13. Hàm mũ và logarit.

Lịch sử của nhóm nhân $\mathbf{R}_+^*$ của các số thực $> 0$ gắn bó chặt chẽ với lịch sử phát triển của khái niệm lũy thừa của một số $> 0$, và của các ký hiệu được dùng để chỉ chúng. Quan niệm về một "cấp số nhân" tạo thành bởi các lũy thừa liên tiếp của cùng một số có từ thời người Ai Cập và người Babylon; nó đã quen thuộc với các nhà toán học Hy Lạp, và người ta đã thấy trong Euclid (Cơ sở, Quyển IX, mệnh đề 11) một mệnh đề tổng quát tương đương với quy tắc $a^m a^n = a^{m+n}$ đối với các số mũ nguyên $> 0$. Vào thời Trung cổ, nhà toán học Pháp N. Oresme (thế kỷ XIV) đã tìm lại quy tắc này; cũng chính ở ông lần đầu tiên xuất hiện khái niệm số mũ phân số $> 0$, với một ký hiệu đã gần với ký hiệu của chúng ta và một số quy tắc tính toán (được phát biểu dưới dạng tổng quát) liên quan đến chúng (chẳng hạn hai quy tắc mà ngày nay ta viết $(ab)^{1/n} = a^{1/n} b^{1/n}$, $(a^m)^{p/q} = (a^{mp})^{1/q}$ [74]. Nhưng các ý tưởng của Oresme đã đi trước quá xa so với Toán học thời ông để có thể gây ảnh hưởng đến những người cùng thời, và chuyên luận của ông nhanh chóng chìm vào quên lãng. Một thế kỷ sau, N. Chuquet phát biểu lại quy tắc của Euclid; ông cũng đưa vào một ký hiệu hàm mũ cho các lũy thừa của các ẩn trong các phương trình của mình, và không ngần ngại sử dụng số mũ 0 và các số mũ nguyên $< 0$.$^1$ Lần này (mặc dù công trình của Chuquet vẫn ở dạng bản thảo và dường như không được lưu hành nhiều), ý tưởng về đẳng cấu giữa "cấp số cộng" của các số mũ và "cấp số nhân" của các lũy thừa sẽ không còn bị mất dấu; được mở rộng đến các số mũ âm và các số mũ phân số bởi Stifel ([298], fol. 35 và 249-250), cuối cùng nó dẫn đến định nghĩa của các logarit và phép dựng các bảng đầu tiên, được tiến hành độc lập bởi người Scot J. Napier, vào năm 1614-1620, và người Thụy Sĩ J. Bürgi (công trình của ông chỉ xuất hiện vào năm 1620, mặc dù quan niệm của ông có từ những năm đầu của thế kỷ XVII). Với Bürgi, tính liên tục của đẳng cấu được thiết lập giữa $\mathbf{R}$ và $\mathbf{R}_+^*$ được ngầm giả định bởi việc sử dụng phép nội suy trong việc sử dụng các bảng; trái lại nó được phát biểu tường minh trong định nghĩa của

$^1$ Chuquet viết chẳng hạn $12^1, 12^2, 12^3$, v.v., cho $12x, 12x^2, 12x^3$, v.v., $12^0$ cho số 12, và $12^{2m}$ cho $12x^{-2}$ ([64], tr. 737-738).

Napier (ít nhất cũng tường minh như mức độ mà khái niệm khá mơ hồ về tính liên tục được chấp nhận vào thời đó cho phép).$^2$

Ở đây chúng ta không cần dừng lại về những dịch vụ mà các logarit đã mang lại trong phép tính số; từ quan điểm lý thuyết, tầm quan trọng của chúng đặc biệt bắt đầu từ những khởi đầu của phép tính vô cùng bé, với sự phát hiện các khai triển chuỗi của $\log(1 + x)$ và của $e^x$, và của các tính chất vi phân của các hàm này (xem tr. 172 và tiếp theo). Đối với định nghĩa của các hàm mũ và các logarit, cho đến giữa thế kỷ XIX, nó chỉ giới hạn ở việc giả định một cách trực giác khả năng mở rộng bằng tính liên tục hàm $a^x$ được xác định với mọi $x$ hữu tỉ lên tập hợp các số thực; và chỉ khi khái niệm số thực được làm chính xác hoàn toàn và được suy ra từ khái niệm số hữu tỉ, người ta mới nghĩ đến việc đưa ra một sự biện minh chặt chẽ cho sự mở rộng này.

$^2$ Napier xét hai điểm $M, N$ đồng thời chuyển động trên hai đường thẳng, chuyển động của $M$ là đều, còn chuyển động của $N$ sao cho vận tốc của $N$ tỉ lệ với hoành độ của nó; hoành độ của $M$ khi đó theo định nghĩa là logarit của hoành độ của $N$ ([230 a], p. 3).