Euclide servissent de base à l’enseignement des mathématiques durant cette période, il est vraisemblable que la doctrine d’Eudoxe resta généralement incomprise parce que la nécessité n’en apparaissait plus. Les « rapports » d’Euclide étaient le plus souvent qualifiés de « nombres » ; on leur appliquait les règles du calcul des entiers, obtenant ainsi des résultats exacts, sans chercher à analyser à fond les raisons du succès de ces méthodes.

Nous voyons cependant déjà R. Bombelli, au milieu du xvie siècle, exposer sur ce sujet, dans son Algèbre [28 b] , un point de vue qui (à condition de supposer acquis les résultats du livre V d’Euclide) est essentiellement correct ; ayant reconnu qu’une fois choisie l’unité de longueur il y a correspondance biunivoque entre les longueurs et les rapports de grandeurs, il définit sur les longueurs les diverses opérations algébriques (en supposant fixée l’unité, bien entendu), et, représentant les nombres par les longueurs, obtient la définition géométrique du corps des nombres réels (point de vue dont on fait le plus souvent revenir le mérite à Descartes), et donne ainsi à son Algèbre une base géométrique solide *.

Mais l’Algèbre de Bombelli, encore que singulièrement avancée pour son époque, n’allait pas au delà de l’extraction des radicaux et de la résolution par radicaux des équations du 2e, 3e et 4e degrés ; bien entendu la possibilité de l’extraction des radicaux est admise

\* « Le « nombre » se trouve non rationnel », Diophante, livre IV, problème IX. Sur ce retour à la notion naïve de nombre, cf. aussi Eutocius, dans son Commentaire sur Archimède ([5 b], t. III, pp. 120-126). Il s’agit ici du livre IV de cette Algèbre, qui demeura inédit jusqu’à nos jours ; il importe peu, pour l’objet de l’exposé ci-dessus, que les idées de Bombelli sur ce sujet aient été ou non connues de ses contemporains. * Nous n’entrons pas ici dans l’histoire de l’emploi des nombres négatifs, qui est du ressort de l’Algèbre. Notons pourtant que Bombelli, en ce même lieu, donne avec une parfaite clarté la définition, purement formelle (telle qu’on pourrait la trouver dans une Algèbre moderne), non seulement des quantités négatives, mais aussi des nombres complexes.

par lui sans discussion. Simon Stévin [295], lui aussi, adopte un point de vue analogue au sujet du nombre, qui est pour lui ce qui note une mesure de grandeur, et qu’il considère comme essentiellement « continu » (sans qu’il précise le sens qu’il donne à ce mot) ; s’il distingue les « nombres géométriques » des « nombres arithmétiques », c’est seulement d’après l’accident de leur mode de définition, sans qu’il y ait là pour lui une différence de nature ; voici d’ailleurs son dernier mot sur ce sujet : « Nous concluons. doncques qu’il n’y a aucuns nombres absurds, irrationels, irreguliers, inexplicables ou sourds ; mais qu’il y a en eux telle excellence, et concordance, que nous avons matiere de mediter nuict et jour en leur admirable parfection » ([295], p. 10). D’autre part, ayant le premier constitué en méthode de calcul l’outil des fractions décimales, et proposé pour celles-ci une notation déjà voisine de la nôtre, il conçut clairement que ces fractions fournissent un algorithme d’approximation indéfinie de tout nombre réel, comme il ressort de son Appendice algebraique de 1594 « contenant regle generale de toutes Equations » (brochure dont l’unique exemplaire connu fut brûlé à Louvain en 1914; mais v. [295], p. 88). Une telle équation étant mise sous la forme P(x) = Q(x) (où P est un polynôme de degré supérieur à celui du polynôme Q, et P(0) < Q(0)), on substitue à x les nombres 10, 100, 1 000,... jusqu’à trouver P(x) > Q(x), ce qui, dit-il, détermine le nombre de chiffres de la racine ; puis (si par exemple la racine se trouve avoir deux chiffres) on substitue 10, 20,... ce qui détermine le chiffre des dizaines ; puis de même pour le chiffre suivant, puis pour les chiffres décimaux successifs : « Et procedant ainsi infiniment », dit-il, « l’on approche infiniment plus pres au requis » ([295], p. 88). Comme on voit, Stévin a eu (le premier sans doute) l’idée nette du théorème de Bolzano et a reconnu dans ce théorème l’outil essentiel pour la résolution systématique des équations numériques ; on reconnaît là, en même temps, une conception intuitive si claire du continu numérique, qu’il restait peu de chose à faire pour la préciser définitivement.

Cependant, dans les deux siècles qui suivirent, l’établissement définitif de méthodes correctes se trouva deux fois retardé par le développement de deux théories dont nous n’avons pas à faire l’histoire ici : le calcul infinitésimal, et la théorie des séries. À travers les discussions qu’elles soulèvent, on reconnaît, comme à toutes les époques de l’histoire des mathématiques, le perpétuel balancement entre les chercheurs occupés d’aller de l’avant, au prix de quelque insécurité, persuadés qu’il sera toujours temps plus tard de consolider le terrain conquis, et les esprits critiques, qui (sans nécessairement le céder en rien aux premiers pour les facultés intuitives et les talents d’inventeur) ne croient pas perdre leur peine en consacrant quelque effort à l’expression précise et à la justification rigoureuse de leurs conceptions. Au xviiie siècle, l’objet principal du débat est la notion d’infiniment petit, qui, justifiée a posteriori par les résultats auxquels elle permettait d’atteindre, paraissait en opposition ouverte avec l’axiome d’Archimède ; et nous voyons les esprits les plus éclairés de cette époque finir par adopter un point de vue peu différent de celui de Bombelli, et qui s’en distingue surtout par l’attention plus grande apportée aux méthodes rigoureuses des anciens ; Isaac Barrow (le maître de Newton, et qui lui-même prit une part importante à la création du calcul infinitésimal) en donne un brillant exposé dans ses Leçons de Mathématique professées à Cambridge en 1664-65-66 [16 a et b]; reconnaissant la nécessité, pour retrouver au sujet du nombre la proverbiale « certitude géométrique », de retourner à la théorie d’Eudoxe, il présente longuement, et fort judicieusement, la défense de celle-ci (qui, à son témoignage, paraissait inintelligible à beaucoup de ses contemporains) contre ceux qui la taxaient d’obscurité ou même d’absurdité. D’autre part, définissant les nombres comme des symboles qui dénotent des rapports de grandeurs, et susceptibles de se combiner entre eux par les opérations de l’arithmétique, il obtient le corps des nombres réels, en des termes repris après lui par Newton dans son Arithmétique et auxquels ses successeurs jusqu’à Dedekind et Cantor ne devaient rien changer.

Mais c’est vers cette époque que s’introduisit la méthode des développements en série, qui bientôt, entre les mains d’algébristes impénitents, prend un caractère exclusivement formel et détourne l’attention des mathématiciens des questions de convergence que soulève le sain emploi des séries dans le domaine des nombres réels. Newton, principal créateur de la méthode, était encore conscient de la nécessité de considérer ces questions : et, s’il ne les avait pas suffisamment élucidées, il avait reconnu du moins que les séries de puissances qu’il introduisait convergeaient « le plus souvent » au moins aussi bien qu’une série géométrique (dont la convergence était déjà connue des anciens) pour de petites valeurs de la variable ([233 a], t. I, p. 3-26) ; vers la même époque, Leibniz avait observé qu’une série alternée, à termes décroissants en valeur absolue et tendant vers 0, est convergente ; au siècle suivant, d’Alembert, en 1768, exprime des doutes sur l’emploi des séries non convergentes. Mais l’autorité des

Bernoulli et surtout d’Euler fait que de tels doutes sont exceptionnels à cette époque.

Il est clair que des mathématiciens qui auraient eu l’habitude de faire servir les séries au calcul numérique n’auraient jamais négligé ainsi la notion de convergence ; et ce n’est pas un hasard que le premier qui, en ce domaine comme en beaucoup d’autres, ait amené le retour aux méthodes correctes, ait été un mathématicien qui, dès sa prime jeunesse, avait eu l’amour du calcul numérique : C. F. Gauss, qui, presque enfant, avait pratiqué l’algorithme de la moyenne arithmético-géométrique *, ne pouvait manquer de se former de la limite une notion claire ; et nous le voyons, dans un fragment qui date de 1800 (mais fut publié seulement à notre époque) ([124 a], t. X₁, p. 390), définir avec précision, d’une part la borne supérieure et la borne inférieure, d’autre part la limite supérieure et la limite inférieure d’une suite de nombres réels ; l’existence des premières (pour une suite bornée) paraissant admise comme évidente, et les dernières étant correctement définies comme limites, pour $n$ tendant vers $+\infty$, de $\sup_{p \geq 0} u_{n+p}$, $\inf_{p \geq 0} u_{n+p}$. Gauss, d’autre part, donne aussi, dans son mémoire de 1812 sur la série hypergéométrique ([124 a], t. III, p. 139) le premier modèle d’une discussion de convergence conduite, comme il dit, « en toute rigueur, et faite pour satisfaire ceux dont les préférences vont aux méthodes rigoureuses des géomètres anciens » : il est vrai que cette discussion, constituant un point secondaire dans le mémoire, ne remonte pas aux premiers principes de la théorie des séries ; c’est Cauchy qui établit ceux-ci le premier, dans son Cours d’Analyse de 1821 ([56 a], (2), t. III), d’une manière en tout point correcte, à partir du critère de Cauchy clairement énoncé, et admis comme évident ; comme, sur la définition du nombre, il s’en tient au point de vue de Barrow et de Newton, on peut donc dire que pour lui les nombres réels sont définis par les axiomes des grandeurs et le critère de Cauchy : ce qui suffit en effet à les définir.

C’est au même moment qu’est définitivement éclairci un autre aspect important de la théorie des nombres réels. Comme nous l’avons dit, on avait toujours admis comme géométriquement évi-

\* $x_0, y_0$ étant donnés et $> 0$, soient $x_{n+1} = (x_n + y_n)/2$, $y_{n+1} = \sqrt{x_n y_n}$; pour $n$ tendant vers $+\infty$, $x_n$ et $y_n$ tendent (très rapidement) vers une limite commune, dite moyenne arithmético-géométrique de $x_0$ et $y_0$; cette fonction est intimement liée aux fonctions elliptiques et forma le point de départ des importants travaux de Gauss sur ce sujet.

dent que deux courbes continues ne peuvent se traverser sans se rencontrer ; principe qui (convenablement précisé) équivaudrait, lui aussi, à la propriété de la droite d’être un espace complet. Ce principe est encore à la base de la démonstration « rigoureuse » donnée par Gauss en 1799 du théorème de d’Alembert, d’après lequel tout polynôme à coefficients réels admet une racine réelle ou complexe ([124 a], t. III, p. 1); la démonstration du même théorème, donnée par Gauss en 1815 ([124 a], t. III, p. 31), s’appuie, de même qu’un essai antérieur de Lagrange, sur le principe, analogue mais plus simple, d’après lequel un polynôme ne peut changer de signe sans s’annuler (principe que nous avons vu utiliser déjà par Stévin). En 1817, Bolzano donne, à partir du critère de Cauchy, une démonstration complète de ce dernier principe, qu’il obtient comme cas particulier du théorème analogue pour les fonctions numériques continues d’une variable numérique [27 c]. Énonçant clairement (avant Cauchy) le « critère de Cauchy », il cherche à le justifier par un raisonnement qui, en l’absence de toute définition arithmétique du nombre réel, n’était et ne pouvait être qu’un cercle vicieux ; mais, ce point une fois admis, son travail est entièrement correct et fort remarquable, comme contenant, non seulement la définition moderne d’une fonction continue (donnée ici pour la première fois), avec la démonstration de la continuité des polynômes, mais même la démonstration d’existence de la borne inférieure d’un ensemble borné quelconque de nombre réels (il ne parle pas d’ensembles; mais, ce qui revient au même, de propriétés de nombres réels). D’autre part, Cauchy, dans son Cours d’Analyse ([56 a], (2), t. III), définissant, lui aussi, les fonctions continues d’une ou plusieurs variables numériques, démontre également qu’une fonction continue d’une variable ne peut changer de signe sans s’annuler, et ce par le raisonnement même de Simon Stévin, qui devient naturellement correct, une fois définie la continuité, dès qu’on se sert du critère de Cauchy (ou bien dès qu’on admet, comme Cauchy le fait à cet endroit, le principe équivalent dit des « intervalles emboîtés », dont la convergence des fractions décimales indéfinies n’est bien entendu qu’un cas particulier).

Une fois parvenus à ce point, il ne restait aux mathématiciens qu’à préciser et développer les résultats acquis, en corrigeant quelques erreurs et comblant quelques lacunes. Cauchy, par exemple, avait cru un moment qu’une série convergente, à termes fonctions continues d’une variable, a pour somme une fonction continue : la rectification de ce point par Abel, au cours de ses importants travaux sur les séries ([1], t. I, p. 219 ; cf. aussi t. II, p. 257, et passim), aboutit finalement à l’élucidation par Weierstrass, dans ses cours (inédits, mais qui eurent une influence considérable), de la notion de convergence uniforme (voir p. 257). D’autre part, Cauchy avait, sans justification suffisante, admis l’existence du minimum d’une fonction continue dans l’une des démonstrations données par lui de l’existence des racines d’un polynôme ; c’est encore Weierstrass qui apporta la clarté sur les questions de ce genre en démontrant dans ses cours l’existence du minimum pour les fonctions de variables numériques, définies dans des intervalles fermés bornés ; c’est à la suite de sa critique de l’application injustifiée de ce théorème à des ensembles de fonctions (dont le « principe de Dirichlet » est l’exemple le plus connu) que commence le mouvement d’idées qui aboutit (voir p. 179) à la définition générale des espaces compacts et à l’énoncé moderne du théorème.

En même temps, Weierstrass, dans ses cours, avait reconnu l’intérêt logique qu’il y a à dégager entièrement l’idée de nombre réel de la théorie des grandeurs : utiliser celle-ci, en effet, revient à définir axiomatiquement l’ensemble des points de la droite (donc en définitive l’ensemble des nombres réels) et admettre l’existence d’un tel ensemble ; bien que cette manière de faire soit essentiellement correcte, il est évidemment préférable de partir seulement des nombres rationnels, et d’en déduire les nombres réels par complétion *. C’est ce que firent, par des méthodes diverses, et indépendamment les uns des autres, Weierstrass, Dedekind, Méray et Cantor ; tandis que le procédé dit des « coupures », proposé par Dedekind ([79], t. II, p. 315-334) se rapprochait beaucoup des définitions d’Eudoxe, les autres méthodes proposées se rapprochent de la méthode utilisée depuis Hausdorff pour compléter un espace métrique. C’est à ce moment aussi que Cantor commence à développer la théorie des ensembles de nombres réels, dont Dedekind avait conçu la première idée [48], obtenant ainsi les principaux résultats élémentaires sur la

\* En effet, on ramène ainsi la question de l’existence, c’est-à-dire, en langage moderne, la non-contradiction de la théorie des nombres réels, à la question analogue pour les nombres rationnels, à condition toutefois qu’on suppose acquise la théorie des ensembles abstraits (puisque la complétion suppose la notion de partie générique d’un ensemble infini) ; autrement dit, on ramène tout à cette dernière théorie, puisqu’on en peut tirer la théorie des nombres rationnels. Au contraire, si l’on ne suppose pas qu’on dispose de la Théorie des ensembles, il est impossible de ramener la non-contradiction de la théorie des nombres réels à celle de l’arithmétique, et il devient à nouveau nécessaire d’en donner une caractérisation axiomatique indépendante.

topologie de la droite, la structure des ensembles ouverts, des ensembles fermés, les notions d’ensemble dérivé, d’ensemble parfait totalement discontinu, etc.

Avec Cantor, la théorie des nombres réels a pris, à peu de chose près, sa forme définitive ; indiquons brièvement dans quels sens elle a été prolongée. En dehors des travaux de topologie générale (voir p. 179), et des applications à l’Intégration (voir p. 278), il s’agit surtout des recherches sur la structure et la classification des ensembles de points sur la droite et des fonctions numériques de variables réelles ; elles ont leur origine dans les travaux de Borel [32 a], orientés surtout vers la théorie de la mesure, mais qui aboutissent entre autres à la définition des « ensembles boréliens » : ce sont les ensembles appartenant à la plus petite famille de parties de $\mathbf{R}$, comprenant les intervalles, et fermée par rapport à la réunion et à l’intersection dénombrables et à l’opération $\mathscr{C}$. À ces ensembles sont intimement liées les fonctions dites « de Baire », c’est-à-dire celles qui peuvent être obtenues à partir des fonctions continues par l’opération de limite de suite, répétée « transfiniment » ; elles furent définies par Baire au cours d’importants travaux où il abandonne entièrement le point de vue de la mesure pour aborder systématiquement l’aspect qualitatif et « topologique » de ces questions [11 a] : c’est à cette occasion qu’il définit et étudie le premier les fonctions semi-continues, et qu’en vue de caractériser les fonctions limites de fonctions continues, il introduit l’importante notion d’ensemble maigre (ensemble « de première catégorie » dans la terminologie de Baire) (voir p. 206). Quant aux nombreux travaux qui ont suivi ceux de Baire, et qui sont dus principalement aux écoles russe et surtout polonaise, nous ne pouvons ici qu’en signaler l’existence (voir p. 206).