14. Không gian chiều n.

Chúng ta đã có dịp nói rằng sự phát triển của Hình học giải tích của mặt phẳng và không gian đã dẫn các nhà toán học đến việc đưa vào khái niệm không gian $n$ chiều, khái niệm này cung cấp cho họ một ngôn ngữ hình học cực kỳ thuận tiện để biểu đạt một cách cô đọng và đơn giản các định lý đại số liên quan đến các phương trình với một số tùy ý các biến, và đặc biệt là tất cả các kết quả tổng quát của Đại số tuyến tính (xem p. 61). Nhưng nếu, vào khoảng giữa thế kỷ XIX, ngôn ngữ này đã trở nên thông dụng giữa nhiều nhà hình học, thì nó vẫn thuần túy quy ước, và sự thiếu vắng một biểu diễn “trực giác” của các không gian có nhiều hơn ba chiều dường như cấm đoán trong các lập luận sau này những lập luận “bằng tính liên tục” vốn được chấp nhận trong mặt phẳng hoặc trong không gian chỉ dựa trên “trực giác”. Chính Riemann là người đầu tiên, trong nghiên cứu của ông về giải tích situs và về các cơ sở của Hình học, đã dũng cảm lập luận theo cách đó bằng phép tương tự với trường hợp không gian ba chiều (xem p. 176);$^1$ theo sau ông, nhiều nhà toán học đã bắt đầu sử dụng, với thành công lớn, các lập luận có bản chất này, đặc biệt trong lý thuyết các hàm đại số của nhiều biến phức. Nhưng vì sự kiểm soát trực giác không gian vào thời đó còn rất hạn chế, người ta có thể có lý do chính đáng để rất hoài nghi về giá trị trong các chứng minh của những xem xét như vậy, và chỉ cho phép chúng thuần túy mang tính phương pháp khám phá, chừng nào chúng làm cho tính đúng đắn của một số định lý trở nên rất có vẻ hợp lý. Chính vì vậy mà H. Poincaré, trong hồi ký năm 1887 của ông về các phần dư của các tích phân kép của các hàm hai biến phức, tránh hết sức có thể mọi sự viện dẫn đến trực giác trong không gian bốn chiều: “Vì ngôn ngữ siêu hình học này vẫn còn gây khó chịu cho nhiều trí óc tốt”, ông nói, “tôi sẽ chỉ sử dụng nó một cách không thường xuyên”; các “thủ thuật” mà ông dùng cho mục đích này cho phép ông quay trở lại các lập luận tôpô trong không gian ba chiều, nơi đó ông không còn ngần ngại viện dẫn đến trực giác ([251 a], q. III, tr. 443 tt.).

Mặt khác, các phát hiện của Cantor, và đặc biệt là định lý nổi tiếng thiết lập rằng $\mathbf{R}$ và $\mathbf{R}^n$ là đẳng lực (điều dường như đặt chính khái niệm chiều vào vấn đề)$^2$ đã cho thấy rằng, để cung cấp một cơ sở vững chắc cho các lập luận của Hình học và Tôpô, điều không thể thiếu là giải phóng

$^1$ Xem thêm công trình của L. Schläfli ([273], q. I, tr. 169-387), có cùng thời điểm, nhưng chỉ được công bố vào thế kỷ XX.

$^2$ Điều thú vị cần chú ý là, ngay khi biết kết quả này, Dedekind đã hiểu lý do vì sao sự xuất hiện của nó lại nghịch lý đến thế, và đã thông báo cho họ hoàn toàn không cần viện dẫn đến trực giác. Chúng ta đã nói (x. p. 139) rằng nhu cầu này nằm ở nguồn gốc của quan niệm hiện đại về Tôpô tổng quát; nhưng ngay cả trước khi tạo lập ngành sau này, một nghiên cứu chặt chẽ đã bắt đầu về tôpô của các không gian số và các tổng quát hóa gần nhất của chúng (“các đa tạp $n$ chiều”) bằng các phương pháp chủ yếu xuất phát từ nhánh của Tôpô được gọi là “Tôpô tổ hợp” hay tốt hơn là “Tôpô đại số”, mà chúng ta không thể bàn ở đây.

Cantor rằng cần phải có khả năng chứng minh sự không thể tồn tại của một sự tương ứng song ánh và song liên tục giữa $\mathbf{R}^m$ và $\mathbf{R}^n$ với $m \neq n$ ([48], tr. 37-38).