15. Các số phức; phép đo góc.

Ở đây chúng tôi sẽ không trình bày lại một cách đầy đủ lịch sử phát triển của lý thuyết số phức cũng như của quaternion, vì về cơ bản các lý thuyết ấy thuộc lĩnh vực Đại số (xem pp. 72 và 62); nhưng chúng tôi sẽ nói vài lời về biểu diễn hình học của các số ảo, biểu diễn này trên nhiều phương diện tạo nên một bước tiến quyết định trong lịch sử Toán học.

Không còn nghi ngờ gì nữa, chính C. F. Gauss là người đầu tiên có một quan niệm rõ ràng về sự tương ứng song ánh giữa các số phức và các điểm của mặt phẳng,$^1$ và đặc biệt có công là người đầu tiên đã biết cách áp dụng ý tưởng ấy vào lý thuyết số phức, đồng thời thấy trước một cách rõ ràng lợi ích mà các nhà giải tích thế kỷ XIX sẽ rút ra từ đó. Trong suốt thế kỷ XVII và XVIII, các nhà toán học đã dần dần đi đến chỗ tin rằng các số ảo, vốn cho phép giải các phương trình bậc 2, cũng cho phép giải các phương trình đại số bậc tùy ý. Nhiều cố gắng chứng minh định lý này đã được công bố trong suốt thế kỷ XVIII; nhưng, ngay cả nếu không kể đến những cố gắng chỉ dựa trên một vòng luẩn quẩn, thì cũng không có cố gắng nào là không thể bị phản bác nghiêm trọng. Sau khi xem xét chi tiết các cố gắng ấy và phê phán chặt chẽ các chỗ thiếu sót, Gauss đã đề ra, trong Luận án khai mạc của ông (viết năm 1797, xuất bản năm 1799), việc cuối cùng đưa ra một chứng minh chặt chẽ; tiếp nhận một ý tưởng do d’Alembert nêu ra thoáng qua (trong chứng minh đã công bố của ông này năm 1746,$^2$ ông nhận xét rằng các điểm $(a, b)$ của mặt phẳng sao cho $a + ib$ là một nghiệm của đa thức $P(x + iy) = X(x, y) + iY(x, y)$, là các giao điểm của các đường cong $X = 0$ và $Y = 0$; bằng một sự khảo sát định tính các đường cong ấy, ông chỉ ra rằng một cung liên tục của một trong hai đường cong nối các điểm của hai miền phân biệt bị đường kia bao lại, và từ đó kết luận rằng các

$^1$ Người đầu tiên nảy ra ý tưởng về một sự tương ứng như vậy hẳn là Wallis, trong Treatise on Algebra của ông xuất bản năm 1685; nhưng các ý tưởng của ông về điểm này vẫn còn mơ hồ, và đã không có ảnh hưởng nào lên những người đương thời.

$^2$ Chứng minh này (trong đó d’Alembert không khai thác gì từ nhận xét làm điểm xuất phát cho Gauss) là chứng minh đầu tiên theo niên đại không quy về một sự viện dẫn vụng về các nguyên lý. Tuy nhiên Gauss, tuy phê phán chính xác các điểm yếu, vẫn không quên thừa nhận giá trị của ý tưởng cơ bản của d’Alembert: “sợi gân đích thực của chứng minh”, ông nói, “đối với tôi dường như không bị ảnh hưởng bởi mọi phản bác ấy” ([124 a], v. III, p. 11); ngay sau đó, ông phác ra một phương pháp làm cho lập luận của d’Alembert trở thành chặt chẽ; về thực chất, nó đã khá gần với lập luận của Cauchy trong một trong các chứng minh của ông về cùng định lý ấy.

đường cong cắt nhau ([124 a], v. III, p. 3; xem thêm [124 b]): một chứng minh mà, do tính sáng sủa và tính độc đáo của nó, tạo nên một bước tiến đáng kể so với các cố gắng trước đó, và chắc chắn là một trong những ví dụ đầu tiên của một lập luận thuộc Tôpô thuần túy được áp dụng vào một bài toán Đại số.$^3$

Trong Luận án của mình, Gauss không định nghĩa một cách tường minh sự tương ứng giữa các điểm của mặt phẳng và các số ảo; về phần các số ảo này, cũng như về những vấn đề “tồn tại” mà chúng đã đặt ra suốt hai thế kỷ, ông thậm chí còn giữ một thái độ khá dè dặt, cố ý trình bày toàn bộ các lập luận của mình dưới một dạng trong đó chỉ xuất hiện các số thực. Nhưng tiến trình ý tưởng trong chứng minh của ông sẽ hoàn toàn không thể hiểu nổi nếu chúng không giả định một sự đồng nhất hóa hoàn toàn có ý thức giữa các điểm của mặt phẳng và các số phức; và những nghiên cứu cùng thời của ông về lý thuyết số và các hàm elliptic, nơi các số phức cũng xuất hiện, chỉ càng củng cố giả thiết này. Quan niệm hình học về các số ảo đã trở nên quen thuộc với ông từ thời điểm nào, và trong tay ông nó sẽ dẫn đến những kết quả nào, đó là điều được chỉ ra rõ ràng trong các ghi chú (chỉ mới được công bố vào thời đại chúng ta) nơi ông áp dụng các số phức vào việc giải các bài toán của Hình học sơ cấp ([124 a], v. IV, p. 396 and v. VIII, p. 307). Còn tường minh hơn nữa là bức thư gửi Bessel năm 1811 ([124 a], v. VIII, pp. 90-91), trong đó ông phác họa những điểm cốt yếu của lý thuyết tích phân các hàm của biến phức: Cũng như vậy, ông nói, "rằng người ta có thể biểu diễn toàn bộ miền các lượng thực bằng một đường thẳng vô hạn, thì người ta cũng có thể hình dung ("sinnlich machen") toàn bộ miền của mọi lượng, các lượng thực và các lượng ảo, bằng một mặt phẳng vô hạn, trong đó mỗi điểm, được xác định bởi hoành độ $a$ và tung độ $b$, đồng thời biểu diễn lượng $a + ib$. Do đó, sự chuyển động liên tục của một giá trị của $x$ sang một giá trị khác diễn ra theo một đường, và vì thế có thể được thực hiện theo vô số cách ..."

Nhưng chỉ đến năm 1831 Gauss (nhân dịp đưa vào các “số nguyên Gauss” $a + ib$, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên) mới công khai trình bày các ý tưởng của mình về điểm này một cách sáng rõ như vậy ([124 a], v. II, Theoria Residuorum Biquadraticorum, Commentatio secunda, art. 38, p. 109, and Anzeige, pp. 174 ff.). Trong khoảng thời gian ấy, ý tưởng về biểu diễn hình học các số ảo đã lại được hai nhà tìm tòi khiêm tốn phát hiện một cách độc lập, cả hai đều là những nhà toán học nghiệp dư, ít nhiều tự học, và đối với họ đó cũng là đóng góp duy nhất cho khoa học, cả hai cũng hầu như không có nhiều tiếp xúc với môi trường khoa học đương thời. Vì thế, công trình của họ đứng trước nguy cơ rất lớn bị bỏ qua hoàn toàn; đó chính là điều đã xảy ra đối với người thứ nhất về thời gian, người Đan Mạch C. Wessel, tác giả một tập sách nhỏ xuất bản năm 1798, được quan niệm và soạn thảo rất sáng rõ, nhưng mãi một thế kỷ sau mới được đưa ra khỏi quên lãng; và tai nạn tương tự suýt nữa cũng đã xảy ra với người thứ hai, người Thụy Sĩ J. Argand, người mà chỉ tình cờ vào năm 1813 đã chứng kiến việc khai quật công trình của ông

$^3$ Gauss đã công bố cả bốn chứng minh của “định lý d’Alembert-Gauss”; chứng minh cuối cùng là một biến thể của chứng minh thứ nhất, và cũng như chứng minh thứ nhất, dựa vào những tính chất tôpô trực quan của mặt phẳng; nhưng chứng minh thứ hai và thứ ba lại dựa trên những nguyên lý hoàn toàn khác (xem p. 91).

công trình mà ông đã công bố bảy năm trước đó.$^4$ Công trình này đã gây ra một cuộc thảo luận sôi nổi trong Annales de Gergonne, và vấn đề ấy đã là đối tượng, ở Pháp và ở Anh, của nhiều công bố (do những tác giả khá ít tên tuổi) trong khoảng từ 1820 đến 1830; nhưng nó thiếu uy tín của một tên tuổi lớn để chấm dứt các cuộc tranh luận ấy và quy tụ các nhà toán học theo quan điểm mới; và phải đợi đến giữa thế kỷ thì biểu diễn hình học của các số ảo mới rốt cuộc được chấp nhận một cách phổ quát, sau các công bố của Gauss (đã dẫn ở trên) ở Đức, các công trình của Hamilton và Cayley về các hệ siêu phức ở Anh, và cuối cùng, ở Pháp, sự tán thành của Cauchy,$^5$ chỉ vài năm trước khi Riemann, bằng một sự mở rộng xuất sắc, cũng làm mở rộng vai trò của Hình học trong lý thuyết các hàm giải tích, đồng thời tạo ra Tôpô học.

Việc đo các góc bằng các cung mà chúng chắn trên đường tròn thì cổ xưa ngang với chính khái niệm góc, và đã được người Babylon biết đến; từ họ mà chúng ta giữ lại đơn vị đo góc là độ; hơn nữa, đối với họ, đó chỉ là vấn đề đo các góc nằm giữa 0 và $360^\circ$, điều này là đủ cho họ, vì các góc chủ yếu được họ dùng để đồng nhất vị trí của các thiên thể tại những điểm xác định trước trên các quỹ đạo biểu kiến của chúng, và để lập các bảng dùng trong những hoàn cảnh khoa học và chiêm tinh.

Ở các nhà hình học Hy Lạp thời cổ điển, định nghĩa về góc (Eucl. El., I, def. 8 and 9) còn hạn chế hơn nữa, vì nó chỉ áp dụng cho các góc nhỏ hơn hai góc vuông; và vì mặt khác lý thuyết về tỷ số và về phép đo của họ dựa trên sự so sánh các bội tùy ý lớn của những đại lượng được đo, nên đối với họ các góc không thể là một đại lượng đo được, mặc dù dĩ nhiên người ta gặp ở họ các khái niệm góc bằng nhau, góc lớn hơn hay nhỏ hơn góc kia, và tổng của hai góc khi tổng này không vượt quá hai góc vuông. Cũng như đối với phép cộng các phân thức, việc đo các góc do đó hẳn đã là trong mắt họ một thủ tục thực nghiệm không có giá trị khoa học. Quan điểm này được minh họa rõ bởi hồi ký đáng khâm phục của Archimedes về các đường xoắn ốc ([5 b], v. II, pp. 1-12), trong đó, do không thể định nghĩa chúng bằng tính tỷ lệ của vectơ bán kính với góc, ông đưa ra một mô tả động học của chúng

$^4$ Đối lập với Gauss, Wessel và Argand quan tâm nhiều hơn đến việc biện minh cho các phép tính với số phức hơn là làm cho biểu diễn hình học mà họ đề xuất có ích trong những nghiên cứu mới; Wessel không đưa ra một chỉ dẫn nào về các ứng dụng, và ứng dụng duy nhất mà Argand đưa ra là một chứng minh của định lý d’Alembert-Gauss, mà thực ra chỉ là một biến thể của chứng minh của d’Alembert, và chịu cùng những phản bác như thế. $^5$ Trong các công trình đầu tiên của ông về các tích phân của những hàm của biến số phức (giữa 1814 và 1826), Cauchy xem các số phức như những biểu thức “ký hiệu” và không đồng nhất chúng với các điểm của mặt phẳng; điều đó không ngăn ông luôn luôn gắn với số $x + iy$ điểm $(x, y)$ và tự do dùng ngôn ngữ của Hình học cho mục đích ấy.

(def 1, p. 44; cf mệnh đề của prop. 12, p. 46) mà từ đó ông vẫn xoay xở rút ra được, như phần còn lại của công trình của ông cho thấy, tất cả những gì mà khái niệm tổng quát về phép đo các góc hẳn đã cung cấp cho ông nếu ông có được nó. Còn các nhà thiên văn học Hy Lạp thì, về điểm này cũng như về nhiều điểm khác, dường như đã bằng lòng noi theo những người tiền nhiệm Babylon của mình.

Ở đây cũng vậy, như trong sự tiến triển của khái niệm số thực (cf. p. 150), sự nới lỏng tinh thần nghiêm ngặt, trong thời kỳ suy tàn của khoa học Hy Lạp, đã đưa đến sự trở lại của quan điểm “ngây thơ”, một quan điểm trong một vài phương diện lại gần với quan điểm của chúng ta hơn là quan niệm Euclid cứng nhắc. Chính vì thế mà một kẻ nội suy thiếu thận trọng đã chèn vào Euclid mệnh đề nổi tiếng (Eucl. El., VI, 33): “Các góc tỷ lệ với các cung mà chúng chắn trên đường tròn”,$^6$ và một nhà kinh viện vô danh bình luận về “chứng minh” của mệnh đề này đã không ngần ngại đưa vào, dĩ nhiên không có một sự biện minh nào, những cung bằng các bội tùy ý lớn của một chu vi, và những góc tương ứng với các cung ấy ([107], v. V, p. 357). Nhưng ngay cả Vietus, vào thế kỷ XVI, tuy có vẻ chạm tới quan niệm hiện đại của chúng ta về góc khi ông phát hiện rằng phương trình $\sin nx = \sin \alpha$ có nhiều nghiệm, cũng chỉ thu được những nghiệm tương ứng với các góc nhỏ hơn 2 góc vuông ([319], pp. 305-313). Chỉ đến thế kỷ XVII thì quan điểm ấy mới bị vượt qua một cách dứt khoát; và, sau khi việc Newton phát hiện ra các khai triển thành chuỗi của $\sin x$ và $\cos x$ đã cung cấp những biểu thức của các hàm này, đúng với mọi giá trị của các biến, người ta mới gặp ở Euler, nhân khi xét các lôgarit của những số “ảo”, quan niệm chính xác về khái niệm phép đo một góc tùy ý ([108 a], (1), v. XVII, p. 220).

Dĩ nhiên, định nghĩa cổ điển về việc đo một góc bằng độ dài cung tròn không những có tính trực giác, mà về căn bản còn là đúng; tuy nhiên, để làm cho nó chặt chẽ, nó đòi hỏi khái niệm về độ dài của một đường cong, nghĩa là phép tính nguyên. Từ quan điểm của các cấu trúc tham gia ở đây, đó là một thủ tục rất vòng vèo, và có thể không dùng phương pháp nào khác ngoài các phương pháp của lý thuyết các nhóm tôpô; hàm mũ thực và hàm mũ phức vì thế xuất hiện như cùng xuất phát từ một nguồn gốc, định lý đặc trưng các “nhóm một tham số”.

$^6$ Việc đó quả thực là một phép nội suy được làm nổi bật một cách thuyết phục bởi tính phi lý của chứng minh, được sao chép vụng về từ các khuôn mẫu cổ điển của phương pháp Eudoxus; ngoài ra, hiển nhiên là kết quả này không liên quan gì đến phần cuối của Quyển VI. Thật mỉa mai khi thấy Theon, vào thế kỷ IV của kỷ nguyên chúng ta, ngây thơ nhận công đã ghép vào phép nội suy này một phép nội suy khác, trong đó ông tự cho là chứng minh được rằng “diện tích các hình quạt của một đường tròn tỉ lệ với các góc ở tâm của chúng” ([107], v. V, p. 24), và điều đó sau sáu thế kỷ kể từ khi Archimedes xác định diện tích các hình quạt của các đường xoắn.