16. Không gian metric.
Như đã nói (xem p. 146), khái niệm không gian metric được M. Fréchet đưa vào năm 1906, và được F. Hausdorff phát triển vài năm sau đó trong tác phẩm "Mengenlehre" của ông. Khái niệm này trở nên hết sức quan trọng sau năm 1920, một mặt nhờ công trình nền tảng của S. Banach và trường phái của ông về các không gian định chuẩn và những áp dụng của chúng vào Giải tích phiếm hàm (xem tr. 216 và tiếp theo), mặt khác do sự quan tâm mà khái niệm định giá khơi lên trong Số học và Hình học Đại số (trong đó đặc biệt phép đầy đủ hóa đối với một định giá tỏ ra rất phong phú về mặt ứng dụng).
Từ giai đoạn 1920-1930 có thể kể một loạt các nghiên cứu do trường phái Moskva tiến hành về các tính chất của tôpô của một không gian metric, nhằm đặc biệt thu được các điều kiện cần và đủ để một tôpô cho trước là mêtric hóa được. Chính phong trào tư tưởng này đã làm xuất hiện sự quan tâm đến khái niệm không gian chuẩn, được Tietze định nghĩa năm 1923, nhưng vai trò quan trọng của nó chỉ được công nhận sau công trình của Urysohn [314] về mở rộng các hàm số liên tục. Ngoài trường hợp tầm thường của các hàm một biến thực, bài toán mở rộng lên toàn bộ không gian một hàm số liên tục xác định trên một tập hợp đóng lần đầu tiên được xét đến (trong trường hợp mặt phẳng) bởi H. Lebesgue [196 d]; trước kết quả hoàn chỉnh của Urysohn, bài toán này đã được giải trong các không gian metric bởi H. Tietze [307]. Việc mở rộng bài toán này sang trường hợp các hàm nhận giá trị trong một không gian tôpô tùy ý đã có tầm quan trọng đáng kể trong những năm gần đây đối với Tôpô đại số. Các công trình gần đây cũng đã làm rõ rằng, trong kiểu bài toán này, khái niệm không gian chuẩn khó sử dụng, vì nó vẫn cho phép quá nhiều khả năng "bệnh lý"; phần lớn thời gian, cần thay thế nó bằng khái niệm hạn chế hơn về không gian paracompact, được J. Dieudonné đưa vào năm 1944 [90 a]; trong lý thuyết này, kết quả đáng chú ý nhất là định lý của A. H. Stone [300], theo đó mọi không gian mêtric hóa được đều là paracompact.
Định lý này đã cho phép đưa ra một nghiệm thỏa đáng hơn cho bài toán mêtric hóa so với các tiêu chuẩn thu được vào khoảng năm 1930 bởi trường phái Nga-Ba Lan ("tiêu chuẩn Nagata-Smirnov"). Tuy nhiên, cần lưu ý rằng cho đến nay các tiêu chuẩn này hầu như chưa có ứng dụng nào; cũng như thường thấy trong lịch sử toán học, dường như bài toán mêtric hóa có tầm quan trọng không phải vì nghiệm của nó, mà vì những khái niệm mới mà sự phát triển của nó đã đưa lại.
Chúng ta đã chú ý (xem p. 155) đến những công trình quan trọng vào cuối thế kỷ XIX và đầu thế kỷ XX (E. Borel, Baire, Lebesgue, Osgood, W. H. Young) về phân loại các tập hợp điểm trong các không gian , và về phân loại cũng như đặc trưng các hàm số thu được bằng cách lặp lại, bắt đầu từ các hàm liên tục, quá trình chuyển qua giới hạn (đối với các dãy hàm). Người ta nhanh chóng nhận thấy rằng các không gian metric cung cấp một khuôn khổ tự nhiên cho những nghiên cứu kiểu này, mà sự phát triển sau năm 1910 chủ yếu là công lao của các trường phái Nga và Ba Lan. Chính các trường phái này đã cùng nhau làm sáng tỏ vai trò cơ bản trong Giải tích hiện đại của khái niệm các tập hợp mỏng, cũng như của định lý về giao đếm được của các tập hợp mở trù mật khắp nơi trong một không gian metric đầy đủ, được Osgood [240] chứng minh trước tiên (độc lập) cho đường thẳng số và Baire [11 b] cho các không gian .
Mặt khác, năm 1917, Souslin [289], sửa chữa một sai lầm của Lebesgue, đã chỉ ra rằng ảnh liên tục của một tập hợp Borel không nhất thiết là Borel, từ đó dẫn ông đến việc định nghĩa và nghiên cứu lớp tập hợp lớn hơn, về sau được gọi là "giải tích" hoặc "Souslin"; sau cái chết yểu của Souslin, nghiên cứu này chủ yếu được N. Lusin (người có những ý tưởng đã truyền cảm hứng cho công trình của Souslin) và các nhà toán học Ba Lan tiến hành (xem [209] và [189 b]). Tầm quan trọng thực sự của các tập hợp này chủ yếu nằm ở những ứng dụng của chúng trong lý thuyết tích phân (trong đó, nhờ những tính chất đặc biệt của chúng, chúng cho phép thực hiện những phép dựng không thể thực hiện trên các tập hợp đo được tùy ý), và trong lý thuyết thế hiện đại, nơi định lý cơ bản về dung lượng của các tập hợp Souslin, được G. Choquet [63] chứng minh gần đây, đã tỏ ra có nhiều ứng dụng phong phú và đa dạng.