12. Số thực.

Mọi phép đo đại lượng đều hàm ý một khái niệm mơ hồ về số thực. Từ quan điểm của toán học, nguồn gốc của lý thuyết số thực hẳn phải truy về sự hình thành dần dần, trong khoa học Babylon, của một hệ ghi số có khả năng (về nguyên tắc) biểu thị các giá trị gần đến mức tùy ý với mọi số thực [232]. Việc có trong tay một hệ như vậy, cùng với sự tin cậy vào các phép tính số tất yếu nảy sinh từ đó, trên thực tế đã tất yếu kết thúc ở một khái niệm “ngây thơ” về số thực, hầu như không khác với khái niệm mà ngày nay người ta vẫn gặp lại (gắn với hệ thập phân ghi số) trong giảng dạy sơ cấp hoặc ở các nhà vật lý và kỹ sư; khái niệm này không cho phép định nghĩa một cách chính xác, nhưng có thể được diễn đạt bằng cách nói rằng một số được xem là được xác định bởi khả năng thu được các giá trị gần đúng và đưa chúng vào các phép tính: điều này hơn nữa tất yếu hàm ý một mức độ lẫn lộn nào đó giữa các phép đo đại lượng do kinh nghiệm cung cấp, vốn dĩ không thể tự nhiên chịu được sự gần đúng vô hạn, và những “số” như $\sqrt{2}$ (giả sử rằng tồn tại một thuật toán cho phép xấp xỉ vô hạn số này).

Một quan điểm “thực dụng” tương tự vì thế lại xuất hiện trong mọi trường phái toán học nơi kỹ năng tính toán lấn át khát vọng chặt chẽ và những bận tâm lý thuyết. Trái lại, chính những điều sau này chi phối toán học Hy Lạp: vì thế ta mắc nợ nó lý thuyết chặt chẽ và mạch lạc đầu tiên về các tỉ số của các đại lượng, tức là về bản chất là các số thực; đó là kết quả cuối cùng của một chuỗi khám phá về các tỉ số và đặc biệt về các tỉ số không thể so đếm được, mà tầm quan trọng của chúng trong lịch sử tư tưởng Hy Lạp khó có thể phóng đại, nhưng do thiếu các văn bản chính xác, ta chỉ có thể lờ mờ nhận ra những nét lớn. Toán học Hy Lạp thuở ban đầu gắn không tách rời với những suy biện, một phần khoa học, một phần triết học và huyền bí, về các tỷ lệ, các sự tương tự và các tỉ số, đặc biệt là các “tỉ số đơn giản” (biểu thị được bằng các phân thức có tử số và mẫu số nhỏ); và một trong những khuynh hướng đặc trưng của trường phái Pythagore là cho rằng có thể giải thích mọi sự bằng các số nguyên và tỉ số của các số nguyên. Nhưng chính trường phái Pythagore lại khám phá ra tính không thể so đếm được của cạnh hình vuông với đường chéo của nó (tính vô tỉ của $\sqrt{2}$): không nghi ngờ gì nữa, đây là ví dụ đầu tiên về một chứng minh bất khả trong toán học; chỉ riêng việc nêu ra vấn đề này đã hàm ý một sự phân biệt rõ ràng giữa một tỉ số và các giá trị gần đúng của nó, và đủ để chỉ ra khoảng cách mênh mông ngăn cách các nhà toán học Hy Lạp với những người đi trước họ.$^1$

Chúng ta được thông tin rất ít về sự vận động của các tư tưởng đã đi kèm và tiếp theo sau khám phá quan trọng này.$^2$ Chúng tôi sẽ chỉ giới hạn ở việc chỉ ra một cách vắn tắt các ý tưởng chính ở nền tảng của lý thuyết các tỉ số của các đại lượng, một lý thuyết do nhà toán học lớn Eudoxus (người đương thời và là bạn của Plato) hệ thống hóa, đã được toán học Hy Lạp cổ điển tiếp nhận dứt khoát, và được chúng ta biết đến qua bộ Elements của Euclid [107], nơi lý thuyết ấy được trình bày một cách bậc thầy (trong Quyển V của bộ Elements này):

1) Từ ngữ và ý niệm về số được dành một cách nghiêm ngặt cho các số nguyên > 1 (1 là đơn tử chứ không phải là một số theo nghĩa chặt), loại trừ không chỉ các số vô tỉ của chúng ta mà ngay cả những số mà ta gọi là số hữu tỉ, vì đối với các nhà toán học Hy Lạp thời cổ điển, các số này là những tỉ số của các số. Ở đây có nhiều hơn là một vấn đề thuật ngữ đơn thuần, vì từ số gắn liền đối với người Hy Lạp (và cả đối với người hiện đại cho đến những thời kỳ gần đây) với ý tưởng về một hệ có một luật hợp thành kép (phép cộng và phép nhân): các tỉ số của các số nguyên được các nhà toán học Hy Lạp cổ điển quan niệm như những toán tử, được xác định trên tập hợp các số nguyên hoặc trên một phần của tập hợp này (tỉ số của p với q là toán tử gán cho N, nếu N là bội của q, số nguyên p.(N/q)), và tạo thành một nhóm nhân, chứ không phải một hệ với một luật hợp thành kép. Về điểm này, các nhà toán học Hy Lạp tự nguyện tách mình khỏi các “logisticiens” hay các nhà tính toán chuyên nghiệp, những người, cũng như các tiền bối Ai Cập và Babylon của họ, không ngần ngại đối xử các phân thức hay tổng của một số nguyên và một phân thức như những số. Hơn nữa dường như họ đã tự áp đặt cho mình sự hạn chế này đối với ý niệm về số vì những động cơ mang tính triết học hơn là toán học, và tiếp nối những suy tư của các nhà tư tưởng Hy Lạp đầu tiên về đơn vị và cái bội, đơn vị không thể bị phân chia (trong hệ tư tưởng này) mà không đồng thời mất đi chính bởi tác động đó tính cách đơn vị của nó.$^3$

$^1$ Việc phát hiện ra tính vô tỉ của $\sqrt{2}$ được một số người quy cho chính Pythagoras, dường như không có đủ căn cứ; những người khác lại quy cho một nhà Pythagore nào đó của thế kỷ V; người ta nhất trí, dựa trên lời chứng của Plato trong Theetete, khi quy cho Theodorus xứ Cyrene chứng minh tính vô tỉ của $\sqrt{3}, \sqrt{5}$, "và do đó cứ thế cho đến $\sqrt{17}$", tiếp theo đó Theetete hoặc đã thu được một chứng minh tổng quát cho $\sqrt{N}$ ($N =$ một số nguyên không phải là số chính phương), hoặc trong mọi trường hợp (nếu như, như có thể xảy ra, chứng minh của Theodorus là tổng quát về nguyên lý) đã đi đến một sự phân loại một số kiểu vô tỉ nào đó. Không biết những chứng minh đầu tiên này về tính vô tỉ đã đi theo con đường số học hay hình học: xem về điểm này [148], chương IV; so sánh thêm [153 a], [321] và [151]. $^2$ Về vấn đề này, đặc biệt hãy tham khảo [153 a], [309 b and c], và thêm nữa các công trình được dẫn trong chú thích trước, cũng như [317 c]. $^3$ Plato ([250], quyển VII, 525th) chế giễu những người tính toán "đổi đơn vị ra tiền lẻ" và cho ta biết rằng, ở chỗ những người ấy chia, thì các học giả lại nhân: điều đó có nghĩa là, chẳng hạn, đối với nhà toán học, đẳng thức của hai tỉ số $a/b$ và $c/d$ được thực hiện không phải bằng cách chia $a$ cho $b$ và $c$ cho $d$, điều nói chung dẫn đến một

2) Lý thuyết về các đại lượng được đặt cơ sở tiên đề, đồng thời lại áp dụng cho mọi loại đại lượng (người ta gặp những ám chỉ tới các lý thuyết trước đó mà, theo những gì hiện ra, đã xét riêng rẽ các độ dài, diện tích, thể tích, thời gian, v.v.). Các đại lượng cùng một loại được đặc trưng bởi việc chúng có thể được so sánh với nhau (nghĩa là giả thiết có một định nghĩa về đẳng thức, mà nói cho đúng là một tương đương, cùng với các quan hệ $>$ và $<$), có thể được cộng và trừ ($A + B$ được định nghĩa, và $A - B$ nếu $A > B$), và thỏa mãn tiên đề gọi là của "Archimedes"; rõ ràng ngay từ đầu tiên đề này đã được quan niệm như viên đá khóa của toàn bộ công trình (thật vậy nó là không thể thiếu đối với mọi sự đặc trưng tiên đề của số thực); hoàn toàn do ngẫu nhiên mà nó được mang tên Archimedes, và chính Archimedes này nhấn mạnh, trong lời mở đầu cuốn "Quadrature of the Parabola" của ông ([5 b], v. II, p. 265), rằng tiên đề ấy đã được các bậc tiền bối của ông sử dụng, rằng nó giữ một vai trò cốt yếu trong công trình của Eudoxus, và rằng các hệ quả của nó không kém phần chắc chắn so với những sự xác định diện tích và thể tích được làm mà không cần đến nó.$^4$

Dễ thấy rằng từ cơ sở tiên đề này tất yếu suy ra lý thuyết số thực. Cần chú ý rằng, đối với Eudoxus, các đại lượng của một loại cho trước tạo thành một hệ với một luật hợp thành trong (phép cộng), nhưng hệ này có một luật hợp thành ngoài mà các toán tử là các tỉ số của các đại lượng; các tỉ số này được quan niệm là tạo thành một nhóm nhân Abel. Với $A$ và $A'$ là các đại lượng cùng loại, và tương tự $B$ và $B'$, các tỉ số của $A$ và $A'$ và của $B$ và $B'$ được định nghĩa là bằng nhau nếu, với mọi số nguyên $m$ và $m'$, $mA < m'A'$ kéo theo $mB < m'B'$ và $mA > m'A'$ kéo theo $mB > m'B'$; các bất đẳng thức giữa các tỉ số được định nghĩa một cách tương tự. Việc các tỉ số này tạo thành một miền toán tử đối với mọi loại đại lượng là tương đương với tiên đề (không được phát biểu tường minh nhưng thường được dùng trong cách biên soạn của Euclid) về sự tồn tại của số hạng tỉ lệ thứ tư: cho một tỉ số $A/A'$ và cho $B'$, thì tồn tại một $B$, cùng loại với $B'$, sao cho $B/B' = A/A'$. Như vậy ý tưởng có tính độc đáo cao của Eudoxus cho phép đồng nhất giữa các miền toán tử được xác định cho mọi loại đại lượng;$^5$ một cách tương tự, tập hợp các số nguyên (xem trên) có thể được đồng nhất với một tập con của tập hợp các tỉ số của các đại lượng, cụ thể là tập hợp các tỉ số hữu tỉ (tỉ số của các đại lượng thông ước được); tuy nhiên, vì

phép tính phân thức (đó là cách mà người Ai Cập và người Babylon dường như cũng đã thao tác), mà bằng việc kiểm tra rằng $a.d = b.c$; và những sự kiện tương tự khác.

$^4$ Một ám chỉ hiển nhiên đến những cuộc tranh luận đã không được lưu lại cho chúng ta: người ta có thể tin rằng đây là một lối nói hiện đại về tiên đề của Zermelo.

$^5$ Nhờ vậy người ta đã có thể làm một cách hoàn toàn chặt chẽ điều mà các nhà toán học Hy Lạp vẫn thường làm, khi họ xem như đã chứng minh một định lý về tỉ lệ ngay khi nó đã được chứng minh cho mọi tỉ số hữu tỉ. Có vẻ như trước Eudoxus, đã có một cố gắng nhằm xây dựng một lý thuyết đạt tới cùng những mục tiêu ấy bằng cách định nghĩa tỉ số $A/A'$ của hai đại lượng theo cái mà ngày nay ta gọi bằng ngôn ngữ hiện đại là các số hạng của phân số liên tục biểu diễn nó; về những cố gắng này, mà thuật toán gọi là của "Euclid" để tìm một độ đo chung cho $A$ và $A'$ nếu nó tồn tại (hoặc để xác định ước chung lớn nhất) tự nhiên dẫn tới, xem [17 a].

sự kiện là các tỉ số ấy, chừng nào chúng còn là các toán tử trên các số nguyên, thì (nói chung) chỉ được định nghĩa trên một tập con của tập hợp các số nguyên, nên vẫn còn cần phải phát triển lý thuyết của chúng một cách riêng biệt (Quyển VII của Euclid).

Miền của các phép toán phổ quát được dựng như vậy do đó, đối với các nhà toán học Hy Lạp, là tương đương với cái mà đối với chúng ta là tập hợp số thực; hơn nữa, rõ ràng là với phép cộng các đại lượng và phép nhân các tỉ số của các đại lượng, họ đã có cái tương đương với cái mà đối với chúng ta là trường số thực, mặc dù dưới một dạng kém tiện dụng hơn rất nhiều.$^6$ Mặt khác, có thể tự hỏi liệu họ có quan niệm các tập hợp ấy (tập hợp các đại lượng cùng một loại, hoặc các tập hợp các tỉ số của các đại lượng) là đầy đủ theo nghĩa của chúng ta hay không; nếu không thì thật khó thấy vì sao họ lại giả định (thậm chí không cảm thấy cần phải biến điều đó thành một tiên đề) sự tồn tại của số hạng tỉ lệ thứ tư; hơn nữa, một số văn bản dường như quy chiếu đến những ý niệm thuộc loại này; sau hết, chắc chắn họ đã coi là hiển nhiên rằng một đường cong, có thể được mô tả bởi một chuyển động liên tục, không thể đi từ phía này sang phía kia của một đường thẳng mà không cắt nó, một nguyên lý mà chẳng hạn họ đã dùng trong các nghiên cứu của mình về bài toán nhân đôi khối lập phương (phép dựng của $\sqrt{2}$ bằng giao của các đường cong) và về cơ bản là tương đương với tính chất đang xét; tuy nhiên, những văn bản mà chúng ta hiện có không cho phép chúng ta biết với độ chính xác hoàn toàn những ý niệm của họ về điểm này.

Như vậy, đó là tình trạng của lý thuyết số thực trong thời kỳ cổ điển của toán học Hy Lạp. Dù phép dựng của Eudoxus đáng khâm phục đến đâu, và không để lại điều gì đáng mong muốn xét theo quan điểm mạch lạc và chặt chẽ, vẫn phải thừa nhận rằng nó thiếu tính mềm dẻo, và hầu như không thuận lợi cho sự phát triển của các phép tính số, đặc biệt là các phép tính đại số. Hơn nữa, tính tất yếu lôgic của nó chỉ có thể được đánh giá bởi những đầu óc say mê sự chặt chẽ và đã quen với sự trừu tượng; do đó, thật tự nhiên khi cùng với sự suy tàn của toán học Hy Lạp, người ta thấy dần dần xuất hiện trở lại quan điểm "ngây thơ" đã được gìn giữ nhờ truyền thống của các nhà lôgic; chính quan điểm đó chi phối chẳng hạn ở Diophantus [91 a], một người kế tục đích thực của truyền thống này hơn là của khoa học Hy Lạp chính thống; khoa học chính thống này, trong khi vì hình thức mà lặp lại định nghĩa Euclid về số, thì trên thực tế lại hiểu bởi từ "số" ẩn số của các bài toán đại số mà nghiệm là hoặc một số nguyên, hoặc một số phân thức, hoặc thậm chí một số vô tỉ.$^7$ Mặc dù sự thay đổi thái độ này, về chủ đề số, gắn liền với một trong những bư-

$^6$ Kém tiện dụng đến mức các nhà toán học Hy Lạp, để chuyển khoa học đại số của người Babylon sang ngôn ngữ của mình, đã thấy cần phải dùng một cách có hệ thống một phương tiện thuộc một trật tự hoàn toàn khác, tức là sự tương ứng giữa hai độ dài và diện tích của một hình chữ nhật được dựng trên hai độ dài ấy làm cạnh: điều này, nói cho đúng, không phải là một luật hợp thành, và không cho phép viết một cách thuận tiện các quan hệ đại số có bậc lớn hơn bậc hai.

$^7$ "Số' hóa ra không hữu tỉ", Diophantus, quyển IV, bài toán IX. Về sự quay trở lại này đối với khái niệm ngây thơ về số, xem thêm Eutocius, trong Commentary on Archimedes của ông ([5 b], v. III, pp. 120-126).

ớc tiến quan trọng nhất trong lịch sử toán học, tức là sự phát triển của Đại số (xem p. 48), thì tự nó, cần hiểu cho đúng, không cấu thành một tiến bộ, mà đúng hơn là một sự thoái bộ.

Ở đây chúng ta không thể theo dõi tất cả những thăng trầm của ý niệm về số xuyên qua toán học Ấn Độ, Ả Rập và phương Tây cho đến cuối thời Trung cổ: chính khái niệm "ngây thơ" về số là cái chi phối; và, mặc dù Các yếu tố của Euclid được dùng làm cơ sở cho việc giảng dạy toán học trong thời kỳ này, có lẽ học thuyết của Eudoxus nhìn chung vẫn không được hiểu, vì sự cần thiết của nó không còn xuất hiện nữa. Các "tỉ số" của Euclid thường được gọi là "số"; các quy tắc tính toán của số nguyên được áp dụng cho chúng, và như thế thu được các kết quả khớp, mà không tìm cách phân tích sâu các lý do thành công của những phương pháp ấy.

Tuy nhiên, ta đã thấy R. Bombelli, vào giữa thế kỷ XVI, viết về chủ đề này, trong Algebra của ông [28 b],$^8$ một quan điểm mà (với điều kiện giả định là các kết quả của quyển V của Euclid đã được thừa nhận) về cơ bản là đúng; sau khi đã nhận ra rằng một khi đã chọn đơn vị độ dài thì có một sự tương ứng song ánh giữa các độ dài và các tỉ số của các đại lượng, ông định nghĩa các phép toán đại số khác nhau (dĩ nhiên giả sử đơn vị là cố định) trên các độ dài, và, biểu diễn các số bằng các độ dài, đạt tới định nghĩa hình học của trường số thực (một quan điểm mà công trạng thường được gán cho Descartes), và như vậy đem lại cho Algebra của ông một cơ sở hình học vững chắc.$^9$

Nhưng Algebra của Bombelli, dù tiến bộ một cách khác thường đối với thời đại của ông, cũng không vượt quá việc khai căn và việc giải bằng căn thức các phương trình bậc 2, 3 và 4; dĩ nhiên khả năng khai căn được ông giả định mà không bàn luận. Simon Stévin [295] cũng chấp nhận một quan điểm tương tự về chủ đề số, đối với ông đó là cái đánh dấu một phép đo của đại lượng, và ông coi nó là về bản chất "liên tục" (mà không xác định rõ nghĩa ông gán cho từ này); nếu ông phân biệt giữa "các số hình học" và "các số số học", thì chỉ là do ngẫu nhiên của phương thức định nghĩa của chúng, chứ đối với ông không hề có ở đó một sự khác biệt về loại; hơn nữa, đây là lời kết của ông về chủ đề này: "Do đó chúng tôi kết luận rằng không có những số phi lý, vô tỉ, bất quy tắc, không giải thích được hay điếc; mà trái lại ở chúng có một sự tuyệt hảo và hòa hợp đến mức chúng ta có đủ chất liệu để suy ngẫm ngày đêm về sự hoàn hảo đáng khâm phục của chúng" ([295], p. 10). Mặt khác, là người đầu tiên đã biến công cụ phân thức thập phân thành

$^8$ Ở đây nói đến quyển IV của bộ Algebra này, quyển vẫn chưa được xuất bản cho đến ngày nay; đối với đối tượng của mệnh đề dưới đây, việc các ý tưởng của Bombelli về chủ đề này có được những người cùng thời với ông biết đến hay không hầu như không quan trọng. $^9$ Ở đây chúng tôi sẽ không đi vào lịch sử việc sử dụng các số âm, vốn thuộc phạm vi của Đại số. Tuy nhiên, hãy chú ý rằng Bombelli, cũng tại chính chỗ này, đã nêu ra với sự rõ ràng hoàn hảo định nghĩa thuần túy hình thức (như có thể thấy trong một bộ Đại số hiện đại), không những của các đại lượng âm, mà còn của cả các số phức.

một phương pháp tính toán, và đề xuất cho chúng một ký hiệu đã gần với ký hiệu của chúng ta, ông đã quan niệm rõ ràng rằng các phân thức này cung cấp một thuật toán xấp xỉ vô định đối với mọi số thực, như ông trình bày trong Appendice algebraique của ông năm 1594 "chứa một quy tắc tổng quát cho mọi Phương trình" (một tập sách nhỏ mà bản duy nhất được biết đến đã bị cháy ở Louvain năm 1914; nhưng xem [295], p. 88). Sau khi đưa một phương trình như thế về dạng $P(x) = Q(x)$ (trong đó $P$ là một đa thức có bậc lớn hơn bậc của đa thức $Q$, và $P(0) < Q(0)$), ta thay $x$ bằng các số 10, 100, 1000, ... cho đến khi tìm được $P(x) > Q(x)$, điều mà, theo ông, xác định số chữ số của nghiệm; sau đó (nếu chẳng hạn thấy nghiệm có hai chữ số) ta thay lần lượt 10, 20, ... điều này xác định chữ số hàng chục; rồi làm như thế đối với chữ số tiếp theo, rồi đối với các chữ số thập phân kế tiếp: "Và cứ tiếp tục như vậy vô hạn", ông nói, "người ta đạt tới vô hạn gần cái cần tìm" ([295], p. 88). Như có thể thấy, Stévin đã có (không nghi ngờ gì là người đầu tiên) một ý niệm rõ ràng về định lý của Bolzano và đã nhận thấy trong định lý này công cụ cốt yếu để giải một cách có hệ thống các phương trình số; đồng thời, ở đây cũng thấy được một quan niệm trực giác về continuum số, rõ ràng đến mức chỉ còn rất ít việc phải làm để làm cho nó chính xác một cách dứt khoát.

Tuy nhiên, trong hai thế kỷ tiếp theo, việc thiết lập dứt khoát các phương pháp đúng đắn đã hai lần bị làm chậm lại bởi sự phát triển của hai lý thuyết mà ở đây chúng tôi không phải trình bày lịch sử: phép tính vi phân, và lý thuyết chuỗi. Qua những cuộc tranh luận mà chúng làm nảy sinh, người ta nhận ra, như trong mọi thời kỳ của lịch sử toán học, sự thăng bằng thường trực giữa những người tìm kiếm bận tâm đến việc tiến lên, với cái giá là một mức độ thiếu an toàn nào đó, vì tin rằng về sau sẽ luôn có thời gian để củng cố lãnh thổ đã chinh phục được, và những tinh thần phê phán, những người ấy (mà về trực giác và tài năng sáng tạo không nhất thiết kém gì những người trước) không tin rằng mình phí công khi dành một phần nỗ lực cho sự diễn đạt chính xác và sự biện minh chặt chẽ cho các khái niệm của mình. Trong thế kỷ XVII, đối tượng tranh luận chính là khái niệm vô cùng bé, khái niệm mà, được biện minh a posteriori bởi các kết quả nó cho phép đạt tới, dường như đối lập công khai với tiên đề Archimedes; và ta thấy những tinh thần cởi mở nhất thời đó cuối cùng đã chấp nhận một quan điểm hầu như không khác với quan điểm của Bombelli, và chỉ phân biệt với quan điểm ấy chủ yếu ở sự chú ý lớn hơn dành cho các phương pháp chặt chẽ của người xưa; Isaac Barrow (thầy của Newton, và bản thân ông cũng giữ một vai trò quan trọng trong việc hình thành phép tính vi phân) đã trình bày một sự khai triển rực rỡ về điều đó trong các Lessons in Mathematics giảng tại Cambridge các năm 1664-65-66 [16 a and b]; thừa nhận sự cần thiết, để tìm lại cho đối tượng là các số "sự chắc chắn hình học" nổi tiếng, phải quay trở về lý thuyết của Eudoxus, ông trình bày dài dòng, và rất sáng suốt, việc biện hộ cho lý thuyết này (lý thuyết mà, như ông làm chứng, đối với nhiều người cùng thời với ông dường như khó hiểu) chống lại những ai công kích nó vì tối nghĩa hoặc thậm chí phi lý. Mặt khác, khi định nghĩa các số là những ký hiệu biểu thị tỉ số của các đại lượng, và có thể được kết hợp với nhau bằng các phép toán số học, ông đã thu được trường các số thực, bằng những thuật ngữ mà Newton đã dùng lại sau ông trong bộ Arithmetic của mình và các người kế tục ông cho đến Dedekind và Cantor vẫn không thay đổi gì.

Nhưng cũng vào khoảng thời gian đó, phương pháp khai triển thành chuỗi được đưa vào, phương pháp chẳng bao lâu, trong tay những nhà đại số không biết hối cải, đã mang một đặc trưng hoàn toàn hình thức và làm cho sự chú ý của các nhà toán học xa rời những vấn đề hội tụ mà việc sử dụng lành mạnh các chuỗi đặt ra trong lĩnh vực các số thực. Newton, người sáng tạo chính của phương pháp này, vẫn còn ý thức được sự cần thiết phải xét các vấn đề ấy: và, nếu ông chưa soi sáng chúng một cách đầy đủ, thì ít nhất ông đã nhận thấy rằng các chuỗi lũy thừa mà ông đưa vào hội tụ "trong phần lớn các trường hợp" ít nhất cũng tốt như một chuỗi hình học (mà sự hội tụ đã được người xưa biết đến) đối với những giá trị nhỏ của biến ([233 a], v. I, tr. 3-26); gần như cùng thời gian đó, Leibniz đã nhận thấy rằng một chuỗi phản xứng, với các hạng giảm theo giá trị tuyệt đối và tiến tới 0, là hội tụ; trong thế kỷ sau, d'Alembert, năm 1768, bày tỏ những nghi ngờ về việc sử dụng các chuỗi không hội tụ. Nhưng uy tín của Bernoulli và nhất là của Euler đã khiến những nghi ngờ như vậy trở thành ngoại lệ vào thời kỳ ấy.

Rõ ràng là các nhà toán học vốn có thói quen dùng chuỗi trong tính toán số trị hẳn đã không bao giờ xem nhẹ như vậy khái niệm hội tụ; và không phải ngẫu nhiên mà người đầu tiên, trong lĩnh vực này cũng như trong nhiều lĩnh vực khác, đã đưa đến một sự trở về với các phương pháp đúng đắn, lại là một nhà toán học ngay từ buổi đầu thanh niên đã yêu thích tính toán số trị: C. F. Gauss, người, gần như khi còn là một đứa trẻ, đã dùng thuật toán của trung bình số học-hình học,$^{10}$ không thể không tự hình thành cho mình một ý niệm rõ ràng về các giới hạn; và ta thấy ông, trong một mảnh bản thảo có niên đại từ năm 1800 (nhưng chỉ mới được công bố vào thời chúng ta) ([124 a], v X$_1$, p. 390), định nghĩa một cách chính xác, một mặt cận trên và cận dưới, mặt khác giới hạn trên và giới hạn dưới của một dãy số thực; sự tồn tại của những cái đầu tiên (đối với một dãy bị chặn) dường như được giả định là hiển nhiên, còn những cái sau thì đã được định nghĩa đúng như các giới hạn, khi $n$ tiến tới $+\infty$, của $\sup_{p \geq 0} u_{n+p}, \inf_{p \geq 0} u_{n+p}$. Gauss cũng đưa ra, trong hồi ký năm 1812 của ông về chuỗi siêu bội ([124 a], v. III, p. 139), mô hình đầu tiên của một sự bàn luận về hội tụ được tiến hành, như ông nói, "với tất cả tính chặt chẽ, và được thực hiện để thỏa mãn những người thiên về các phương pháp chặt chẽ của các nhà hình học cổ đại": quả thật sự bàn luận này, chỉ là một điểm thứ yếu trong hồi ký, không quay trở lại các nguyên lý đầu tiên trong lý thuyết chuỗi; chính Cauchy là người thiết lập các nguyên lý đầu tiên ấy, trong Cours d'Analyse của ông năm 1821 ([56 a], (2), v. III), theo một cách thức đúng đắn về mọi điểm, xuất phát từ tiêu chuẩn Cauchy được phát biểu rõ ràng, và được giả định là hiển nhiên; vì, đối với định nghĩa về số, ông vẫn giữ quan điểm của Barrow và Newton, nên có thể nói rằng đối với ông

$^{10}$ $x_0, y_0$ được cho và $> 0$, đặt $x_{n+1} = (x_n + y_n)/2, y_{n+1} = \sqrt{x_n y_n}$; khi $n$ tiến tới $+\infty$, $x_n$ và $y_n$ tiến tới (rất nhanh) một giới hạn chung, được gọi là trung bình số học-hình học của $x_0$ và $y_0$; hàm này liên hệ mật thiết với các hàm elliptic và đã tạo thành điểm xuất phát cho những công trình quan trọng của Gauss về chủ đề này.

các số thực được xác định bởi các tiên đề về đại lượng và tiêu chuẩn Cauchy: điều đó quả thật là đủ để xác định chúng.

Cũng vào thời ấy mà một khía cạnh quan trọng khác của lý thuyết các số thực được làm sáng tỏ một cách dứt khoát. Như chúng tôi đã nói, người ta từ lâu vẫn giả định là hiển nhiên về mặt hình học rằng hai đường cong liên tục không thể chéo qua nhau mà không giao nhau; một nguyên lý mà (nếu được làm cho chính xác một cách thích hợp) cũng sẽ tương đương với tính chất đường thẳng là một không gian đầy đủ. Nguyên lý này vẫn còn là một phần của cơ sở của chứng minh "chặt chẽ" mà Gauss đã cho năm 1799 đối với định lý của d'Alembert, theo đó mọi đa thức với hệ số thực đều có một nghiệm thực hoặc phức ([124 a], v. III, p. 1); chứng minh của cùng định lý đó, do Gauss đưa ra năm 1815 ([124 a], v. III, p. 31), cũng dựa, giống như một cố gắng trước đó của Lagrange, trên nguyên lý tương tự nhưng đơn giản hơn, theo đó một đa thức không thể đổi dấu mà không trở thành không (một nguyên lý mà ta đã thấy Stévin dùng). Năm 1817, Bolzano đưa ra, xuất phát từ tiêu chuẩn Cauchy, một chứng minh đầy đủ của nguyên lý sau này, mà ông thu được như một trường hợp riêng của một định lý tương tự về các hàm số trị liên tục của một biến số trị [27 c]. Phát biểu rõ ràng (trước Cauchy) "tiêu chuẩn Cauchy", ông tìm cách biện minh nó bằng một lập luận mà, trong tình trạng chưa có mọi định nghĩa số học về số thực, chỉ là và chỉ có thể là một vòng luẩn quẩn; nhưng, một khi điểm này được thừa nhận, công trình của ông hoàn toàn đúng đắn và rất đáng chú ý, vì chứa không chỉ định nghĩa hiện đại của một hàm liên tục (được cho ở đây lần đầu tiên), cùng với một chứng minh về tính liên tục của các đa thức, mà cả chứng minh về sự tồn tại của cận dưới của một tập hợp bị chặn tùy ý các số thực (ông không nói về các tập hợp, nhưng, điều này cũng đi đến cùng một điều, về các tính chất của các số thực). Mặt khác, Cauchy, trong Cours d'Analyse của ông ([56 a], (2), v. III), khi định nghĩa, ông cũng vậy, các hàm liên tục của một hay nhiều biến số trị, cũng chứng minh rằng một hàm của một biến không thể đổi dấu mà không trở thành không, và điều này bằng cùng lập luận như Simon Stévin, lập luận này dĩ nhiên trở thành đúng đắn, một khi tính liên tục được định nghĩa, ngay khi dùng tiêu chuẩn Cauchy (hoặc ngay khi giả định nguyên lý tương đương của cái gọi là "các khoảng lồng nhau", như Cauchy làm ở điểm này, mà sự hội tụ của các phân số thập phân vô hạn dĩ nhiên chỉ là một trường hợp riêng).

Một khi đã đi tới điểm ấy, các nhà toán học chỉ còn việc làm chính xác và phát triển các kết quả đã thu được, bằng cách sửa một vài sai lầm và lấp một vài chỗ trống. Chẳng hạn, Cauchy đã có thời tin rằng một chuỗi hội tụ, mà các số hạng là những hàm liên tục của một biến, có tổng là một hàm liên tục: sự sửa chữa điểm này bởi Abel, trong quá trình những công trình quan trọng của ông về chuỗi ([1], v. I, p. 219; xem thêm v. II, p. 257 và passim), cuối cùng đã dẫn đến sự làm sáng tỏ bởi Weierstrass, trong các bài giảng của ông (không được xuất bản, nhưng đã có một ảnh hưởng đáng kể), về khái niệm hội tụ đều (xem p. 205). Mặt khác, Cauchy đã, không có sự biện minh đầy đủ, giả định sự tồn tại của một giá trị nhỏ nhất của một hàm liên tục trong một trong các chứng minh do ông đưa ra về sự tồn tại của các nghiệm của một đa thức; lại chính là

Chính Weierstrass là người đã đem lại sự sáng tỏ cho những vấn đề thuộc loại này khi ông chứng minh trong các bài giảng của mình sự tồn tại của một giá trị nhỏ nhất đối với các hàm của những biến số, được xác định trên các khoảng đóng bị chặn; tiếp theo sau sự phê phán của ông đối với việc áp dụng không được biện minh của định lý này cho các tập hợp hàm số (mà "nguyên lý Dirichlet" là ví dụ nổi tiếng nhất) là sự khởi đầu của phong trào tư tưởng kết thúc (xem p. 143) ở định nghĩa tổng quát về các không gian compắc và cách phát biểu hiện đại của định lý.

Đồng thời, Weierstrass, trong các bài giảng của mình, đã nhận ra lợi ích lôgic của việc tách biệt hoàn toàn ý niệm về số thực khỏi lý thuyết về các đại lượng: thực vậy, làm như thế quy về việc định nghĩa bằng tiên đề tập hợp các điểm của đường thẳng (do đó rốt cuộc là tập hợp các số thực) và giả thiết sự tồn tại của một tập hợp như vậy; tuy cách làm này về thực chất là đúng, hiển nhiên tốt hơn là chỉ xuất phát từ các số hữu tỉ, rồi từ đó suy ra các số thực bằng phép hoàn thiện.$^{11}$ Điều đó đã được thực hiện, bằng những phương pháp khác nhau, và độc lập với nhau, bởi Weierstrass, Dedekind, Méray và Cantor; trong khi thủ tục gọi là các "lát cắt", do Dedekind đề xuất ([79], v. II, pp. 315-334), gần hơn nhiều với các định nghĩa của Eudoxus, thì các phương pháp khác được đề xuất lại gần hơn với phương pháp được dùng từ Hausdorff để hoàn thiện một không gian mêtric. Cũng chính vào lúc này mà Cantor bắt đầu phát triển lý thuyết các tập hợp số thực, mà Dedekind đã có ý tưởng đầu tiên [48], nhờ đó thu được các kết quả sơ cấp chủ yếu về tôpô của đường thẳng, cấu trúc của các tập mở, của các tập đóng, các khái niệm về tập dẫn xuất, tập hoàn hảo hoàn toàn gián đoạn, v.v..

Với Cantor, lý thuyết số thực đã nhận được, trừ một vài ngoại lệ, dạng thức dứt khoát của nó; chúng tôi hãy chỉ ra vắn tắt nó đã được mở rộng theo cách nào. Ngoài các công trình về tôpô tổng quát (xem p. 143), và các ứng dụng vào Tích phân (xem p. 221), chủ yếu là những nghiên cứu về cấu trúc và phân loại các tập hợp điểm trên đường thẳng và các hàm số của biến thực; chúng bắt nguồn từ các công trình của Borel [32 a], chủ yếu hướng tới lý thuyết độ đo, nhưng trong đó rốt cuộc đã đi đến, cùng với những điều khác, định nghĩa các "tập Borel": đó là các tập hợp thuộc họ nhỏ nhất các tập con của $\mathbf{R}$, chứa các khoảng, và đóng đối với phép hợp và giao đếm được cùng phép toán C. Gắn bó mật thiết với các tập hợp ấy là các hàm gọi là "Baire", tức là những hàm có thể thu được khi xuất phát từ các hàm liên tục bằng phép lấy giới hạn, được lặp lại "siêu hữu-

$^{11}$ Thật vậy, vấn đề tồn tại, nghĩa là, theo ngôn ngữ hiện đại, tính không mâu thuẫn của lý thuyết số thực, như vậy được quy về vấn đề tương tự đối với các số hữu tỉ, tuy nhiên với điều kiện giả thiết rằng lý thuyết các tập hợp trừu tượng đã được biết (vì phép hoàn thiện giả định khái niệm tập con bất kỳ của một tập vô hạn); nói cách khác, mọi sự đều quy về lý thuyết sau cùng này, vì từ đó người ta có thể suy ra lý thuyết các số hữu tỉ. Trái lại, nếu giả thiết rằng LÝ THUYẾT TẬP HỢP chưa có sẵn, thì không thể quy tính không mâu thuẫn của lý thuyết số thực về tính không mâu thuẫn của số học, và lại cần thiết phải cho nó một đặc trưng tiên đề độc lập.

hạn"; chúng đã được Baire định nghĩa trong quá trình một công trình quan trọng, ở đó ông hoàn toàn từ bỏ quan điểm độ đo để khảo sát một cách có hệ thống khía cạnh định tính và "tôpô" của những vấn đề này [11 a]: chính nhân dịp này ông định nghĩa và nghiên cứu lần đầu tiên các hàm nửa liên tục, và nhằm đặc trưng các hàm giới hạn của các hàm liên tục, ông đưa vào khái niệm quan trọng về tập hợp gầy (tập "loại thứ nhất" trong thuật ngữ của Baire) (xem p. 165). Còn đối với rất nhiều công trình tiếp theo các công trình của Baire, chủ yếu là của các trường phái Nga và nhất là Ba Lan, thì ở đây chúng tôi chỉ có thể lưu ý đến sự tồn tại của chúng mà thôi (xem p. 166).