§ 17. 17. Phép tính vô cùng bé. · Các yếu tố của lịch sử toán học

17. Phép tính vô cùng bé.

Năm 1604, ở đỉnh cao sự nghiệp khoa học của mình, Galileo tin rằng ông đã chứng minh được rằng, trong chuyển động thẳng mà vận tốc tăng tỉ lệ với quãng đường đã đi, luật chuyển động sẽ chính là luật ( $x = ct^2$ ) mà ông đã phát hiện trong sự rơi của các vật nặng ([122 b], v. X, pp. 115-116). Trong khoảng từ 1695 đến 1700, không có số nào của Acta Eruditorum, xuất bản hằng tháng tại Leipzig, mà ở đó không xuất hiện các hồi ký của Leibniz, anh em Bernoulli, hầu tước de l’Hôpital, bàn về, về thực chất và với ký hiệu mà chúng ta vẫn còn dùng, những bài toán đa dạng nhất của phép tính vi phân, phép tính tích phân và phép tính biến phân. Như vậy, gần như đúng trong khoảng thời gian một thế kỷ mà phép tính vô cùng bé đã được hình thành, hay, như về sau người Anh nói, phép tính theo nghĩa mạnh nhất của từ này ("phép tính"); và gần ba thế kỷ sử dụng không ngừng vẫn chưa làm cùn hẳn công cụ vô song này.

Người Hy Lạp không có nó và cũng không hình dung ra điều gì tương tự. Nếu họ biết, không nghi ngờ gì nữa, dù chỉ là để từ chối sử dụng nó, một phép tính đại số, tức phép tính của người Babylon, mà một phần Hình học của họ có lẽ chỉ là bản chép lại, thì chính trong phạm vi của phát minh hình học mà người ta ghi nhận điều có lẽ là sáng tạo toán học rực rỡ nhất của họ, phương pháp của họ để xử lý những bài toán mà đối với chúng ta gắn với phép tính tích phân. Eudoxus, khi xét thể tích của hình nón và hình chóp, đã cho những mẫu mực đầu tiên của phương pháp ấy, mà Euclid đã truyền lại cho chúng ta ít nhiều trung thành ([107], book XII, prop. 7 and 10). Nhưng trên hết, phần lớn công trình của Archimedes được dành cho những bài toán đó [5 b and c]; và nhờ một cơ may đặc biệt, chúng ta còn có thể đọc trong nguyên văn của chúng, bằng phương ngữ dorien vang dội mà ông đã dụng công biên soạn, phần lớn các trước tác của ông, cho đến cả tác phẩm mới được tìm lại gần đây, nơi ông trình bày những thủ tục "heuristic" đã dẫn ông đến một số kết quả đẹp nhất của mình ([5 b], v. II, pp. 425-507). Bởi vì chính ở đây có một trong những chỗ yếu của phép "vét cạn" của Eudoxus: là một phương pháp chứng minh không chê trách được (một khi đã thừa nhận một số tiên đề), nó không phải là một phương pháp khám phá; việc áp dụng nó tất yếu dựa trên sự biết trước kết quả cần chứng minh; Archimedes cũng nói rằng "trong các kết quả mà Eudoxus là người đầu tiên tìm ra chứng minh, liên quan đến hình nón và hình chóp ..., không một phần nhỏ nào là không do Democritus, người đầu tiên phát biểu chúng mà không chứng minh" (loc. cit., p. 430). Hoàn cảnh này làm cho việc phân tích tỉ mỉ công trình của Archimedes trở nên đặc biệt khó khăn, một sự phân tích mà nói đúng ra dường như chưa được một sử gia hiện đại nào thực hiện; bởi vì do sự kiện đó, chúng ta không biết ông ý thức đến mức nào về những đường liên hệ nối kết các bài toán khác nhau mà ông xử lý (những liên hệ mà chúng ta sẽ diễn đạt bằng cách nói rằng cùng một tích phân lại xuất hiện ở nhiều nơi, dưới những dạng hình học khác nhau), và ông có thể đã gán cho chúng tầm quan trọng nào.

Ví dụ, hãy xét các bài toán sau đây, bài toán thứ nhất do Eudoxus giải, các bài toán khác do Archimedes giải: thể tích hình chóp, diện tích một đoạn parabol, trọng tâm của tam giác, và diện tích của cái gọi là đường xoắn Archimedes ( $\rho = c \omega$ trong toạ độ cực); tất cả chúng đều phụ thuộc vào tích phân $\int x^2 dx$ , và, hoàn toàn không xa rời tinh thần của phương pháp vét cạn, tất cả đều có thể quy về việc tính các "tổng Riemann" dạng $\sum_n a n^2$ . Quả thực chính theo cách đó mà Archimedes xử lý đường xoắn ([5 b], v. II, pp. 1-121), bằng một bổ đề quy về việc viết

N^3 < 3 \sum_{n=1}^N n^2 = N^3 + N^2 + \sum_{n=1}^N n < (N+1)^3.

Còn về trọng tâm của tam giác, ông chứng minh (bằng vét cạn, nhờ một phân tích thành các dải song song) rằng nó nằm trên mỗi trung tuyến, do đó ở giao điểm của chúng ([5 b], v. II, pp. 261-315). Đối với parabol, ông đưa ra ba thủ tục: một thủ tục, có tính heuristic, chỉ nhằm "làm cho kết quả có phần khả tín", quy bài toán về trọng tâm của tam giác, bằng một lập luận tĩnh học trong đó ông không ngần ngại coi đoạn parabol như tổng đến vô hạn của các đoạn thẳng song song với trục ([5 b], v. II, pp. 435-439); một phương pháp khác dựa trên một nguyên lý tương tự, nhưng được trình bày với đầy đủ tính chặt chẽ bằng vét cạn ([5 b], v. II, pp. 261-315); một chứng minh cuối cùng, cực kỳ khéo léo nhưng ít tầm vóc hơn, cho diện tích cần tìm như tổng của một chuỗi hình học nhờ những tính chất riêng của parabol. Không có gì chỉ ra một mối liên hệ giữa những bài toán này và thể tích hình chóp; thậm chí còn nói rõ ([5 b], v. II, p. 8) rằng các bài toán liên quan đến đường xoắn "không có gì chung" với một số bài toán khác liên quan đến mặt cầu và paraboloid tròn xoay, những bài toán mà Archimedes đã có dịp nói đến trong cùng một lời mở đầu và trong số đó có một bài toán (thể tích của paraboloid) quy về tích phân $\int x dx$ .

Như có thể thấy từ các ví dụ này, và ngoài việc sử dụng những thủ pháp riêng biệt, nguyên lý vét cạn là như sau: bằng một phân tích thành các "tổng Riemann", người ta thu được các cận trên và cận dưới cho đại lượng đang xét, các cận này được so sánh trực tiếp với biểu thức đã cho của đại lượng ấy, hoặc với các cận tương ứng đối với một bài toán tương tự đã được giải rồi. Sự so sánh ấy (vì không thể dùng các số âm nên tất yếu được tiến hành thành hai phần) được đưa vào bằng những lời có tính nghi thức: "nếu không, quả thật, nó sẽ hoặc lớn hơn hoặc nhỏ hơn; giả sử, nếu có thể, rằng nó lớn hơn, v.v.; giả sử, nếu có thể, rằng nó nhỏ hơn, v.v."; do đó có tên gọi của phương pháp là "apagogic" hay "bằng quy dẫn đến điều phi lý" ("ἀπαγωγὴ εἰς ἀδύνατων") mà các học giả thế kỷ XVII đã đặt cho nó. Cũng dưới một dạng tương tự như vậy mà việc xác định tiếp tuyến của đường xoắn ốc được Archimedes trình bày ([5 b], v. II, pp. 62-76), một kết quả cô lập, và là kết quả duy nhất mà chúng ta có thể viện dẫn như một nguồn cổ đại cho "phép tính vi phân", ngoài việc xác định tương đối dễ dàng các tiếp tuyến với các đường conic, và một vài bài toán cực đại và cực tiểu. Quả thật, nếu như về mặt "tích phân", một trường nghiên cứu mênh mông đã được mở ra cho các nhà toán học Hy Lạp, không những bởi lý thuyết về diện tích và thể tích, mà còn bởi tĩnh học và thủy tĩnh học, thì do thiếu động lực học, họ hầu như không có dịp nghiêm túc đương đầu với vi phân. Đúng là Archimedes đã cho một định nghĩa động lực học của đường xoắn ốc của ông; và, vì không biết ông có thể đã được dẫn tới việc biết tiếp tuyến của nó như thế nào, chúng ta có quyền tự hỏi liệu ông đã không có một ý niệm nào đó về hợp thành các chuyển động hay không. Nhưng trong trường hợp ấy, lẽ nào ông lại không áp dụng một phương pháp mạnh mẽ như vậy vào những bài toán khác cùng loại? Có lẽ nhiều hơn là ông đã phải dùng một thủ tục heuristic nào đó về chuyển qua giới hạn mà những kết quả ông biết về các đường conic có thể đã gợi ý cho ông; tất nhiên, những kết quả này có bản tính đơn giản hơn về căn bản, vì người ta có thể xây dựng các điểm giao của một đường thẳng và một đường conic, và hệ quả là xác định điều kiện để các điểm ấy trùng nhau. Còn về định nghĩa tiếp tuyến, nó được quan niệm như một đường thẳng mà, trong lân cận của một điểm nào đó của đường cong, để toàn bộ đường cong về cùng một phía; sự tồn tại của nó được giả định, và cũng giả định rằng mọi đường cong đều được tạo thành từ các cung lồi; dưới những điều kiện ấy, để chỉ ra rằng một đường thẳng là tiếp tuyến với một đường cong, phải chứng minh một số bất đẳng thức, điều mà dĩ nhiên được thực hiện với độ chính xác đầy đủ nhất.

Xét theo quan điểm về tính chặt chẽ, các phương pháp của Archimedes không để lại gì đáng mong muốn; và ngay cả vào thế kỷ XVII, khi các nhà toán học cẩn trọng nhất muốn đặt một kết quả bị xem là đặc biệt tinh tế ra ngoài mọi nghi ngờ, thì họ đưa ra một chứng minh "apagogic" cho nó ([109], v. I, pp. 211-254; French translation, v. III, pp. 181-215 and [244], v. VIII, pp. 249-282). Còn về tính phong phú của chúng, công trình của Archimedes là bằng chứng đầy đủ. Nhưng để có quyền nhìn thấy ở đó một "phép tính tích phân", cần phải làm lộ ra, xuyên qua bội số các diện mạo hình học, một phác thảo nào đó về sự phân loại các bài toán theo bản tính của "tích phân" nền tảng. Vào thế kỷ XVII, như ta sẽ thấy, việc tìm kiếm một sự phân loại như vậy dần dần trở thành một trong những mối quan tâm chính của các nhà hình học; nếu không tìm thấy dấu vết nào của điều đó ở Archimedes, chẳng phải đó là dấu hiệu rằng những suy biện như thế hẳn đã hiện ra với ông như quá mức "trừu tượng", và ngược lại ông đã tự ý, ở mỗi dịp, giữ mình gần nhất có thể với những tính chất riêng của hình mà ông đang theo đuổi việc nghiên cứu? Và chẳng phải ta phải kết luận rằng công trình đáng khâm phục này, từ đó phép tính tích phân, như chính những người sáng tạo ra nó thừa nhận, được rút ra hoàn toàn, theo một nghĩa nào đó lại là cái đối của phép tính tích phân hay sao?

Vả lại, trong toán học, không thể vô hại mà cho phép đào một hào ngăn cách giữa khám phá và chứng minh. Trong những thời kỳ thuận lợi, nhà toán học, không từ bỏ tính chặt chẽ, chỉ việc viết ra các ý tưởng của mình gần như đúng như ông quan niệm chúng; đôi khi thậm chí ông có thể hy vọng làm được điều đó theo cách mà quả thật sẽ là như vậy, với cái giá là một thay đổi thích đáng trong ngôn ngữ và các ký hiệu được chấp nhận. Nhưng thường thì ông phải cam chịu lựa chọn giữa những phương pháp trình bày không đúng nhưng có thể sinh lợi, và những phương pháp đúng đắn mà không còn cho phép ông biểu đạt tư tưởng của mình trừ phi làm méo mó nó và với cái giá là một nỗ lực mệt nhọc. Cả con đường này lẫn con đường kia đều không tránh khỏi nguy hiểm. Người Hy Lạp đã theo con đường thứ hai, và có lẽ chính ở đó, còn hơn cả ở tác dụng làm cằn cỗi của cuộc chinh phục La Mã, phải tìm lý do của sự dừng lại đáng ngạc nhiên trong nền toán học của họ gần như ngay lập tức sau thời kỳ hưng thịnh rực rỡ nhất. Người ta đã gợi ý, không phải là không có lý, rằng việc giảng dạy bằng lời của những người kế tục Archimedes và Apollonius có thể đã chứa nhiều kết quả mới mà họ không thấy cần phải tự bắt mình chịu đựng nỗ lực phi thường cần thiết cho một sự công bố phù hợp với các quy phạm được thừa nhận. Dầu sao, không còn là những sự dè dặt như thế đã ngăn các nhà toán học thế kỷ XVII, khi đứng trước những bài toán mới đang được phát biểu từng loạt, tìm trong việc nghiên cứu chuyên cần các trước tác của Archimedes phương tiện để vượt qua trở ngại ấy.

Trong khi các tác phẩm kinh điển lớn của văn học và triết học Hy Lạp đều đã được in ở Ý, bởi Alde Manuce và những người kế tục ông, và hầu như tất cả đều trước năm 1520, thì mãi đến năm 1544, với Hervagius ở Basle, bản in Archimedes sớm nhất mới xuất hiện, vừa bằng tiếng Hy Lạp vừa bằng tiếng Latin [5 a], mà trước đó không hề có một ấn bản Latin nào để dọn đường cho nó; và thay vì các nhà toán học đương thời (vốn đang mải mê với các nghiên cứu đại số của mình) ngay lập tức cảm nhận được ảnh hưởng của nó, phải đợi đến Galileo và Kepler, cả hai đều là những nhà thiên văn học và vật lý học hơn là nhà toán học, thì ảnh hưởng ấy mới trở nên hiển nhiên. Từ lúc đó, và liên tục cho đến khoảng năm 1670, không có tên tuổi nào, trong các trước tác của những người sáng lập phép tính vô cùng bé, lại được nhắc đến thường xuyên hơn tên Archimedes. Nhiều người dịch và chú giải ông; tất cả, từ Fermat đến Barrow, đều nhắc đến ông với lòng ghen tị; tất cả đều tuyên bố tìm thấy ở đó đồng thời một mẫu mực và một nguồn cảm hứng.

Đúng là những lời tuyên bố ấy, như ta sẽ thấy, không phải tất cả đều phải được hiểu theo nghĩa đen; ở đây có thể thấy một trong những khó khăn mà ta gặp phải khi cố gắng đi đến một cách diễn giải đúng đắn các trước tác này. Nhà sử học còn phải tính đến tổ chức của thế giới khoa học thời đó, vẫn còn hết sức thiếu sót vào đầu thế kỷ XVII, trong khi đến cuối chính thế kỷ ấy, nhờ việc thành lập các hội học giả và các tạp chí khoa học, nhờ việc củng cố và phát triển các trường đại học, nó rốt cuộc trở nên rất giống với điều ta biết ngày nay. Không có bất kỳ tạp chí nào cho đến năm 1655, các nhà toán học không có lựa chọn nào khác để làm cho công trình của mình được biết đến ngoài con đường thư từ, và việc in một cuốn sách, phần lớn là bằng chi phí của chính họ, hoặc bằng chi phí của một người bảo trợ nếu tìm được. Những nhà xuất bản và nhà in có khả năng thực hiện loại công việc ấy thì hiếm, và thường khá bấp bênh. Sau những chậm trễ kéo dài và vô số phiền toái mà một sự xuất bản như thế kéo theo, tác giả phần lớn còn phải đương đầu với những cuộc tranh luận bất tận, do những đối thủ không phải lúc nào cũng thiện chí gây ra, và đôi khi được tiến hành với một giọng điệu gay gắt đến ngạc nhiên: vì, trong tình trạng bất định chung mà ngay cả các nguyên lý của môn phép tính vô cùng bé cũng đang ở trong đó, không khó để mỗi người tìm thấy những chỗ yếu, hoặc ít nhất là mơ hồ và có thể tranh cãi, trong các lập luận của các đối thủ của mình. Có thể hiểu được rằng, trong những điều kiện ấy, nhiều học giả yêu chuộng sự yên ổn chỉ bằng lòng truyền đạt cho một vài bạn hữu được chọn lựa các phương pháp và các kết quả của mình. Một số người, và đặc biệt là vài người say mê khoa học, như Mersenne ở Paris, rồi sau này Collins ở London, duy trì một sự tương ứng rộng lớn ở khắp các nước, trong đó họ truyền đạt đây đó các trích đoạn, không phải không trộn lẫn vào các trích đoạn ấy những điều ngớ ngẩn do chính họ bịa ra. Sở hữu những "phương pháp" mà, do thiếu các khái niệm và các định nghĩa tổng quát, họ không thể trình bày dưới dạng định lý, thậm chí cũng không thể phát biểu với một độ chính xác nào đó, các nhà toán học vì thế bị giảm xuống còn việc cố gắng bằng một số lượng lớn các trường hợp riêng, và tin rằng không thể làm tốt hơn, để đo sức mạnh của nó, là ném ra những thách thức cho các đồng nghiệp của mình, đôi khi kèm theo việc công bố chính các kết quả của họ bằng mật mã. Giới trẻ hiếu học đi lại nhiều, và có lẽ còn nhiều hơn ngày nay; và các ý tưởng của một học giả như thế đôi khi được truyền bá nhờ các chuyến đi của học trò ông còn tốt hơn là nhờ chính các ấn phẩm của ông, nhưng không phải không vì thế mà có thêm một nguyên nhân khác của những sự hiểu lầm. Sau cùng, do các bài toán như nhau tất yếu xuất hiện trước một số lượng lớn các nhà toán học, trong đó có nhiều người rất xuất sắc, nhưng chỉ có một hiểu biết không hoàn hảo về các kết quả của nhau, các yêu sách về quyền ưu tiên không thể không nảy sinh không ngừng, và không hiếm khi những lời buộc tội đạo văn còn được thêm vào.

Vì thế, chính trong thư từ và các giấy tờ riêng của các học giả thời ấy, cũng nhiều như hoặc còn nhiều hơn trong các ấn phẩm thực sự của họ, mà nhà sử học phải tìm kiếm tư liệu của mình. Nhưng, trong khi các tư liệu của Huygens chẳng hạn đã được lưu giữ và đã là đối tượng của một công bố kiểu mẫu [169 b], thì các tư liệu của Leibniz cho đến nay mới chỉ được công bố một cách rời rạc, và nhiều tư liệu khác đã mất đi không còn hy vọng. Ít nhất thì nghiên cứu gần đây nhất, dựa trên giải tích các bản thảo, đã làm nổi bật lên, theo một cách dường như không thể bác bỏ, một điểm mà những cuộc tranh cãi phe phái đã phần nào làm lu mờ: ấy là, mỗi khi một trong những nhà toán học lớn của thời ấy thuật lại công trình riêng của mình, sự tiến triển của tư tưởng mình, những ảnh hưởng mà ông đã chịu và những ảnh hưởng mà ông đã không chịu, thì ông đã làm điều đó một cách lương thiện và chân thành, với hoàn toàn thiện ý; $^1$ do đó có thể sử dụng với trọn sự tin cậy những chứng từ quý báu ấy, mà chúng ta hiện có với số lượng khá lớn, và trong trường hợp của chúng nhà sử học không cần biến đổi mình thành một viên thẩm phán điều tra. Còn về phần còn lại, phần lớn các vấn đề về ưu tiên đã nảy sinh hoàn toàn thiếu ý nghĩa. Đúng là Leibniz, khi ông dùng ký hiệu $dx$ cho “vi phân”, đã không biết rằng Newton, trong khoảng mười năm, đã dùng $\dot{x}$ cho “fluxion”: nhưng nếu ông biết thì điều đó có quan trọng gì? Lấy một ví dụ có tính soi sáng hơn, ai là tác giả của định lý $\log x = \int \frac{dx}{x}$ , và niên đại của nó là gì? Công thức, như chúng tôi vừa viết nó, là của Leibniz vì cả vế này lẫn vế kia đều được viết bằng ký hiệu của ông. Chính Leibniz, và Wallis, quy nó cho Grégoire de Saint-Vincent. Trong Opus Geometricum [135] của mình (xuất bản năm 1647, nhưng, theo lời ông, được soạn ra từ rất lâu trước đó), người sau này chỉ chứng minh điều tương đương với mệnh đề sau: nếu $f(a, b)$ ký hiệu diện tích của đoạn hyperbol $a \leq x \leq b, 0 \leq y \leq A/x$ , thì quan hệ $b'/a' = (b/a)^n$ kéo theo $f(a'/b') = n.f(a, b)$ ; và học trò cũng là người chú giải của ông, Sarasa, hầu như ngay lập tức thêm vào [269] nhận xét rằng vì thế các diện tích $f(a, b)$ có thể “thay chỗ cho logarithm”. Nếu ông không nói thêm gì nữa, và nếu chính Grégoire cũng đã không nói gì về điều đó, thì chẳng phải là vì đối với đa số các nhà toán học thời ấy, logarithm là những “dụng cụ tính toán” không có quyền được viện dẫn trong toán học hay sao? Đúng là Torricelli, trong một bức thư năm 1644 [208], nói đến nghiên cứu của mình về một đường cong mà chúng ta sẽ viết là $y = ae^{-cx}, x \geq 0$ , đồng thời thêm rằng ở chỗ Napier (mà ngoài ra ông hết lời ca ngợi) “chỉ theo đuổi những ứng dụng số học”, thì chính ông “rút ra từ đó một suy biện về hình học”; và ông đã để lại một bản thảo về đường cong ấy rõ ràng được chuẩn bị để xuất bản, nhưng vẫn không được công bố cho đến năm 1900 ([310], v. I, pp. 335-347). Ngoài ra Descartes đã gặp chính đường cong ấy ngay từ năm 1639 trong mối liên hệ với “bài toán của Debeaune”, và đã mô tả nó mà không nói đến logarithm ([85 a], v. II, pp. 514-517). Dù sao đi nữa, J. Gregory, vào năm 1667, đã nêu ra, không dẫn bất cứ ai cả, ([136 a], in lại trong [169 a], pp. 407-462), một quy tắc để tính diện tích các đoạn hyperbol bằng các logarithm (thập phân): điều này đồng thời hàm ý một hiểu biết lý thuyết về mối liên hệ giữa phép cầu phương hyperbol và logarithm, và một hiểu biết số học về mối liên hệ giữa logarithm “tự nhiên” và “thập phân”. Có phải chỉ về điểm sau cùng này mà lời khẳng định của Huygens được áp dụng, khi ông lập tức bác bỏ tính mới mẻ của kết quả của Gregory ([169 b], v. VI, pp. 228-230)? Điều đó đối với chúng ta cũng không sáng tỏ hơn đối với những người cùng thời của ông; dẫu sao, những người này có ấn tượng rõ ràng rằng sự tồn tại của một mối liên hệ giữa logarithm và phép cầu phương hyperbol là một điều đã được biết từ lâu, dù rằng về điểm này họ không thể quy chiếu đến điều gì khác ngoài những ám chỉ trong thư từ hoặc cuốn sách của Grégoire de Saint-

$^1$ Điều này áp dụng, chẳng hạn, cho Torricelli (xem [244], v. VIII, pp. 181-194) và cho Leibniz [217]. Tất nhiên điều đó không có nghĩa là một nhà toán học không thể có một ý niệm sai lầm về tính độc đáo của các ý tưởng của mình; nhưng không phải những người lớn nhất là những người dễ mắc sai lầm nhất về phương diện này.

Vincent. Năm 1668, khi Brouncker cho ra (với một chứng minh trau chuốt về sự hội tụ, bằng so sánh với một chuỗi hình học) các chuỗi cho log 2 và log (5/4) ([38]: được in lại trong [218], t. I, tr. 213-218), ông trình bày chúng như những biểu thức của các đoạn tương ứng của một hyperbol, và thêm rằng các giá trị số mà ông thu được “có cùng tỷ số như các logarithm” của 2 và của 5/4. Nhưng cũng trong cùng năm đó, với Mercator ([220], in lại trong [218], t. I, tr. 167-196) hay chính xác hơn trong bản trình bày được Wallis đưa ra ngay lập tức về công trình của Mercator ([326 b], in lại trong [218], t. I, tr. 219-226), ngôn ngữ thay đổi: vì các đoạn của một hyperbol tỉ lệ với các logarithm, và vì ai cũng biết rằng các logarithm không được xác định bởi các tính chất đặc trưng của chúng ngoài một nhân tử hằng, nên không có gì ngăn cản việc xem các đoạn của một hyperbol như các logarithm, được gọi là “tự nhiên” (đối lập với các logarithm “nhân tạo” hay “thập phân”), hoặc hyperbolic; khi bước cuối cùng này đã được thực hiện (mà chuỗi cho log(1+x) do Mercator đưa ra đã góp phần vào đó), định lý $\log x = \int \frac{dx}{x}$ được thu được, nếu bỏ qua ký hiệu, hay đúng hơn nó đã trở thành một định nghĩa. Kết luận gì từ đó, nếu không phải là chính bằng những chuyển tiếp hầu như không thể nhận thấy mà khám phá này đã được thực hiện, và rằng một cuộc tranh chấp về quyền ưu tiên trong vấn đề này rất giống một cuộc cãi vã giữa violon và trombone về khoảnh khắc chính xác khi một motif nhất định xuất hiện trong một bản giao hưởng? Và nói cho đúng, trong khi cùng thời ấy những sáng tạo toán học khác, số học của Fermat, động lực học của Newton, mang một dấu ấn cá nhân rất mạnh, thì chính sự triển khai dần dần và tất yếu của một bản giao hưởng, nơi “Zeitgeist”, đồng thời là nhà soạn nhạc và người chỉ huy, cầm đũa chỉ huy, là điều mà sự phát triển của phép tính vô hạn bé ở thế kỷ XVII gợi cho ta nhớ đến: mỗi người đảm nhận phần của mình với âm sắc đặc trưng, nhưng không ai là chủ các chủ đề mà mình đang tạo ra cho người nghe, những chủ đề mà một lối đối âm uyên bác đã đan quyện gần như không thể gỡ ra. Vì thế, chính dưới dạng một phân tích theo chủ đề mà lịch sử của việc này phải được viết; ở đây chúng tôi chỉ bằng lòng với một bản phác họa tóm tắt, và không tự cho là đạt tới một độ chính xác tỉ mỉ. $^2$ Dưới đây, trong mọi trường hợp, là các chủ đề chính mà một sự khảo sát bề ngoài làm nổi bật:

A) Chủ đề về tính chặt chẽ toán học, đối lập với chủ đề về vô hạn bé, các indivisible hay các vi phân. Ta đã thấy rằng cả hai đều giữ một vị trí quan trọng ở Archimedes, chủ đề thứ nhất trong toàn bộ công trình của ông, chủ đề thứ hai chỉ trong chuyên luận về Phương pháp của ông, mà thế kỷ XVII không biết đến, nên nếu nó đã được truyền lại chứ không phải được tái phát minh, thì điều đó chỉ có thể là nhờ truyền thống triết học. Ngoài ra, nguyên lý của vô hạn bé xuất hiện dưới hai dạng phân biệt tùy theo đó là trường hợp của “vi phân” hay của “tích phân”. Còn đối với dạng thứ hai này, trước hết hãy xét trường hợp tính một hình phẳng

$^2$ Trong phần sau, việc quy một kết quả cho tác giả này hay tác giả kia, vào ngày tháng này hay ngày tháng kia, chỉ có nghĩa rằng kết quả ấy đã được ông ta biết đến vào thời điểm đó (điều này, chừng nào có thể, đã được kiểm tra bằng các văn bản gốc); chúng tôi tuyệt đối không có ý khẳng định rằng tác giả ấy không biết nó sớm hơn, hay rằng ông ta không nhận nó từ người khác; lại càng không muốn nói rằng cùng kết quả ấy đã không thể được những người khác thu được một cách độc lập, hoặc sớm hơn hoặc muộn hơn.

diện tích: nó sẽ được chia thành một vô số dải song song vô hạn bé, bằng một vô số đường thẳng song song cách đều; và mỗi dải ấy là một hình chữ nhật (mặc dù không một dải hữu hạn nào thu được bằng hai đường song song ở cách nhau một khoảng hữu hạn lại là hình chữ nhật). Tương tự như vậy, một khối tròn xoay sẽ được phân tích thành một vô số hình trụ có cùng chiều cao vô hạn bé, bởi các mặt phẳng vuông góc với trục; $^3$ những cách nói tương tự có thể được dùng khi cần phân tích một diện tích thành các tam giác nhờ những đường thẳng đồng quy, hoặc để lập luận về độ dài của một cung của một đường cong như thể đó là trường hợp của một đa giác có vô số cạnh, v.v.. Chắc chắn rằng những nhà toán học hiếm hoi nắm vững hoàn toàn khả năng vận dụng các phương pháp của Archimedes, như Fermat, Pascal, Huygens, Barrow, trong từng trường hợp riêng đều có thể không gặp khó khăn nào khi thay thế việc dùng thứ ngôn ngữ này bằng các chứng minh chặt chẽ; và họ cũng thường nhận xét rằng thứ ngôn ngữ ấy chỉ có ở đó vì sự ngắn gọn. “Thật dễ dàng”, Fermat nói, “để đưa ra các chứng minh theo lối của Archimedes ...; nói vậy là đủ để đã được báo trước một lần dứt khoát hầu tránh những sự lặp lại liên tục ...” ([109], v. I, p. 257); Pascal cũng vậy: “do đó một trong những phương pháp này chỉ khác phương pháp khác ở cách phát biểu nó” ([244], v. VIII, p. 352); $^4$ và Barrow, với sự ngắn gọn đầy giễu cợt của ông: “longior discursus apagogicus adhiberi possit, sed quorsum?” (có thể kéo dài điều này bằng một diễn ngôn phản chứng, nhưng để làm gì?) ([16 b], p. 251). Có vẻ như Fermat thậm chí còn rất cẩn trọng không đưa ra điều gì mà ông không thể biện minh theo cách ấy, và vì thế tự buộc mình chỉ công bố những kết quả tổng quát bằng ám chỉ hoặc dưới dạng một “phương pháp”; Barrow, tuy cũng cẩn thận như vậy, lại kém nghiêm ngặt hơn đôi chút. Còn về đa số những người cùng thời với họ, có thể nói ít nhất rằng tính chặt chẽ không phải mối bận tâm chính của họ, và rằng tên tuổi Archimedes thường chỉ là một sự che đậy nhằm phủ lên một món hàng hẳn là rất có giá, nhưng Archimedes chắc chắn đã không chịu trách nhiệm về nó. Điều đó lại càng đúng hơn nữa khi bàn đến phép vi phân. Nếu đường cong, khi cần chỉnh hình nó, được đồng nhất với một đa giác có vô số cạnh, thì ở đây vấn đề là một cung “vô hạn bé” của đường cong được đồng nhất với một đoạn thẳng “vô hạn bé”, hoặc là dây cung, hoặc là một đoạn của tiếp tuyến mà người ta giả thiết là tồn tại; hoặc nữa người ta xét một khoảng thời gian “vô hạn bé”, trong đó (chừng nào mới chỉ là vấn đề vận tốc) chuyển động “là” đều; táo bạo hơn nữa, Descartes, muốn xác định tiếp tuyến

$^3$ Xem chẳng hạn phần trình bày của Pascal, trong “thư gửi ông de Carcavy” ([244], v. VIII, pp. 334-384). Người ta sẽ nhận thấy rằng, nhờ uy thế của một ngôn ngữ vô song, Pascal đã tạo được ảo giác về tính sáng tỏ hoàn hảo, đến mức một trong những người biên tập hiện đại của ông đã ngây ngất trước “sự tỉ mỉ và độ chính xác trong tính chuẩn xác của chứng minh”! $^4$ Nhưng, trong Thư gửi Monsieur A. D. D. S.: “...không dừng lại ở các phương pháp chuyển động, cũng không ở phương pháp các phần tử không thể chia, mà theo phương pháp của người xưa, để từ nay vấn đề có thể được vững chắc và vượt ra ngoài tranh cãi” ([244], v. VIII, p. 256).

của một cycloid không thuộc quy tắc tổng quát của ông, đã đồng nhất các đường cong lăn trên nhau với các đa giác, để kết luận rằng “trong vô hạn bé” chuyển động có thể được đồng nhất với một phép quay quanh một điểm tiếp xúc ([85 a], v. II, pp. 307-338). Ở đây nữa, một Fermat, người đặt các quy tắc về tiếp tuyến và về cực đại, cực tiểu trên những suy xét vô cùng bé như thế, lại có khả năng biện minh chúng trong từng trường hợp riêng ([109], v. I, pp. 133-179; bản dịch tiếng Pháp, v. III, pp. 121-156); so sánh thêm ([109], v. II, passim, đặc biệt pp. 154-162, và Supplément aux Oeuvres pp. 72-86); Barrow đưa ra những chứng minh chính xác cho một phần lớn các định lý của ông, theo lối của người xưa, xuất phát từ những giả thiết đơn giản về tính đơn điệu và tính lồi. Nhưng thời của việc rót rượu mới vào bầu da cũ đã qua rồi. Trong tất cả những điều đó, như ngày nay ta biết, chính khái niệm giới hạn đang được phát triển; và, nếu có thể rút ra từ Pascal, Newton và cả những người khác nữa những phát biểu dường như rất gần với các định nghĩa hiện đại của chúng ta, thì chỉ cần đặt chúng trở lại vào văn cảnh của chúng để nhận ra những chướng ngại không thể dời bỏ đã cản đường một trình bày chặt chẽ. Khi bước sang thế kỷ XVIII, một số nhà toán học, bị nhu cầu về tính sáng tỏ thúc bách, muốn đặt một chút trật tự vào đống giàu có hỗn độn của mình, thì những chỉ dẫn như thế, gặp trong các trước tác của các bậc tiền bối, đối với họ là vô cùng quý giá; chẳng hạn khi d’Alembert giải thích rằng trong phép vi phân không có gì khác ngoài khái niệm giới hạn, và định nghĩa khái niệm này một cách chính xác [75 b], người ta có thể tin rằng ông đã được dẫn dắt bởi những suy xét của Newton về “những tỉ số đầu và cuối của các đại lượng triệt tiêu” [233 b]. Nhưng, chừng nào còn là vấn đề của thế kỷ XVII, cần phải nhận ra rằng con đường đi tới giải tích hiện đại chưa mở ra cho đến khi Newton và Leibniz, quay lưng lại với quá khứ, chấp nhận rằng họ tạm thời phải tìm sự biện minh cho các phương pháp mới của mình không phải trong các chứng minh chặt chẽ, mà trong tính phong phú và tính nhất quán của các kết quả.

B) Động học. Như ta đã thấy, ngay từ Archimedes đã có một định nghĩa động học về đường xoắn ốc của ông; và vào thời Trung cổ, một lý thuyết sơ khai về sự biến thiên của các đại lượng như là hàm của thời gian đang được phát triển (nhưng không có chứng minh, trái lại, nếu không có những xét đến vô cùng bé), cũng như về sự biểu diễn đồ thị của chúng, mà có lẽ phải có nguồn gốc từ thiên văn học Babylon. Nhưng đối với toán học thế kỷ XVII, điều có tầm quan trọng lớn nhất là ngay từ đầu, các bài toán vi phân đã nảy sinh không chỉ liên quan đến tiếp tuyến, mà còn liên quan đến vận tốc. Tuy nhiên, Galileo ([122 a and b]), khi tìm luật vận tốc trong sự rơi của các vật nặng (sau khi đã thu được luật quãng đường $x = at^2$ , bằng một mặt phẳng nghiêng), không tiến hành bằng cách dùng phép vi phân: ông đưa ra nhiều giả thiết khác nhau về vận tốc, trước hết là $v = \frac{dx}{dt} = cx$ ([122 b], v. VIII, p. 203), rồi về sau là $v = ct$ (id., p. 208), và tìm cách thiết lập lại luật quãng đường bằng cách lập luận, theo một lối khá mơ hồ, về đồ thị của vận tốc như là hàm của thời gian; Descartes (năm 1618) lập luận theo cùng cách ấy về luật $v = ct$ , nhưng như một nhà toán học đích thực và với tất cả sự sáng sủa mà ngôn ngữ các vô cùng bé có thể đạt tới $^5$ ([85 a], v. X, pp. 75-78); ở cả hai người, đồ thị của vận tốc (trên một đường thẳng) giữ vai trò chính, và có lý do để hỏi họ đã ý thức đến mức nào về tính tỉ lệ giữa các quãng đường đi được và các diện tích bị chặn bởi trục thời gian và đường cong vận tốc; nhưng khó mà nói được điều gì về điểm này, mặc dù ngôn ngữ của Descartes dường như hàm ý sự hiểu biết về sự kiện đang nói tới (mà một số sử gia muốn đẩy lùi về thời Trung cổ [335]), trong khi Galileo không có nhận xét rõ ràng nào về điều đó. Barrow phát biểu điều ấy một cách tường minh vào năm 1670 ([16 b], p. 171); có lẽ vào lúc ấy đó không còn là một điều mới lạ đối với ai nữa, và Barrow cũng không trình bày nó như vậy; nhưng, đối với kết quả này cũng như đối với bất kỳ kết quả nào khác, không nên gán cho nó một niên đại với độ chính xác quá mức. Còn về giả thiết $v = cx$ , cũng được Galileo xét đến, thì ông hài lòng (loc. cit.) với việc chứng minh rằng nó không thể duy trì được (hay, theo ngôn ngữ hiện đại, rằng phương trình $\frac{dx}{dt} = cx$ không có nghiệm $\neq 0$ nào bằng không tại $t = 0$ ), bằng một lập luận mơ hồ mà về sau Fermat ([109], v. II, pp. 267-276) đã mất công khai triển (và về đại thể chỉ quy về việc nói rằng, vì $2x$ cũng là một nghiệm như $x$ , nên $x \neq 0$ sẽ trái với tính duy nhất vật lý hiển nhiên của nghiệm). Nhưng chính luật $\frac{dx}{dt} = cx$ này, mà năm 1614 Napier đã dùng để đưa vào các logarithm của ông, được ông cho một định nghĩa động học [230 a], mà theo ký hiệu của chúng ta sẽ được viết như sau: nếu, trên hai đường thẳng, hai vật chuyển động theo các luật $\frac{dx}{dt} = a, \frac{dy}{dt} = -ay/r, x_0 = 0, y_0 = r$ , thì người ta nói rằng $x$ là "logarithm" của $y$ (theo ký hiệu hiện đại, ta có $x = r \log(r/y)$ ). Ta đã thấy rằng đường cong là một nghiệm của $\frac{dy}{dx} = \frac{c}{x}$ đã xuất hiện năm 1639 ở Descartes, người đã mô tả nó một cách động học ([85 a], v. II, pp. 514-517); quả thật ông đã gọi, với một vẻ khinh thị khá rõ, tất cả các đường cong không đại số là "cơ học", và chủ trương loại chúng ra khỏi hình học; nhưng may thay điều cấm kỵ này, mà Leibniz mãi về sau vẫn còn cho rằng mình phải phản đối mạnh mẽ, đã không được những người cùng thời với ông tuân theo, cũng như chính Descartes đã không tuân theo. Đường cycloid, đường xoắn ốc logarithm xuất hiện và được nghiên cứu một cách hăng hái, và việc nghiên cứu chúng là một sự hỗ trợ mạnh mẽ cho sự đan xen của các phương pháp hình học và động học. Nguyên lý hợp thành các chuyển động, và chính xác hơn là của các vận tốc, là cơ sở của lý thuyết chuyển động của các vật phóng mà Galileo trình bày trong kiệt tác lúc tuổi già của ông, Discorsi năm 1638 ([122 b], v. VIII, pp. 268-313), một lý thuyết như vậy hàm chứa ngầm một sự xác định mới của tiếp tuyến với parabol; nếu Galileo không phát biểu điều đó một cách rõ ràng, thì trái lại Torricelli ([310], v. III, pp. 103-159) nhấn mạnh vào điểm này, và thậm chí còn đặt trên chính nguyên lý ấy một phương pháp tổng quát để xác định các tiếp tuyến của những đường cong có thể nhận một định nghĩa động học. Đúng là trong việc này ông đã bị Roberval ([263], pp. 3-67) đi trước vài năm, người nói rằng ông đã được dẫn tới

$^5$ Descartes còn thêm vào một lập luận hình học thú vị, nhờ đó ông suy ra luật $x = at^3$ từ giả thiết $\frac{dv}{dt} = ct$ . Trái lại, thật mỉa mai khi mười năm sau, ta thấy ông lúng túng trong các ghi chú của mình, và chép lại để gửi cho Mersenne một lập luận không chính xác về cùng vấn đề ấy, trong đó đồ thị của vận tốc như là hàm của thời gian bị lẫn với đồ thị như là hàm của quãng đường đi được ([85 a], v. I, p. 71).

phương pháp này bởi việc nghiên cứu đường cycloid; chính bài toán tiếp tuyến với đường cycloid này cũng tạo cho Fermat cơ hội chứng tỏ sức mạnh của phương pháp vi phân của ông ([109], v. I, pp. 162-165), trong khi Descartes, không thể áp dụng vào đó phương pháp đại số của mình, đã nhân dịp ấy sáng tạo ra tâm quay tức thời ([85 a], v. II, pp. 307-338).

Nhưng, khi phép tính vi tích phân được phát triển, động học không còn là một khoa học riêng biệt nữa. Người ta ngày càng chú ý rằng, bất chấp Descartes, các đường cong và các hàm đại số, từ điểm nhìn “địa phương” là điểm nhìn của phép tính vi tích phân, không có gì phân biệt chúng với các hàm tổng quát hơn nhiều; các hàm và các đường cong có một định nghĩa động là những hàm và những đường cong như các hàm và đường cong khác, có thể tiếp cận bằng cùng những phương pháp; và biến “thời gian” không hơn gì một tham số, mà khía cạnh thời gian của nó chỉ thuần túy là vấn đề ngôn ngữ. Vì thế ở Huygens, ngay cả khi là vấn đề cơ học, chính hình học mới là cái chi phối ([169 b], v. XVIII); và Leibniz không dành cho thời gian một vị trí ưu tiên nào trong các phép tính của ông. Trái lại Barrow quan niệm việc lấy sự biến thiên đồng thời của nhiều đại lượng như những hàm của một biến độc lập phổ quát được quan niệm như “thời gian”, làm nền tảng của một phép tính vi tích phân có khuynh hướng hình học. Ý tưởng này, hẳn đã đến với ông khi ông tìm cách tìm lại phương pháp hợp thành các chuyển động mà ông chỉ biết qua lời truyền miệng, được trình bày chi tiết, bằng những thuật ngữ rất rõ ràng và rất tổng quát, trong ba bài đầu của Lectiones Geometricae của ông [16 b]; và chẳng hạn ở đó ông chứng minh cẩn thận rằng, nếu một điểm chuyển động có các hình chiếu, trên hai trục vuông góc $AY, AZ$ , là những điểm chuyển động sao cho một điểm chuyển động với vận tốc hằng $a$ còn điểm kia với vận tốc $v$ tăng theo thời gian, thì quỹ đạo có một tiếp tuyến với hệ số góc bằng $v/a$ , và là lõm theo chiều tăng của $Z$ . Trong các phần tiếp theo của Lectiones, ông theo đuổi những ý tưởng ấy rất xa, và mặc dù ông có vẻ kiểu cách khi trình bày chúng hầu như từ đầu đến cuối dưới một dạng hình học và tiết kiệm đại số hết mức có thể, vẫn có thể thấy ở đó, cùng với Jakob Bernoulli ([19 a], v. I, pp. 431 and 453), cái tương đương với một phần tốt của phép tính vi tích phân của Newton và Leibniz. Chính những ý tưởng ấy tạo thành điểm xuất phát cho Newton ([233 a], v. I, pp. 201-244 and [233 b]): các “fluents” của ông là những đại lượng khác nhau, những hàm của “thời gian” vốn chỉ là một tham số phổ quát, còn các “fluxions” là các đạo hàm theo “thời gian”; khả năng mà Newton tự cho phép mình, là thay đổi tham số khi cần, cũng hiện diện trong phương pháp của Barrow, mặc dù được ông dùng với ít mềm dẻo hơn. $^6$ Ngôn ngữ của các fluxions, được Newton tiếp nhận và im-

$^6$ Vấn đề về các quan hệ giữa Barrow và Newton là điều gây tranh cãi; xem [241] và [233 d]. Trong một bức thư năm 1663 (x. [262], vol. II, pp. 32-33), Barrow nói đến những suy nghĩ của ông, đã có từ trước đó, về sự hợp thành các chuyển động, những suy nghĩ đã đưa ông đến một định lý rất tổng quát về các tiếp tuyến (nếu đó là định lý của Lect. Geom., Lect. X ([16 b], p. 247), thì quả thực nó tổng quát đến mức có như một trường hợp riêng tất cả những gì đã được làm cho đến bấy giờ về chủ đề này). Mặt khác, Newton có thể đã là học trò của Barrow vào các năm 1664 và 1665, nhưng nói rằng ông đã thu được một cách độc lập quy tắc của mình để suy ra, từ một quan hệ giữa các “fluents”, một quan hệ giữa các “fluxions” của chúng. Được áp đặt bởi uy tín của ông lên các nhà toán học Anh ở thế kỷ sau, nó do đó biểu thị tiền đồn cuối cùng, đối với thời kỳ đang được chúng ta chú ý đến, của các phương pháp động mà vai trò thực sự của chúng đã chấm dứt.

C) Hình học đại số. Đây là một chủ đề ký sinh, xa lạ với đề tài của chúng ta, được đưa vào vì Descartes, bằng cách tiếp cận có hệ thống của mình, đã đòi biến các đường cong đại số thành đối tượng độc nhất của hình học ([85 a], v. VI, p. 390); đồng thời chính một phương pháp của hình học đại số, chứ không phải như ở Fermat một phương pháp từ phép tính vi phân, là phương pháp mà ông đưa ra để xác định các tiếp tuyến. Những kết quả do người xưa để lại về giao của một đường thẳng và một đường conic, những suy nghĩ của chính Descartes về giao của hai đường conic và các bài toán rút gọn về đó, sắp dẫn ông khá tự nhiên đến ý tưởng lấy sự trùng nhau của hai giao điểm làm tiêu chuẩn cho sự tiếp xúc: ngày nay chúng ta biết rằng trong hình học đại số đó là tiêu chuẩn đúng, và có tính tổng quát lớn đến mức độc lập với khái niệm giới hạn và với bản chất của "trường cơ sở". Descartes trước hết áp dụng nó theo một cách hầu như không thuận tiện, khi tìm cách làm cho hai giao điểm của đường cong đang xét và của một đường tròn có tâm trên $Ox$ trùng nhau tại một điểm đã cho ([85 a], v. VI, pp. 413-424); các môn đệ của ông, van Schooten, Hudde, thay đường tròn bằng một đường thẳng, và thu được dưới dạng $-F'_x/F'_y$ hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong $F(x, y) = 0$ , các "đa thức dẫn xuất" $F'_x, F'_y$ được định nghĩa bởi quy tắc hình thức tạo thành của chúng ([198 d], v. I, pp. 147-344 and [85 b], pp. 234-237); de Sluse cũng đạt tới kết quả này vào gần cùng thời gian ấy ([198 d], pp. 232-234). Dĩ nhiên những sự phân biệt rạch ròi mà ở đây chúng ta nêu ra, và những sự phân biệt duy nhất đem lại ý nghĩa cho cuộc tranh cãi giữa Descartes và Fermat, không thể nào tồn tại trong đầu óc các nhà toán học thế kỷ XVII: chúng tôi chỉ nhắc đến chúng để làm sáng tỏ hơn một trong những giai đoạn kỳ lạ hơn của lịch sử mà chúng ta quan tâm, và để ghi nhận gần như ngay sau đó sự che khuất hoàn toàn của các phương pháp đại số, tạm thời bị các phương pháp vi phân hấp thụ.

D) Phân loại các bài toán. Như ta đã thấy, chủ đề này dường như vắng mặt trong công trình của Archimedes, đối với ông dường như việc giải một bài toán hay rút gọn nó về một bài toán đã được xét rồi là điều không khác biệt. Vào thế kỷ XVII, các bài toán về vi phân lúc đầu xuất hiện dưới ba dạng phân biệt: vận tốc, tiếp tuyến, cực đại và cực tiểu. Đối với các bài toán sau cùng này, Kepler [179 a and b] nêu ra nhận xét (đã có ở Oresmus ([335], p. 141) và thậm chí cũng không thoát khỏi các nhà thiên văn Babylon) rằng sự biến thiên của một hàm đặc biệt chậm trong lân cận của một cực đại. Fermat, ngay từ trước 1630 ([109], v. II, pp. 71 and 113-179), đã khai mở, liên quan đến các bài toán như thế, phương pháp vô cùng bé của ông, mà theo ngôn ngữ hiện đại thực ra quy về việc tìm hai số hạng đầu tiên (số hạng hằng và số hạng cấp một) trong khai triển Taylor, và viết

có thể là Newton đã rút ra từ sự giảng dạy của Barrow ý niệm tổng quát về các đại lượng biến thiên như một hàm của thời gian, và về tốc độ biến thiên của chúng, những khái niệm mà các suy nghĩ của ông về động lực học (mà Barrow hẳn hoàn toàn xa lạ) chẳng bao lâu đã góp phần làm cho chính xác hơn.

rằng tại một cực trị thì số hạng thứ hai bằng không; từ đó ông đi đến chỗ mở rộng phương pháp của mình sang việc xác định các tiếp tuyến, và thậm chí còn áp dụng nó vào việc tìm các điểm uốn. Nếu lưu ý đến điều đã nói trên đây liên quan đến động lực học, ta thấy rằng sự thống nhất của ba kiểu bài toán liên hệ với vi phân thứ nhất đã được hoàn thành khá sớm. Còn đối với các bài toán liên hệ với vi phân thứ hai, chúng chỉ xuất hiện khá muộn, và đặc biệt với các công trình của Huygens về đường khai triển của một đường cong (được công bố năm 1673 trong tác phẩm Horologium Oscillatorium của ông ([169 b], v. XVIII)); vào thời điểm này, Newton, với phương pháp fluxion của mình, đã nắm trong tay mọi phương tiện giải tích cần thiết để giải các bài toán như thế; và, bất chấp toàn bộ tài năng hình học mà Huygens dành cho việc đó (và về sau hình học vi phân đã hưởng lợi trong buổi đầu của nó), trong giai đoạn mà ta đang xét, chúng hầu như không được dùng vào việc gì khác ngoài việc cho phép giải tích mới ý thức được sức mạnh của các phương tiện của nó.

Còn đối với phép tính tích phân, đối với người Hy Lạp nó đã xuất hiện như việc tính diện tích, thể tích, mômen, như việc tính độ dài của một đường tròn và diện tích của các đoạn cầu; vào đó thế kỷ XVII bổ sung thêm việc chỉnh độ dài các đường cong, việc tính diện tích của các mặt tròn xoay, và (với công trình của Huygens về con lắc hợp thành ([169 b], v. XVIII)) việc tính các mômen quán tính. Trước hết phải nhận ra mối liên hệ giữa tất cả các bài toán ấy. Đối với diện tích và thể tích, bước tiến đầu tiên và to lớn này được Cavalieri thực hiện trong Geometry of indivisibles [57 a] của ông. Ở đó ông công bố, và cho rằng mình chứng minh được, nguyên lý sau đây đại để như sau: nếu hai miền phẳng sao cho mọi đường thẳng song song theo một hướng cho trước cắt chúng theo các đoạn mà độ dài ở trong một tỉ số hằng, thì các miền ấy cũng ở trong cùng tỉ số đó; một nguyên lý tương tự được phát biểu cho các thể tích bị cắt bởi các mặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định mà tại đó các diện tích ở trong một tỉ số hằng. Có lẽ các nguyên lý ấy được Cavalieri gợi ý bởi những định lý như định lý của Euclid (hay đúng hơn là Eudoxus) về tỉ số các thể tích của những hình chóp có cùng chiều cao, và rằng trước khi phát biểu chúng dưới một dạng tổng quát, trước hết ông đã kiểm tra tính đúng đắn của chúng trên một số lượng lớn ví dụ lấy từ Archimedes. Ông "biện minh" cho chúng bằng cách dùng một ngôn ngữ mà tính hợp thức của nó ta thấy ông đem hỏi Galileo trong một bức thư năm 1621, trong khi ngay từ 1622 ông đã dùng nó không chút ngần ngại ([122 b], v. XIII, pp. 81 and 86) và dưới đây là phần cốt yếu của nó. Chẳng hạn, cho hai miền, một là $0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq f(x)$ , miền kia là $0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq g(x)$ ; các tổng các tung độ $\sum_{k=0}^{n-1} f(ka/n), \sum_{k=0}^{n-1} g(ka/n)$ ở trong một tỉ số mà, với $n$ đủ lớn, gần tùy ý với tỉ số của hai diện tích, và thậm chí sẽ không khó chứng minh điều đó bằng phương pháp vét cạn khi $f$ và $g$ đơn điệu; Cavalieri đi đến giới hạn, đặt $n = \infty$ , và nói về "tổng của mọi tung độ" của đường cong thứ nhất, tổng này ở trong một tỉ số nghiêm ngặt bằng với tổng tương tự của đường cong thứ hai cũng như với tỉ số của các diện tích; cũng vậy đối với các thể tích; và ngôn ngữ này về sau được chấp nhận một cách phổ biến, ngay cả bởi những tác giả như Fermat, những người có sự nhận thức rõ ràng nhất về các sự kiện chính xác mà nó bao trùm. Đúng là về sau nhiều nhà toán học, như Roberval ([163], pp. 3-67) và Pascal ([244], v. VIII, pp. 334-384), thích nhìn thấy, trong các tung độ của đường cong mà người ta đang lấy "tổng", không phải các đoạn của một đường thẳng như ở Cavalieri, mà là các hình chữ nhật có cùng chiều cao vô cùng bé, điều đó không phải là một tiến bộ lớn từ quan điểm về tính chặt chẽ (dù Roberval có nói gì đi nữa), nhưng có lẽ ngăn trí tưởng tượng trật đường ray quá dễ dàng. Dù sao đi nữa, và vì đây chỉ là vấn đề các tỉ số, biểu thức "tổng của mọi tung độ" của đường cong $y = f(x)$ , hay ngắn gọn là "mọi tung độ" của đường cong, rốt cuộc, như điều đó xuất hiện rõ ràng chẳng hạn trong các trước tác của Pascal, là tương đương khớp của $\int y dx$ của Leibniz.

Từ ngôn ngữ được Cavalieri chấp nhận, các nguyên lý đã phát biểu ở trên tất yếu suy ra, và ngay lập tức kéo theo những hệ quả mà ta sẽ phát biểu bằng ký hiệu hiện đại, với điều được hiểu rằng ở đó $\int f dx$ sẽ chỉ có nghĩa là diện tích bị chặn bởi $Ox$ và đường cong $y = f(x)$ . Trước hết, mọi miền phẳng, bị mỗi đường thẳng $x =$ hằng cắt theo những đoạn mà tổng độ dài là $f(x)$ , đều bằng $\int f dx$ ; và cũng vậy đối với mọi thể tích bị mỗi mặt phẳng $x =$ hằng cắt theo một diện tích có giá trị $f(x)$ . Hơn nữa, $\int f dx$ phụ thuộc tuyến tính vào $f$ ; ta có $\int (f+g) dx = \int f dx + \int g dx$ , $\int c f(x) dx = c \int f dx$ . Đặc biệt, mọi bài toán về diện tích và thể tích đều được rút gọn về các phép cầu phương, nghĩa là về các phép tính diện tích dạng $\int f dx$ ; và, điều có lẽ còn mới mẻ và quan trọng hơn nữa, hai bài toán phụ thuộc vào cùng một phép cầu phương phải được xem là tương đương, và trong mỗi trường hợp đều có phương tiện để quyết định có đúng như vậy hay không. Các nhà toán học Hy Lạp chưa bao giờ đạt tới (hoặc có lẽ chưa bao giờ chấp nhận đạt tới) một mức độ “trừu tượng” như thế. Do đó ([57 a], p. 133) Cavalieri “chứng minh” không chút khó khăn rằng hai thể tích đồng dạng ở trong một tỉ số bằng lập phương của tỉ số đồng dạng, trong khi Archimedes chỉ phát biểu kết luận ấy cho các mặt bậc hai tròn xoay và các đoạn của chúng, ở cuối lý thuyết của ông về các vật thể rắn ([5 b], v. I, p. 258). Nhưng để đi đến đó, đã phải vứt bỏ sự chặt chẽ kiểu Archimedes.

Như vậy ở đó có phương tiện để phân loại các bài toán, ít nhất là tạm thời, theo mức độ khó thực sự hoặc bề ngoài nảy sinh từ các phép cầu phương liên quan đến chúng. Chính ở điểm đó mà đại số thời bấy giờ đã có ích như một mô hình: vì trong đại số cũng vậy, và trong các bài toán đại số phát sinh trong hình học, trong khi người Hy Lạp chỉ quan tâm đến các nghiệm, thì các nhà đại số học thế kỷ XVI và XVII bắt đầu chủ yếu hướng sự chú ý của mình vào việc phân loại các bài toán theo bản chất của các phương tiện dùng để giải chúng, qua đó tạo ra một bước dạo đầu cho lý thuyết hiện đại về các mở rộng đại số; và họ không những đã tiến hành một sự phân loại đầu tiên các bài toán theo bậc của phương trình mà chúng phụ thuộc vào, mà còn đã tự đặt ra những câu hỏi khó về khả năng: khả năng giải mọi phương trình bằng căn thức (điều mà một số người trong họ không tin), v.v.; họ cũng bận tâm đến việc rút mọi bài toán về một kiểu dạng hình học có bậc cho trước. Cũng theo cách ấy trong phép tính tích phân, các nguyên lý của Cavalieri đặt họ vào vị trí nhận ra ngay lập tức rằng nhiều bài toán do Archimedes giải được rút gọn về các phép cầu phương $\int x^n dx$ với $n = 1, 2, 3$ ; và ông sáng tạo ra một phương pháp khéo léo để thực hiện phép cầu phương này cho nhiều giá trị của $n$ tùy ý (phương pháp được rút gọn về việc nhận thấy rằng ta có $\int_0^{2a} x^n dx = c_n a^{n+1}$ do tính thuần nhất, và viết

\int_0^{2a} x^n dx = \int_{-a}^a (a + x)^n dx = \int_0^a [(a + x)^n + (a - x)^n] dx,

do đó, bằng cách khai triển, thu được một quan hệ truy hồi đối với các $c_n$ ([57 a], p. 159 and [57 b], pp. 269-273). Nhưng Fermat đã đi xa hơn nhiều, khi trước hết chứng minh (trước năm 1636) rằng $\int_0^a x^n dx = \frac{a^{n+1}}{n+1}$ với $n$ là một số nguyên dương ([109], v. II, p. 83), bằng một công thức cho tổng các lũy thừa của $N$ số nguyên đầu tiên (một thủ tục mô phỏng từ phép cầu phương đường xoắn ốc của Archimedes), rồi mở rộng cùng công thức đó cho mọi $n$ hữu tỉ $n \neq 1$ ([109], v. I, pp. 195-198); từ kết quả cuối cùng này (được thông báo cho Cavalieri năm 1644) ông chỉ viết ra một chứng minh muộn hơn nhiều, sau khi đọc các công trình của Pascal về phép tính tích phân $^7$ ([109], v. I, pp. 255-288; bản dịch tiếng Pháp v. III, pp. 216-240).

Các kết quả này, kết hợp với những xem xét hình học thay thế cho phép đổi biến và phép lấy tích phân từng phần, đã cho phép giải một số lượng lớn bài toán được rút gọn về các phép cầu phương sơ cấp. Vượt lên trên đó, trước hết gặp phép cầu phương đường tròn và phép cầu phương hyperbol: vì vào thời kỳ ấy, điều mà người ta quan tâm đặc biệt là các “nguyên hàm”, nên lời giải của các bài toán đó theo ngôn ngữ hiện đại được cho tương ứng bởi các hàm lượng giác ngược và bởi lôgarit; các hàm ấy đã được cho một cách hình học, và ta đã thấy hàm sau cùng này đã được đưa vào dần dần trong giải tích như thế nào. Các phép cầu phương này là đối tượng của nhiều công trình, của Grégoire de Saint-Vincent [135], Huygens ([169 b], v. XI, pp. 271-337 and v. XII, pp. 91-180), Wallis (326 a], v. I, pp. 355-478), Gregory [136 a]; người thứ nhất tin rằng mình đã thành công trong phép cầu phương đường tròn, người cuối cùng tin rằng mình đã chứng minh tính siêu việt của $\pi$ ; ở những người này cũng như những người kia, các thủ tục xấp xỉ vô hạn được phát triển cho các hàm lượng giác và lôgarit, bên này theo một xu hướng lý thuyết, bên kia hướng về phép tính số, điều sẽ sớm kết thúc, với Newton ([233 a], v. I, pp. 3-26 and 29-199), Mercator ([220], reproduced in [218], v. I, pp. 167-196), J. Gregory [136 d], rồi Leibniz [198 d], bằng các phương pháp khai triển chuỗi tổng quát. Dù sao đi nữa, dần dần lộ ra sự xác tín về “tính bất khả” của các phép cầu phương đang xét, nghĩa là về tính không đại số của các hàm mà chúng xác định; và đồng thời, dần dần trở thành thông lệ

$^7$ Thật đáng chú ý là Fermat, vốn rất cẩn trọng, lại dùng tính cộng được của tích phân mà không nói một lời biện minh nào trong các ứng dụng mà ông đưa ra cho các kết quả tổng quát của mình: phải chăng ông dựa vào tính đơn điệu từng phần, được giả định ngầm, của các hàm mà ông nghiên cứu, từ điều kiện ấy quả thật không khó biện minh tính cộng được bằng phương pháp vét cạn? hay là ông đã, bất chấp chính mình, bị cuốn theo ngôn ngữ mà ông sử dụng?

coi một bài toán là đã được giải quyết xa đến mức bản tính của nó cho phép, khi nó đã được rút gọn về một trong những phép cầu phương "bất khả". Chẳng hạn như vậy đối với các bài toán về đường cycloid, được giải bằng các hàm lượng giác tròn, và về sự chỉnh độ dài của parabol, được rút gọn về phép cầu phương của hyperbol.

Các bài toán chỉnh độ dài, trong đó chúng tôi vừa nêu ra hai bài toán nổi tiếng nhất, có một tầm quan trọng đặc biệt, vì tạo thành một sự chuyển tiếp hình học tự nhiên giữa vi phân, mà chúng giả định, và tích phân mà chúng thuộc vào; các bài toán về diện tích các mặt tròn xoay có thể được liên kết với chúng. Người xưa chỉ xét trường hợp đường tròn và mặt cầu. Trong thế kỷ XVII, các vấn đề này chỉ xuất hiện rất muộn; dường như khó khăn, không thể vượt qua vào thời đó, của việc chỉnh độ dài ellipse (được xem là đường cong đơn giản nhất sau đường tròn) đã làm nản lòng mọi cố gắng. Các phương pháp động học cho phép tiếp cận phần nào các bài toán ấy, điều này cho phép Roberval ([263], pp. 363-399) và Torricelli ([310], v. III, pp. 103-159), trong khoảng từ 1640 đến 1645, thu được các kết quả về cung của các đường xoắn; nhưng chỉ trong những năm trước 1660 thì chúng mới trở thành vấn đề thời sự; Wren chỉnh độ dài đường cycloid năm 1658 ([326 a], v. I, pp. 533-541); ít lâu sau, đường cong $y^3 = ax^2$ được nhiều tác giả nghiên cứu ([326 a], v. I, pp. 551-553; [85 b] v. I, pp. 517-520; [109], v. I, pp. 211-255; French translation, v. III, pp. 181-215), và nhiều tác giả cũng ([109], v. I, p. 199; [169 b], v. II, p. 334) rút gọn việc chỉnh độ dài parabol về phép cầu phương của hyperbol (nghĩa là về một hàm đại số-lôgarit). Ví dụ sau này là quan trọng nhất, vì nó là một trường hợp riêng của nguyên lý tổng quát theo đó sự chỉnh độ dài của một đường cong $y = f(x)$ không gì khác hơn là phép cầu phương của $y = \sqrt{1 + (f'(x))^2}$ ; và chính xác từ nguyên lý này mà Heurat suy ra nó. Cũng không kém phần thú vị khi theo dõi những lần mò mẫm của Fermat lúc tuổi già, trong công trình của ông về đường cong $y^3 = ax^2$ ([109], v. I, pp. 211-255; French translation v. III, pp. 181-215); với đường cong $y = f(x)$ có cung $s = g(x)$ , ông liên kết đường cong $y = g(x)$ , và xác định tiếp tuyến của đường này xuất phát từ tiếp tuyến của đường kia (theo ngôn ngữ hiện đại, ông chứng minh rằng các hệ số góc $f'(x), g'(x)$ của chúng được liên kết bởi quan hệ $(g'(x))^2 = 1 + (f'(x))^2$ ); người ta có thể tưởng mình đã rất gần Barrow, và chỉ cần kết hợp kết quả này với kết quả của Heurat (ít nhiều đó là điều Gregory làm năm 1668 ([136 d], pp. 488-491)) để thu được quan hệ giữa tiếp tuyến và các phép cầu phương; nhưng Fermat chỉ phát biểu rằng nếu, đối với hai đường cong mỗi đường được quy chiếu theo một hệ trục vuông góc, các tiếp tuyến tại các điểm có cùng hoành độ luôn luôn có cùng hệ số góc, thì các đường cong ấy bằng nhau, hay nói cách khác rằng việc biết $f'(x)$ xác định $f(x)$ (sai khác một hằng số); và ông chỉ biện minh mệnh đề này bằng một lập luận tối nghĩa không có giá trị thuyết phục nào.

Chưa đầy mười năm sau, Lectiones Geometricae của Barrow [16 b] đã xuất hiện. Ngay từ đầu (Lect. I), ông phát biểu về nguyên lý rằng, trong một chuyển động thẳng, các quãng đường tỉ lệ với các diện tích $\int_0^t vdt$ bị chặn bởi trục thời gian và đường cong vận tốc. Người ta tưởng rằng từ đó, và từ phương pháp động học đã được nhắc tới của ông liên quan đến việc xác định các tiếp tuyến, ông sẽ suy ra mối liên hệ giữa vi phân được quan niệm như hệ số góc của tiếp tuyến, và tích phân được quan niệm như diện tích; nhưng hoàn toàn không phải vậy, và về sau, bằng một cách thuần túy hình học ([16 b], Lect. X, , p. 243) ông chứng minh rằng, nếu hai đường cong $y = f(x), Y = F(x)$ sao cho các tung độ $Y$ tỉ lệ với các diện tích $\int_a^x y dx$ , nghĩa là nếu $c.F(x) = \int_a^x f(x) dx$ , thì tiếp tuyến của $Y = F(x)$ cắt $Ox$ tại điểm có hoành độ $x - T$ được xác định bởi $y/Y = c/T$ ; hơn nữa, chứng minh hoàn toàn chính xác, bắt đầu từ giả thiết tường minh rằng $f(x)$ là đơn điệu, và người ta nói rằng chiều biến thiên của $f(x)$ xác định chiều lõm của $Y = F(x)$ . Nhưng cần lưu ý rằng định lý này phần nào bị lạc giữa một đám đông các định lý khác, trong đó nhiều định lý rất đáng quan tâm; người đọc nếu không được báo trước sẽ có xu hướng chỉ thấy ở đó một phương tiện để giải bằng phép cầu phương bài toán $Y/T = f(x)/c$ , nghĩa là một bài toán nào đó về việc xác định một đường cong xuất phát từ thông tin về tiếp tuyến của nó (hay, như chúng ta sẽ nói, một phương trình vi phân thuộc một kiểu riêng); và điều đó lại càng đúng hơn vì các ứng dụng mà Barrow đưa ra trước hết liên quan đến các bài toán cùng loại (nghĩa là các phương trình vi phân khả tích bằng "tách biến"). Ngôn ngữ hình học mà Barrow tự buộc mình dùng ở đây là một nguyên nhân khiến cho mối liên hệ giữa vi phân và tích phân, rất rõ ràng chừng nào còn là trường hợp của động học, trở nên phần nào bị che khuất

Mặt khác, nhiều phương pháp khác nhau đã thành hình, để rút gọn các bài toán tích phân bài này về bài kia, và để "giải" chúng hoặc rút chúng về những bài toán "bất khả" đã được phân loại rồi. Dưới dạng hình học đơn giản nhất, phép tích phân từng phần gồm ở việc viết diện tích bị chặn bởi $Ox, Oy$ và một cung của đường cong đơn điệu $y = f(x)$ nối một điểm $(a, 0)$ của $Ox$ với một điểm $(0, b)$ của $Oy$ dưới dạng $\int_0^a y dx = \int_0^b x dy$ ; và nó thường được dùng một cách ẩn tường minh. Với Pascal ([244], v. IX, pp. 17-18) xuất hiện sự khái quát sau đây, đã được che giấu khéo hơn nhiều: với $f(x)$ như trên, lấy $g(x)$ là một hàm $\geq 0$ , và đặt $G(x) = \int_0^x g(x) dx$ ; khi đó ta có $\int_0^a y g(x) dx = \int_0^b G(x) dy$ , điều mà ông chứng minh một cách tài tình bằng cách tính theo hai cách thể tích của khối $0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq f(x), 0 \leq z \leq g(x)$ ; trường hợp riêng $g(x) = x^n, G(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ giữ một vai trò quan trọng, cả ở Pascal (loc. cit., pp. 19-21) lẫn ở Fermat ([109], v. I, p. 271); người sau này (mà công trình mang nhan đề đầy ý nghĩa "Sự chuyển hóa và hiệu chỉnh các phương trình của các đường cong, và các ứng dụng đa dạng của nó vào việc so sánh các miền cong giữa chúng với nhau và với các miền thẳng ...") không chứng minh điều đó, hẳn vì ông cho là vô ích nếu lặp lại điều Pascal vừa công bố. Những định lý về "sự chuyển hóa" này, trong đó ngày nay ta sẽ thấy một sự kết hợp của phép tích phân từng phần và các phép thay đổi biến, phần nào thay chỗ cho phép sau, phép này chỉ được đưa vào rất muộn; quả vậy, nó trái với lối tư duy của thời ấy, còn quá hình học và quá ít giải tích, nên không cho phép dùng những biến khác ngoài những biến do hình vẽ áp đặt, nghĩa là tọa độ này hay tọa độ kia (hoặc đôi khi là tọa độ cực) rồi đến cung của đường cong. Vì thế mà ở Pascal ([244], v. IX, pp. 60-76) ta gặp những kết quả mà, theo ký hiệu hiện đại, được viết, khi đặt $x = \cos t, y = \sin t$ và, đối với những hàm riêng $f(x)$ :

\int_0^1 f(x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) y dt,

và, ở J. Gregory ([136 d], p. 489), đối với một đường cong $y = f(x)$ và cung của nó $s, \int y ds = \int z dx$ , với $z = y \sqrt{1 + {y'}^2}$ . Chỉ đến năm 1669 ta mới thấy Barrow nắm được định lý tổng quát về phép thay đổi biến ([16 b], pp. 298-299); phát biểu của nó, vẫn mang tính hình học như thường lệ, quy về điều sau đây: giả sử $x$ và $y$ liên kết với nhau bởi một quan hệ đơn điệu, và gọi $p$ là độ dốc của đồ thị của quan hệ này tại điểm $(x, y)$ ; khi đó, nếu các hàm $f(x), g(y)$ sao cho ta có $f(x)/g(y) = p$ với mọi cặp giá trị tương ứng $(x, y)$ , thì các diện tích $\int f(x) dx, \int g(y) dy$ , lấy giữa các cận tương ứng, là bằng nhau; và đảo lại, nếu các diện tích này luôn luôn bằng nhau ( $f$ và $g$ được giả định ngầm là có dấu không đổi), thì ta có $p = f(x)/g(y)$ ; mệnh đề đảo lại dĩ nhiên được dùng để áp dụng định lý vào việc giải các phương trình vi phân (bằng "phép tách biến"). Nhưng định lý ấy chỉ được Barrow đưa vào trong một phụ lục (Lect. XII, app. III, theor. IV), ở đó, khi nhận xét rằng nhiều kết quả trước đó của ông chỉ là những trường hợp riêng của nó, ông tự bào chữa rằng mình đã phát hiện ra nó quá muộn để có thể dùng nó nhiều hơn.

Như vậy, vào khoảng năm 1670, tình hình là như sau. Người ta đã biết cách xử lý, bằng những thủ tục thống nhất, các bài toán nảy sinh với đạo hàm bậc nhất, và Huygens đã đương đầu với những câu hỏi hình học nảy sinh với đạo hàm bậc hai. Người ta đã biết cách rút gọn mọi bài toán tích phân về các phép cầu phương; có sẵn nhiều kỹ thuật khác nhau, mang khía cạnh hình học, để rút gọn các phép cầu phương từ phép này sang phép khác, trong những trường hợp được phân loại rất kém, và từ quan điểm đó, đã thành thói quen xử lý các hàm tròn và các hàm lôgarit; người ta ý thức được mối liên hệ giữa vi phân và tích phân; "phương pháp nghịch đảo của tiếp tuyến" bắt đầu được nghiên cứu, tên gọi vào thời ấy dành cho các bài toán quy về các phương trình vi phân cấp một. Phát hiện gây chấn động về chuỗi $\log(1 + x) = - \sum_1^\infty (-x)^n / n$ của Mercator vừa mở ra những triển vọng hoàn toàn mới cho việc áp dụng các chuỗi, và chủ yếu là các chuỗi lũy thừa, vào những bài toán được gọi là "bất khả". Trái lại, hàng ngũ các nhà toán học đã mỏng đi một cách đáng kể: Barrow đã rời ghế giáo sư để nhận chức vụ nhà thuyết giáo; ngoài Huygens ra (người mà hầu như toàn bộ công trình toán học đã ở phía sau ông, vì ông đã thu được tất cả các kết quả chính của Horologium Oscillatorium mà ông đang bắt tay soạn thảo dứt khoát), chỉ còn Newton ở Cambridge, và J. Gregory ở Aberdeen là đang hoạt động, và Leibniz sẽ sớm nhập cuộc với nhiệt huyết của một người mới cải đạo. Cả ba người, Newton ngay từ năm 1665, J. Gregory từ khi công bố của Mercator xuất hiện năm 1668, Leibniz từ khoảng năm 1673, đều chủ yếu chuyên tâm vào đề tài thời thượng, việc nghiên cứu các chuỗi lũy thừa. Nhưng, xét từ quan điểm phân loại các bài toán, hiệu quả chính của các phương pháp mới dường như là xóa nhòa mọi sự phân biệt giữa chúng; và thực vậy Newton, thiên về nhà giải tích hơn là nhà đại số, không ngần ngại báo cho Leibniz năm 1676 ([198 d], p. 224) rằng ông biết giải mọi phương trình vi phân, $^8$ và Leibniz đáp lại ([198 d], pp. 248-249) rằng trái lại ở đây vấn đề là đạt được nghiệm dưới dạng một số hữu hạn số hạng bất cứ khi nào điều đó là có thể "giả sử đã có các phép cầu phương", và đồng thời biết liệu mọi phép cầu phương có thể rút gọn về những phép của đường tròn và của hyperbol như đã được ghi nhận trong đa số các trường hợp đã nghiên cứu cho đến lúc ấy hay không; nhân đó ông lại nhấn mạnh rằng Gregory tin (một cách đúng đắn, như ngày nay ta biết) rằng phép chỉnh độ dài của ellipse và hyperbol là bất khả quy đối với các phép cầu phương của đường tròn và hyperbol; và Leibniz hỏi phương pháp chuỗi, như Newton sử dụng, có thể trả lời những câu hỏi ấy đến mức nào. Về phần mình, Newton ([198 d], pp. 209-211) tuyên bố rằng ông nắm trong tay các tiêu chuẩn, mà ông không nêu ra, để quyết định, dường như bằng việc khảo sát các chuỗi, về "khả năng" của một số phép cầu phương nào đó (dưới dạng hữu hạn số hạng), và cho một ví dụ về một chuỗi (rất thú vị) đối với tích phân $\int x^\alpha (1 + x)^\beta dx$ .

Có thể thấy sự tiến bộ mênh mông đã được thực hiện trong mười năm; các câu hỏi phân loại được phát biểu trong những bức thư này bằng những thuật ngữ hết sức hiện đại; nếu một trong những câu hỏi mà Leibniz nêu lên đã được giải trong thế kỷ XIX bởi lý thuyết các tích phân Abel, thì câu hỏi kia, về khả năng rút gọn một phương trình vi phân đã cho về các phép cầu phương, vẫn còn bỏ ngỏ mặc dù đã có những công trình quan trọng gần đây. Nếu là như vậy, ấy là vì ngay từ lúc đó Newton và Leibniz, mỗi người theo phần mình, đã rút gọn các phép toán cơ bản của phép tính vi tích phân thành một thuật toán; chỉ cần viết, trong các ký hiệu mà người này hay người kia sử dụng, một bài toán về các phép cầu phương hoặc phương trình vi phân, là cấu trúc đại số của nó lập tức xuất hiện, được giải phóng khỏi lớp vỏ hình học của nó; các phương pháp "biến đổi" cũng có thể được viết bằng những thuật ngữ giải tích đơn giản; các bài toán phân loại được phát biểu một cách chính xác. Nói theo ngôn ngữ toán học, thế kỷ XVII đã đi tới hồi kết của nó.

E) Nội suy và phép tính sai phân. Chủ đề này (mà chúng tôi sẽ không tách khỏi việc nghiên cứu các hệ số nhị thức) xuất hiện sớm và kéo dài suốt cả thế kỷ, vì những lý do vừa lý thuyết vừa thực hành. Quả thật, một trong những công việc lớn của thời đại là việc tính toán các bảng lượng giác, lôgarit, hàng hải do những tiến bộ nhanh chóng của địa lý, hàng hải, thiên văn học lý thuyết và thực hành, vật lý, cơ học thiên thể làm cho trở nên cần thiết; và nhiều nhà toán học lỗi lạc nhất, từ Kepler đến Huygens và Newton, đều tham gia vào đó, hoặc trực tiếp, hoặc thông qua những nghiên cứu lý thuyết về các quy trình xấp xỉ hiệu quả nhất.

Một trong những bài toán đầu tiên, trong việc sử dụng và ngay cả trong phép dựng các bảng, là bài toán nội suy; và, khi độ chính xác của các phép tính tăng lên, người ta nhận thấy vào thế kỷ XVII rằng thủ tục cổ xưa của nội suy tuyến tính-

$^8$ Trong cuộc trao đổi thư từ này, vốn không diễn ra trực tiếp giữa các bên liên quan, mà chính thức qua trung gian của thư ký Hội Hoàng gia, Newton "ghi ngày" bằng cách phát biểu phương pháp của mình như sau: 5accdae 10effh 12i ... rrrssssstttuu, một đảo tự trong đó chứa phương pháp giải bằng một chuỗi lũy thừa với các hệ số bất định ([198 d], p. 224).

phép nội suy mất hiệu lực ngay khi các sai phân bậc nhất (các sai phân giữa những giá trị liên tiếp xuất hiện trong bảng) không còn thực sự hằng nữa; chẳng hạn, ta thấy Briggs ([36], chap. 13) dùng các sai phân bậc cao hơn, thậm chí bậc khá cao, trong việc tính các logarithm. Về sau, ta thấy Newton ([233 a], v. I, pp. 271-282 và [233 b], quyển III, bổ đề 5; xem thêm [114]) và J. Gregory ([136 d], pp. 119-120), mỗi người theo cách riêng của mình, theo đuổi những nghiên cứu song song về nội suy và về chuỗi lũy thừa; cả hai, hơn nữa bằng những phương pháp khác nhau, đều đi đến, một mặt, công thức nội suy bằng đa thức, gọi là "của Newton", và mặt khác chuỗi nhị thức ([136 d], p. 131; [198 d], p. 180) cùng với các khai triển chính thành chuỗi của giải tích cổ điển ([136 d]; [233 a], v. I, pp. 3-26 và 271-282 và [198 d], pp. 179-192 và 203-225); hầu như không còn nghi ngờ gì rằng hai hướng nghiên cứu ấy đã tác động lẫn nhau, và trong tư tưởng của Newton chúng gắn bó mật thiết với việc khám phá các nguyên lý của phép tính vi tích phân. Ở Gregory cũng như ở Newton, một mối quan tâm lớn đối với thực hành số, phép dựng và việc dùng các bảng, phép tính số các chuỗi và các tích phân, hiện ra rõ rệt; đặc biệt, tuy trong các công trình của họ không thấy một chứng minh hội tụ được trau chuốt như của Lord Brouncker đã dẫn ở trên, cả hai vẫn luôn nhắc đến sự hội tụ của các chuỗi của mình từ quan điểm thực hành về khả năng dùng chúng để tính toán. Cũng chính như vậy mà ta còn thấy Newton, khi trả lời một câu hỏi Collins đặt ra nhằm một mục đích thực hành ([262], v. II, pp. 309-310), áp dụng vào việc tính gần đúng $\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{n+p}$ , đối với các giá trị lớn của $N$ , một trường hợp riêng của phương pháp tổng kết mang tên Euler-Maclaurin.

Việc tính các giá trị của một hàm xuất phát từ các sai phân của chúng cũng được gặp từ sớm, được dùng như một thủ tục thực hành để lấy tích phân, và thậm chí, có thể nói, để tích phân một phương trình vi phân. Chẳng hạn Wright, vào năm 1599, khi phải giải, nhằm lập các bảng hàng hải, một bài toán mà ngày nay ta sẽ ký hiệu là $\frac{dx}{dt} = \sec t = \frac{1}{\cos t}$ , đã tiến hành bằng cách cộng các giá trị của $\sec t$ , theo những khoảng liên tiếp bằng một giây cung ([338]; so sánh [230 b], p. 97), và dĩ nhiên trên thực tế đã thu được một bảng các giá trị của $\log \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{t}{2})$ ; và sự trùng hợp này, được nhận thấy từ các phép tính của những bảng đầu tiên của $\log \tan t$ , vẫn không được giải thích cho đến khi Gregory lấy tích phân của $\sec t$ vào năm 1668 ([136 c] và [136 d], pp. 7 và 463).

Nhưng các vấn đề ấy cũng có một khía cạnh thuần túy lý thuyết và thậm chí số học. Ta quy ước ký hiệu bởi $\Delta^r x_n$ dãy các sai phân liên tiếp của một dãy $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ , được xác định bằng truy hồi nhờ $\Delta x_n = x_{n+1} - x_n, \Delta^r x_n = \Delta(\Delta^{r-1} x_n)$ , và ký hiệu bởi $S^r$ phép toán nghịch đảo của $\Delta$ và các lần lặp của nó, do đó viết $y_n = Sx_n$ nếu $y_0 = 0, \Delta y_n = x_n$ và $S^r x_n = S(S^{r-1} x_n)$ ; ta có

S^r x_n = \sum_{p=1}^{n-r} \binom{n-p-1}{r-1} x_p;

đặc biệt, nếu $x_n = 1$ với mọi $n$ , ta có $Sx_n = n$ , các dãy $S^2 x_n$ và $S^3 x_n$ là những dãy các số "tam giác" và "tháp" mà các nhà số học Hy Lạp đã nghiên cứu, và nói chung ta có

S^r x_n = \binom{n}{r} \text{ đối với } n \geq r \text{ (và } S^r x_n = 0 \text{ đối với } n < r);

các chuỗi này đã được đưa vào, xét theo quan điểm này, dù sao thì cũng từ thế kỷ XVI; tự chúng cũng xuất hiện trong các bài toán tổ hợp, những bài toán này, hoặc tự bản thân chúng, hoặc liên hệ với xác suất, đã giữ một vai trò khá lớn trong toán học thế kỷ XVII, chẳng hạn ở Fermat và Pascal, rồi ở Leibniz. Chúng cũng lại xuất hiện trong biểu thức của tổng các lũy thừa bậc $m$ của $N$ số nguyên đầu tiên, mà việc tính toán nó, như ta đã thấy, là cơ sở của phép lấy tích phân $\int x^m dx$ với $m$ là một số nguyên, theo phương pháp thứ nhất của Fermat ([109], v. II, p. 83). Đó là cách Wallis tiến hành vào năm 1655 trong Arithmetica Infinitorum của ông ([326 a], v. I, pp. 355-478), mà không biết đến công trình (chưa công bố) của Fermat, và cũng không biết, như ông nói, phương pháp các vô cùng bé ngoài điều ông đọc được ở Torricelli; quả thật Wallis, nóng lòng đi đến kết quả cuối cùng, không làm chậm mình lại bởi những nghiên cứu tỉ mỉ: một khi đã thu được kết quả đối với các giá trị nguyên đầu tiên của $m$ , ông tuyên bố nó đúng "bằng quy nạp" với mọi số nguyên $m$ , từ đó chuyển đúng sang $m = 1/n$ với $n$ là một số nguyên, rồi, bằng một phép "quy nạp" còn sơ lược hơn phép thứ nhất, sang $m$ hữu tỉ tùy ý. Nhưng điều thú vị và độc đáo trong công trình của ông là từ đó ông dần dần nâng mình lên đến việc nghiên cứu tích phân "Euler" $I(m, n) = \int_0^1 (1 - x^{1/m})^n dx$ (mà giá trị, với $m$ và $n > 0$ , là $\Gamma(m+1)\Gamma(n+1)/\Gamma(m+n+1)$ ) và những tích phân tương tự khác, lập, đối với $m$ và $n$ nguyên, bảng các giá trị của $1/I(m, n)$ mà không gì khác hơn là bảng các số nguyên $\binom{m+n}{n}$ , và, bằng những phương pháp hầu như đồng nhất với những phương pháp ngày nay dùng để trình bày lý thuyết của hàm $\Gamma$ , đi đến tích vô hạn cho $I\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{4} = (\Gamma\left(\frac{3}{2}\right))^2$ ; hơn nữa không khó để làm cho phương pháp ấy trở nên đúng đắn bằng phép tích phân từng phần và những phép đổi biến rất đơn giản, và bằng cách xét $I(m, n)$ đối với mọi giá trị thực của $m$ và $n$ , điều mà ông khó có thể nghĩ tới, nhưng điều mà giải tích Newton sẽ sớm làm cho trở nên có thể. Dù sao, chính sự "nội suy" do Wallis thực hiện từ các số nguyên $\binom{m+n}{n}$ sang các giá trị không nguyên của $m$ (chính xác hơn là sang các giá trị có dạng $n = p/2$ , với $p$ là một số nguyên lẻ) đã cung cấp điểm xuất phát cho Newton khi ông bắt đầu ([198 d], pp. 204-206), đưa ông trước hết đến việc nghiên cứu một trường hợp riêng $(1-x^2)^{p/2}$ , đến chuỗi nhị thức, từ đó đến việc đưa vào $x^a$ (được ký hiệu như vậy) với mọi $a$ thực, và đến việc vi phân $x^a$ bằng chuỗi nhị thức; tất cả điều đó mà không cố gắng nhiều để có được các chứng minh chặt chẽ hay ngay cả các định nghĩa; hơn nữa, một đổi mới đáng chú ý, chính từ sự hiểu biết đạo hàm của $x^a$ mà ông suy ra $\int x^a dx$ đối với $a \neq -1$ ([233 a], v. I, pp. 3-26 and [198 d], p.

225). Về phần còn lại, và mặc dù ông sớm nắm được những phương pháp tổng quát hơn nhiều để khai triển thành chuỗi lũy thừa, như cái gọi là phương pháp đa giác Newton (đối với các hàm đại số) ([198 d], p. 221) và phương pháp hệ số bất định, ông vẫn thường quay trở lại trong phần tiếp theo, với một dạng thiên hướng nào đó, với chuỗi nhị thức và các khái quát của nó; và chẳng hạn chính từ đó mà ông dường như đã rút ra khai triển của $\int x^\alpha (1 + x)^\beta dx$ đã được nhắc đến ở trên ([198 d], p. 209).

Trong khi đó, sự tiến triển của các ý tưởng trên lục địa lại rất khác, và trừu tượng hơn nhiều. Pascal đã tiến gần Fermat trong việc nghiên cứu các hệ số nhị thức (từ đó ông xây dựng cái mà ông gọi là “tam giác số học”) và việc sử dụng chúng trong phép tính xác suất cũng như trong phép tính sai phân; khi ông bàn đến phép tích phân, ông đưa vào đó những ý tưởng ấy. Giống như những người đi trước, khi dùng ngôn ngữ các vô cùng bé, ông quan niệm tích phân $F(x) = \int_0^x f(x)dx$ là giá trị của tỉ số giữa “tổng của mọi tung độ của đường cong”

S \left( f \left( \frac{n}{N} \right) \right) = \sum_{0 \leq p < Nx} f \left( \frac{p}{N} \right),

và “đơn vị” $N = \sum_{0 \leq p < N} 1$ với $N = \infty$ ([244], v. VIII, pp. 352-355) (hoặc, khi ông từ bỏ ngôn ngữ này để dùng ngôn ngữ đúng đắn của phép vét cạn, như một giới hạn của tỉ số này khi $N$ tăng vô hạn). Nhưng, vì để ý đến các bài toán về mômen, ông nhận thấy rằng, khi xét các khối lượng rời rạc $y_i$ phân bố trên những khoảng cách đều nhau, việc tính tổng khối lượng quy về phép toán $S y_n$ được định nghĩa ở trên, còn việc tính mômen quy về phép toán $S^2 y_n$ ; và, bằng phép tương tự, ông lặp phép toán $\int$ để tạo thành cái mà ông gọi là “tổng tam giác của các tung độ”, tức là, theo ngôn ngữ của chúng ta, các giới hạn của các tổng $N^{-2} S^2 \left( f \left( \frac{n}{N} \right) \right)$ , nghĩa là các tích phân $F_2(x) = \int_0^x F(x)dx$ ; một lần lặp mới cho ông các “tổng hình chóp” $F_3(x) = \int_0^x F_2(x)dx$ , là các giới hạn của $N^{-3} S^3 \left( f \left( \frac{n}{N} \right) \right)$ ; hơn nữa văn cảnh đủ để cho thấy rằng, nếu ông dừng lại ở đó, thì không phải vì thiếu tính tổng quát trong tư duy hay trong ngôn ngữ của ông, mà chỉ vì ông chỉ mong dùng đến những cái này, mà việc sử dụng có hệ thống của chúng là cơ sở của một phần lớn các kết quả của ông, và ông chứng minh ngay lập tức các tính chất của chúng mà ngày nay ta sẽ viết là

F_2(x) = \int_0^x (x - u)f(u)du, \quad F_3 = \frac{1}{2} \int_0^x (x - u)^2 f(u)du

([244], t. VIII, tr. 361-367); tất cả điều đó mà không viết một công thức nào, nhưng bằng một ngôn ngữ trong sáng và chính xác đến mức người ta có thể ngay lập tức chép nó thành các công thức như vừa làm. Ở Pascal cũng như ở các bậc tiền bối của ông, nhưng theo một cách sáng sủa và có hệ thống hơn nhiều, việc lựa chọn biến độc lập (luôn luôn là một trong các tọa độ, hoặc cung của đường cong) là hàm ẩn trong quy ước cố định các điểm phân chia cách đều nhau (dẫu “vô hạn bé”) của các khoảng lấy tích phân; các điểm ấy, tương ứng, hoặc nằm trên $Ox$ , hoặc trên $Oy$ , hoặc trên cung của đường cong, và Pascal lưu ý không bao giờ để lại bất kỳ sự nhập nhằng nào về điều đó ([244], t. VIII, tr. 368-369). Khi ông phải thay đổi biến, ông làm điều đó bằng một nguyên lý quy về việc nói rằng diện tích $\int f(x)dx$ có thể được viết thành $S(f(x_i)\Delta x_i)$ , với mọi phép phân chia khoảng lấy tích phân thành các khoảng “vô hạn bé” $\Delta x_i$ , bằng nhau hay không ([244], t. IX, tr. 61-68).

Như có thể thấy, ở đây ta đã rất gần Leibniz; và có thể nói, đó là một may mắn cho người sau này, khi ông muốn được khai tâm vào toán học hiện đại, đã gặp Huygens, người ngay lập tức đặt các tác phẩm của Pascal vào tay ông ([198 d], tr. 407-408); ông đặc biệt được chuẩn bị tốt cho việc đó bởi những suy nghĩ của mình về giải tích tổ hợp, và ta biết rằng ông đã nghiên cứu sâu về nó, điều được phản ánh trong công trình của ông. Năm 1675, ta thấy ông chép định lý trên của Pascal dưới dạng omn $(x\omega) = x.$ omn $\omega$ - omn(omn $\omega$ ), trong đó omn $\omega$ là cách viết tắt của tích phân của $\omega$ lấy từ 0 đến $x$ , mà vài ngày sau Leibniz thay bằng $\int \omega$ (chữ đầu của "summa omnium $\omega$ ") đồng thời ông đưa vào $d$ cho “hiệu” vô hạn bé, hay, như chẳng bao lâu nữa ông sẽ nói, vi phân ([198 d], tr. 147-167). Quan niệm các “hiệu” ấy như những đại lượng có thể so sánh với nhau nhưng không thể so sánh với các đại lượng hữu hạn, ngoài ra ông thường nhất, tường minh hay không, lấy vi phân $dx$ của biến độc lập $x$ làm đơn vị, $dx = 1$ (điều này tương đương với việc đồng nhất vi phân $dy$ với đạo hàm $\frac{dy}{dx}$ ), và lúc đầu bỏ nó khỏi ký hiệu của mình cho tích phân, nên tích phân hiện ra là $\int y$ thay vì $\int y dx$ ; nhưng ông không chậm trễ đưa nó vào, và giữ nó một cách có hệ thống một khi ông nhận ra đặc trưng bất biến của nó đối với sự lựa chọn biến độc lập, điều giúp khỏi phải luôn luôn ghi nhớ sự lựa chọn ấy; $^9$ và ông tỏ ra không ít hài lòng, khi quay lại nghiên cứu Barrow mà cho đến khi ấy ông đã lơ là, khi nhận thấy rằng định lý tổng quát về thay đổi biến, điều mà Barrow làm rùm beng đến thế, suy ra ngay lập tức từ chính ký hiệu của ông ([198 d], p. 412). Trong tất cả điều đó, như thực tế diễn ra, ông vẫn rất gần với phép tính sai phân, phép tính mà phép tính vi phân của ông có thể được suy ra bằng cách chuyển qua giới hạn mà dĩ nhiên ông hẳn khó lòng biện minh một cách chặt chẽ; và trong phần tiếp theo ông cố ý nhấn mạnh vào việc các nguyên lý của ông áp dụng không thay đổi cho cả cái này lẫn cái kia. Chẳng hạn, ông dẫn Pascal một cách tường minh khi trong thư từ của mình với Johann Bernoulli ([198 a], t. III, p. 156), nhắc lại những nghiên cứu đầu tiên của mình, ông cho một công thức tính các sai phân là một trường hợp riêng của công thức của Newton, và suy ra từ đó bằng cách “chuyển qua giới hạn” công thức $y = \sum_1^\infty (-1)^n \frac{d^n y}{dx^n} \cdot \frac{x^n}{n!}$ (trong đó $y$ là một hàm bằng không với $x = 0$ , và các $\frac{d^n y}{dx^n}$ là các đạo hàm của nó tại giá trị $x$ của biến), một công thức tương đương với một công thức tương tự mà Bernoulli đã thông báo cho ông ([198 a], t. III, p. 150 và [20 a], t. I, tr. 125-128), và công thức này người sau chứng minh bằng phép lấy tích phân từng phần liên tiếp. Công thức này, như người ta có

$^9$ "Tôi lưu ý rằng cần phải cẩn thận để không bỏ sót $dx$ ... một sai lầm thường mắc phải, và ngăn cản việc tiến lên, bởi vì như thế người ta tước khỏi các vô phần này, như $dx$ ở đây, tính tổng quát của chúng ... từ đó sinh ra vô số các biến hình và các sự tương đương của các hình." ([198 a], t. V, p. 233).

thể thấy, rất gần với chuỗi Taylor; và thậm chí chính lập luận của Leibniz, chuyển qua giới hạn khởi đi từ phép tính sai phân, là điều Taylor tìm lại vào năm 1715 để thu được chuỗi “của mình” [305], $^{10}$ mà ngoài ra không sử dụng nhiều lắm.

F) Người ta đã có thể thấy, hàm ẩn trong sự tiến triển được mô tả ở trên, sự đại số hóa tiến triển của giải tích vô hạn bé, nghĩa là sự quy nó về một phép tính tác vụ được cung cấp với một hệ ký hiệu thống nhất có tính chất đại số. Như Leibniz đã chỉ ra nhiều lần với sự sáng sủa hoàn hảo ([198 a], t. V, tr. 230-233), đó là làm cho giải tích mới điều mà Viète đã làm cho lý thuyết phương trình, và Descartes cho hình học. Để hiểu tính tất yếu của nó, chỉ cần đọc vài trang của Barrow; không lúc nào người ta có thể không có trước mắt một hình, đôi khi phức tạp, đã được mô tả trước đó một cách tỉ mỉ; cần tới không dưới 180 hình cho 100 trang (Lect. V-XII) tạo thành phần cốt yếu của công trình.

Thật vậy, khó mà có thể là vấn đề đại số hoá trước khi một sự thống nhất nào đó xuất hiện giữa tính đa tạp của các dạng hình học. Trong khi đó, Grégoire de St. Vincent [135] đã đưa vào (dưới tên gọi "ductus plani in planum") một loại luật hợp thành quy về việc sử dụng có hệ thống các tích phân $\int_a^b f(x)g(x)dx$ được xét như thể tích của các khối rắn $a \leq x \leq b, 0 \leq y \leq f(x), 0 \leq z \leq g(x)$ ; nhưng ông còn xa mới rút ra được những hệ quả mà về sau Pascal suy ra, như đã thấy, từ việc nghiên cứu cùng khối rắn ấy. Wallis năm 1655, và Pascal năm 1658, mỗi người cho cách dùng riêng của mình, xây dựng những ngôn ngữ có tính chất đại số, trong đó, không viết một công thức nào, họ phát biểu những mệnh đề có thể ngay lập tức được chép thành các công thức của phép tính tích phân một khi người ta đã hiểu cơ chế của chúng. Ngôn ngữ của Pascal đặc biệt sáng sủa và chính xác; và, nếu không thể hiểu được vì sao ông lại từ chối cho phép mình sử dụng các ký hiệu đại số, không những của Descartes mà ngay cả của Viète, thì người ta chỉ có thể khâm phục kỳ công mà ông đã hoàn thành, và điều mà chỉ nhờ sự làm chủ ngôn ngữ của mình ông mới có thể thực hiện được.

Nhưng chỉ cần vài năm trôi qua, và mọi sự đều thay đổi. Trước hết Newton hình dung ra ý tưởng thay thế mọi phép toán, có tính chất hình học, của phép giải tích vô cùng bé đương thời bằng một phép toán giải tích duy nhất, phép vi phân, và bằng việc giải bài toán nghịch đảo; một phép toán mà dĩ nhiên phương pháp chuỗi lũy thừa cho phép ông thực hiện

$^{10}$ Đối với phép tính sai phân, Taylor đương nhiên có thể dựa vào các kết quả của Newton, được chứa trong một bổ đề nổi tiếng của Principia ([233 b], Book III, bổ đề 5) và được công bố đầy đủ hơn vào năm 1711 ([233 a], v. I, pp. 271-282). Còn đối với ý tưởng chuyển qua giới hạn, nó dường như mang tính Leibniz điển hình; và sẽ khó mà tin vào tính độc đáo của Taylor ở điểm này nếu người ta không biết, ở mọi thời kỳ, nhiều ví dụ về những môn đệ không biết gì ngoài các trước tác của thầy và người bảo trợ của mình. Taylor không trích dẫn Leibniz cũng không trích dẫn Bernoulli; nhưng cuộc tranh cãi Newton-Leibniz đang diễn ra dữ dội, Taylor là thư ký của Royal Society và Sir Isaac là vị chủ tịch toàn quyền của hội này.

một cách hết sức dễ dàng. Mượn ngôn ngữ của mình, như chúng ta đã thấy, từ hư cấu về một tham số "thời gian" phổ quát, ông gọi là "fluents" các đại lượng biến thiên như một hàm của tham số ấy, và là "fluxions" các đạo hàm của chúng. Ông dường như không gắn tầm quan trọng đặc biệt nào với các ký hiệu, và về sau những người ủng hộ tận tụy của ông thậm chí còn khoe rằng sự vắng mặt của một ký hiệu có hệ thống là một ưu điểm; tuy vậy, từ rất sớm ông đã quen, trong cách dùng cá nhân của mình, ký hiệu fluxion bằng một dấu chấm, do đó $\frac{dx}{dt}$ bằng $\dot{x}$ , $\frac{d^2 x}{dt^2}$ bằng $\ddot{x}$ , v.v.. Còn đối với phép tích phân, có vẻ như Newton, hoàn toàn giống Barrow, không bao giờ nhìn thấy ở đó điều gì khác ngoài một bài toán (tìm fluent khi biết fluxion, tức là giải $\dot{x} = f(t)$ ), chứ không phải một phép toán; vì thế ông không có tên gọi nào cho tích phân, và dường như cũng không có ký hiệu chuẩn nào (trừ đôi khi một hình vuông $\boxed{f(t)}$ hoặc $\Box f(t)$ cho $\int f(t) dt$ ). Có phải vì ông không thích đặt tên và ký hiệu cho một đối tượng không được xác định một cách duy nhất, mà chỉ xác định đến một hằng cộng tính?) Không có văn bản, người ta chỉ có thể đặt câu hỏi đó.

Cũng như Newton có tính thực nghiệm, cụ thể, thận trọng ngay cả trong những táo bạo lớn nhất của mình, thì Leibniz lại có tính hệ thống, khái quát hóa, ưa mạo hiểm và đôi khi là nhà đổi mới liều lĩnh. Ngay từ thời niên thiếu, ông đã ôm ấp ý niệm về một "đặc trưng", hay ngôn ngữ ký hiệu phổ quát, thứ sẽ đối với toàn bộ tư duy của con người như ký hiệu đại số đối với đại số, trong đó mỗi tên gọi hay ký hiệu là chìa khóa của mọi tính chất của đối tượng được ký hiệu hóa, và thứ không thể được dùng đúng mà đồng thời không lập luận đúng (xem p. 6). Dễ coi một dự án như thế là viển vông; tuy nhiên không phải ngẫu nhiên mà tác giả của nó lại chính là người chẳng bao lâu sau đã nhận ra và tách biệt các khái niệm cơ bản của phép tính vi tích phân, đồng thời ban cho nó những ký hiệu ít nhiều có tính quyết định. Ở trên chúng ta đã chứng kiến sự ra đời của các ký hiệu ấy, và nhận thấy sự cẩn trọng mà Leibniz, dường như ý thức được sứ mệnh của mình, đã dùng để sửa đổi chúng dần dần cho đến khi bảo đảm được tính đơn giản và nhất là tính bất biến mà ông tìm kiếm ([198 a], v. V, pp. 220-226 và 226-233). Điều quan trọng cần chú ý ở đây là, ngay khi ông đưa chúng vào (mà khi đó còn chưa biết gì về các ý tưởng của Newton), ông đã có quan niệm sáng tỏ về $\int$ và về $d$ , về tích phân và vi phân, như những toán tử nghịch đảo của nhau. Đúng là khi tiến hành như vậy ông không thể tránh khỏi sự nhập nhằng vốn có của tích phân bất định, điểm yếu của hệ thống của ông, mà ông lướt qua một cách khéo léo, cũng như các người kế tục ông. Nhưng điều gây ấn tượng, ngay từ lần xuất hiện đầu tiên của các ký hiệu mới, là thấy Leibniz lập tức bận tâm đến việc phát biểu các quy tắc sử dụng, tự hỏi liệu $d(xy) = dx dy$ hay không ([198 d], pp. 165-166), và tự trả lời là không, để dần dần đi tới quy tắc đúng ([198 a], v. V, pp. 220-226), rồi về sau khái quát hóa nó bằng quy tắc nổi tiếng của ông cho $d^n(xy)$ ([198 a], v. III, p. 175). Dĩ nhiên, vào lúc Leibniz còn đang mò mẫm như thế, Newton đã biết từ mười năm trước rằng $z = xy$ kéo theo $\dot{z} = \dot{x} y + x \dot{y}$ ; nhưng ông không bao giờ buồn nói ra điều đó, chỉ coi nó như một trường hợp riêng, không đáng được nêu tên, của quy tắc phân biệt quan hệ $F(x, y, z) = 0$ giữa các fluent. Trái lại, mối quan tâm chính của Leibniz không phải là làm cho các phương pháp của ông hữu ích cho việc giải những bài toán cụ thể như thế, cũng không phải là suy ra chúng từ những nguyên lý chặt chẽ và không thể công phá, mà trước hết là khởi động một thuật toán dựa trên sự thao tác hình thức với một vài quy tắc đơn giản. Chính trong tinh thần đó mà ông cải tiến ký hiệu đại số bằng cách dùng dấu ngoặc, dần dần chấp nhận $\log x$ hoặc $l x$ cho logarit, $^{11}$ và nhấn mạnh đến "phép tính số mũ", tức là việc xét một cách có hệ thống các hàm mũ, $a^x, x^x, x^y$ , trong đó số mũ là một biến. Trên hết, trong khi Newton không đưa vào các fluxion cấp cao hơn ngoài mức thật cần thiết trong từng trường hợp cụ thể, Leibniz sớm hướng tới việc tạo ra một "phép tính tác toán" bằng phép lặp của $d$ và của $\int$ ; dần dần nhận ra sự tương tự giữa phép nhân các số và hợp thành các toán tử trong phép tính của mình, ông đã, bằng một sự táo bạo may mắn, dùng ký hiệu số mũ để viết các phép lặp của $d$ , do đó viết $d^n$ cho phép lặp thứ $n$ ([198 d], pp. 595 và 601, $^{12}$ và [198 a], v. V, pp. 221 và 378) và thậm chí $d^{-1}, d^{-n}$ cho $\int$ và các phép lặp của nó ([198 a], v. III, p. 167); và ông còn tìm cách gán một nghĩa cho $d^\alpha$ với $\alpha$ là một số thực tùy ý ([198 a], v. II, pp. 301-302, và v. III, p. 228).

Điều đó không có nghĩa là Leibniz cũng không quan tâm đến các ứng dụng của phép tính của mình, vì ông biết rõ (như Huygens thường nhắc ông ([198 d], p. 599)) rằng chúng là hòn đá thử của nó; nhưng ông thiếu kiên nhẫn để đi sâu vào chúng, và ở đó ông trước hết tìm kiếm cơ hội cho những quy tắc tổng quát mới. Chính như vậy mà năm 1686 ([198 a], v. VII, pp. 326-329) ông khảo sát độ cong của các đường cong, và đường tròn tiếp xúc bậc cao, để rồi đến năm 1692 ([198 a], v. VII, pp. 331-337) đi tới những nguyên lý tổng quát về sự tiếp xúc của các đường cong phẳng; $^{13}$ năm 1692 ([198 a], v. V, pp. 266-269) và năm 1694 ([198 a], v. V, pp. 301-306) ông đặt nền tảng cho lý thuyết đường bao; đồng thời với Johann Bernoulli, năm 1702 và 1703 ông thực hiện việc lấy tích phân các phân thức hữu tỉ bằng phân tích thành các phần tử đơn, nhưng trước hết theo một cách hình thức và không hoàn toàn nhận ra các hoàn cảnh đi kèm với sự có mặt của các nhân tử tuyến tính phức trong mẫu số ([198 a], v. V, pp. 350-366). Cũng lại như vậy mà một ngày tháng Tám năm 1697, đang suy ngẫm trên xe ngựa về các vấn đề của phép tính biến phân, ông nảy ra ý tưởng về quy tắc vi phân theo một tham số dưới dấu $\int$ ; và đầy hứng khởi, lập tức gửi nó cho Bernoulli ([198 a], v. III, pp. 449-454). Nhưng khi ông nhận được

$^{11}$ Nhưng ông không có ký hiệu nào cho các hàm lượng giác, cũng không có ký hiệu nào (do thiếu một ký hiệu cho $e$ ) cho "số có logarithm là $x$ ".

$^{12}$ "...điều đó cũng gần như thể, thay cho căn thức và lũy thừa, người ta muốn dùng các chữ cái, và thay cho $xx$ , hoặc $x^3$ , lấy $m$ , hoặc $n$ , sau khi đã tuyên bố rằng chúng phải là các lũy thừa của đại lượng $x$ . Xin các Ngài xét xem điều đó gây lúng túng đến mức nào. Với $dx$ hay với $ddx$ cũng vậy, và các vi phân chẳng kém gì những sự gắn kèm của các đại lượng bất định vào vị trí của chúng, cũng như các lũy thừa là những sự gắn kèm của một đại lượng được tách riêng. Vậy dường như với tôi, tự nhiên hơn là ký hiệu chúng theo cách khiến chúng cho biết ngay đại lượng mà chúng là các sự gắn kèm của."

$^{13}$ Về điểm đó trước hết ông phạm một sai lầm khác thường, khi tin rằng "đường tròn hôn" (đường tròn tiếp xúc bậc cao) tại điểm tiếp xúc có bốn điểm chung với đường cong; và mãi về sau ông mới chỉ chịu nhượng bộ một cách khó khăn trước các phản bác của anh em Bernoulli về điểm này ([198 a], v. III, pp. 187-188, 201-202 and 207).

ở đó, các nguyên lý cơ bản của phép tính của ông đã được bảo đảm từ lâu, và việc sử dụng chúng đã bắt đầu lan rộng: sự đại số hóa của giải tích vô cùng bé đã là một sự kiện hoàn thành.

G) Khái niệm hàm được đưa vào và được làm cho chính xác theo vô số cách trong suốt thế kỷ XVII. Toàn bộ động học đều dựa trên một ý niệm trực giác, và theo một cách nào đó có tính thực nghiệm, về các đại lượng biến thiên theo thời gian, nghĩa là các hàm của thời gian, và ta đã thấy ở trên bằng cách đó người ta đi đến một hàm của một tham số, như nó xuất hiện ở Barrow, và, dưới tên fluent, ở Newton. Khái niệm "đường cong tùy ý" xuất hiện thường xuyên, nhưng hiếm khi được làm cho chính xác; có thể là nhiều khi người ta hình dung nó dưới một dạng động học hoặc ít ra là một dạng thực nghiệm, và rằng người ta không thấy cần phải đòi một đường cong có thể được đặc trưng hình học hay giải tích để có thể dùng làm đối tượng của lập luận; đặc biệt là như vậy (vì những lý do mà ngày nay ta hiểu rõ hơn) khi nói đến phép lấy tích phân, chẳng hạn ở Cavalieri, Pascal và Barrow; chính Barrow này, khi lập luận về đường cong được xác định bởi $x = ct, y = f(t)$ , với giả thiết rằng $\frac{dy}{dt}$ tăng, còn nói rõ rằng "không thành vấn đề" việc $\frac{dy}{dt}$ tăng "một cách đều đặn theo một luật tùy ý, hay thậm chí không đều" ([16 b], p. 191), nghĩa là, như ta sẽ nói, có hay không có khả năng được định nghĩa một cách giải tích. Đáng tiếc là ý tưởng sáng sủa và phong phú này, vốn, nếu được làm cho chính xác một cách thích hợp, sẽ xuất hiện lại trong thế kỷ XIX, đã không thể chống lại sự lẫn lộn do Descartes tạo ra, khi trước hết ông loại khỏi "hình học" mọi đường cong không thể có một định nghĩa giải tích chính xác, và tiếp đó chỉ hạn chế vào các phép toán đại số những quy trình tạo thành được chấp nhận trong một định nghĩa như vậy. Đúng là, ở điểm sau này, ông không được đa số những người cùng thời theo; dần dần, và thường qua những vòng vo rất tinh vi, nhiều phép toán siêu việt khác nhau, logarit, hàm mũ, các hàm lượng giác, các phép cầu phương, việc giải các phương trình vi phân, chuyển qua giới hạn, tổng các chuỗi, đã giành được quyền được viện dẫn, mà trong từng trường hợp không dễ xác định chính xác thời điểm bước tiến ấy được thực hiện; hơn nữa bước tiến đầu tiên thường lại được theo sau bởi một bước lùi. Chẳng hạn đối với logarit, phải xem như những chặng quan trọng sự xuất hiện của đường cong lôgarit ( $y = a^x$ hoặc $y = \log x$ theo lựa chọn của các trục), của đường xoắn ốc lôgarit, phép cầu phương của hyperbol, khai triển thành chuỗi của $\log(1 + x)$ , và cả việc chấp nhận ký hiệu $\log x$ hoặc $lx$ . Về các hàm lượng giác, và mặc dù theo một nghĩa nào đó chúng quay trở lại thời cổ đại, thật đáng chú ý khi thấy rằng lúc đầu đường cong hình sin không xuất hiện như được xác định bởi một phương trình $y = \sin x$ , mà chỉ đơn giản, ở Roberval ([263], pp. 63-65), như một "bạn đồng hành của roulette" (thật ra, đó là trường hợp của đường cong

y = R \left( 1 - \cos \frac{x}{R} \right)

nghĩa là như một đường cong phụ trợ mà định nghĩa được suy ra từ định nghĩa của cycloid. Để gặp khái niệm chung về biểu thức giải tích, phải đến J. Gregory, người đã định nghĩa nó năm 1667 ([169 a], p. 413), như một đại lượng thu được từ những đại lượng khác bằng một dãy các phép toán đại số "hoặc mọi phép toán khác có thể tưởng tượng được"; và ông cố làm cho chính xác khái niệm này trong lời tựa của mình ([169 a], pp. 408-409), bằng cách giải thích sự cần thiết phải nối thêm vào năm phép toán của đại số $^{14}$ một phép toán thứ sáu, mà rốt cuộc không gì khác hơn là chuyển qua giới hạn. Nhưng những tư tưởng thú vị này sớm bị quên lãng, bị nhận chìm dưới dòng thác các khai triển thành chuỗi do chính Gregory, Newton và những người khác phát hiện; và thành công phi thường của phương pháp sau này đã tạo ra một sự lẫn lộn lâu bền giữa các hàm có thể nhận định nghĩa giải tích, và các hàm khai triển được thành chuỗi lũy thừa.

Còn về Leibniz, dường như ông giữ lại quan điểm kiểu Descartes, được mở rộng bằng sự nối thêm tường minh các phép cầu phương, và bằng sự nối thêm ngầm định các phép toán khác quen thuộc với giải tích thời ông, tổng các chuỗi lũy thừa, giải các phương trình vi phân. Cũng vậy Johann Bernoulli, khi ông muốn xét một hàm tùy ý của $x$ , đã đưa nó vào như là "một đại lượng được tạo thành bằng bất cứ cách nào từ $x$ và các hằng" ([198 a], v. III, p. 150), đôi khi nói rõ rằng đó là một đại lượng được tạo thành "theo cách đại số hay siêu việt" ([198 a], v. III, p. 324): và, năm 1698, ông đồng ý với Leibniz gọi một đại lượng như vậy là "hàm của $x$ " ([198 a], v. III, pp. 507-510 and 525-526). $^{15}$ Trước đó Leibniz đã đưa vào các từ "constant", "variable", "parameter", và làm chính xác, liên hệ với các bao hình, khái niệm một họ đường cong phụ thuộc vào một hay nhiều tham số ([198 a], v. V, pp. 266-269). Các vấn đề về ký hiệu cũng trở nên chính xác trong sự tương ứng với Johann Bernoulli: người sau này sẵn sàng viết $X$ , hoặc $\xi$ , cho một hàm tùy ý của $x$ ([198 a], v. III, p. 531); Leibniz tán thành, nhưng cũng đề nghị $\bar{x}|^1_-$ , $\bar{x}|^2_-$ ở chỗ ta sẽ viết $f_1(x), f_2(x)$ ; và ông đề nghị, cho đạo hàm $\frac{dz}{dx}$ của một hàm $z$ của $x$ , ký hiệu $dz$ (đối lại với $dz$ là vi phân), trong khi Bernoulli viết $\Delta z$ ([198 a], v. III, pp. 537 and 526).

Như vậy, cùng với thế kỷ này, thời kỳ anh hùng đi đến hồi kết. Phép tính mới, với các khái niệm và ký pháp của nó, được thiết lập, dưới dạng mà Leibniz đã đem lại cho nó. Những môn đệ đầu tiên, Jakob và Johann Bernoulli, đua tài khám phá với bậc thầy, tự do thăm dò những miền đất phong phú mà ông đã chỉ đường. Chuyên luận đầu tiên về phép tính vi phân và tích phân được viết vào năm 1691 và

$^{14}$ Chúng bao gồm bốn phép tính hữu tỉ, và việc khai căn bậc tùy ý; J. Gregory không bao giờ ngừng tin vào khả năng giải bằng căn thức các phương trình thuộc mọi bậc.

$^{15}$ Cho đến lúc ấy, và ngay từ một bản thảo năm 1673, Leibniz đã dùng từ này như một lối viết tắt để chỉ một đại lượng "đảm nhiệm một hàm như thế này hay như thế kia" đối với một đường cong, chẳng hạn độ dài của tiếp tuyến hoặc pháp tuyến (bị chặn bởi đường cong và $Ox$ ), hoặc đoạn pháp tuyến, đoạn tiếp tuyến, v.v. ..., do đó rốt cuộc là một hàm của một điểm biến thiên trên đường cong, với một định nghĩa hình học-vi phân. Trong cùng bản thảo năm 1673, đường cong được giả thiết là được xác định bởi một quan hệ giữa $x$ và $y$ , "cho bởi một phương trình" (nghĩa là, theo ngôn ngữ của chúng ta, đại số) (xem [217]).

năm 1692 bởi Johann Bernoulli, $^{16}$ để dùng cho một vị hầu tước tỏ ra là một học trò giỏi. Ngoài ra, việc Newton rốt cuộc quyết định, vào năm 1693, công bố một cách dè sẻn một cái nhìn rất ngắn về fluxion của ông ([326 a], v. II, pp. 391-396) cũng không mấy quan trọng; nếu Principia của ông đủ để nuôi dưỡng sự suy ngẫm trong hơn một thế kỷ, thì trên địa hạt của phép tính vô cùng bé ông đã bị bắt kịp, và trên nhiều điểm còn bị vượt qua.

Những điểm yếu của hệ thống mới cũng hiển nhiên, ít nhất là dưới mắt chúng ta. Newton và Leibniz, bằng cách xóa bỏ trong một lần cả một truyền thống hai thiên niên kỷ, đã dành vai trò nguyên sơ cho phép vi phân, và hạ phép tích phân xuống chỉ còn là phép nghịch đảo của nó; cần phải có toàn bộ thế kỷ XIX, và một phần thế kỷ XX, mới tái lập được một thế cân bằng đúng đắn, bằng cách đặt phép tích phân làm nền tảng cho lý thuyết tổng quát về các hàm của một biến thực, và của sự khái quát hiện đại của nó (xem p. 223). Cũng từ sự đảo ngược quan điểm này mà nảy sinh vai trò quá mức, và gần như độc tôn, vốn đã xuất hiện ở Barrow, và nhất là bắt đầu từ Newton và Leibniz, do tích phân bất định đảm nhiệm mà gây tổn hại cho tích phân xác định: ở đây nữa, thế kỷ XIX đã phải đặt mọi sự trở lại đúng chỗ của chúng. Sau hết, khuynh hướng riêng Leibniz trong việc thao tác hình thức các ký hiệu tiếp tục được nhấn mạnh trong suốt toàn bộ thế kỷ XVIII, vượt rất xa điều mà các nguồn lực của giải tích thời ấy có thể cho phép. Đặc biệt, phải thừa nhận rằng khái niệm Leibniz về một vi phân, nói cho đúng, không có nghĩa gì cả; vào đầu thế kỷ XIX, nó rơi vào tình trạng mất tín nhiệm mà chỉ dần dần mới hồi phục; và, nếu việc dùng các vi phân bậc nhất cuối cùng đã được hợp thức hóa hoàn toàn, thì các vi phân cấp cao hơn, tuy rất hữu ích, cho đến ngày nay vẫn chưa thực sự được phục hồi danh dự.

Dù thế nào đi nữa, lịch sử của phép tính vi phân và tích phân, kể từ cuối thế kỷ XVII, được chia thành hai phần. Một phần liên quan đến các ứng dụng của phép tính này, ngày càng phong phú hơn, nhiều hơn và đa dạng hơn. Bên cạnh hình học vi phân của các đường cong phẳng, các phương trình vi phân, các chuỗi lũy thừa, phép tính biến phân, đã được nói đến ở trên, còn có thêm hình học vi phân của các đường cong bất kỳ, rồi của các mặt, các tích phân bội, các phương trình đạo hàm riêng, các chuỗi lượng giác, việc nghiên cứu nhiều hàm đặc biệt, và nhiều loại bài toán khác nữa. Ở đây, chúng tôi chỉ quan tâm đến các công trình đã góp phần làm sáng tỏ, đào sâu và củng cố chính những nguyên lý của phép tính vô cùng bé, xét trong phạm vi các hàm của một biến thực.

$^{16}$ Phần của chuyên luận này liên quan đến phép tính tích phân chỉ được công bố vào năm 1742 ([20 a], v. III, pp. 385-558 và [20 b]); phần liên quan đến phép tính vi phân chỉ mới được tìm lại và công bố gần đây [20 c]; đúng là vị hầu tước de l’Hôpital đã công bố nó bằng tiếng Pháp, có sửa đổi đôi chút, dưới tên riêng của mình, điều mà Bernoulli nhắc đến với phần nào cay đắng trong các thư ông gửi cho Leibniz.

Từ quan điểm này, các bộ chuyên luận lớn vào giữa thế kỷ XVII-I không đem lại nhiều điều mới. Maclaurin ở Anh $^{17}$ [214], Euler ở lục địa ([108 a], (1), vv. X đến XIII), vẫn trung thành với các truyền thống mà mỗi người là kẻ thừa hưởng. Đúng là người thứ nhất đã cố gắng làm sáng tỏ phần nào các khái niệm Newton $^{18}$ trong khi người thứ hai, đẩy chủ nghĩa hình thức Leibniz đến cực độ, cũng như Leibniz và Taylor, bằng lòng đặt phép tính vi phân trên một phép lấy giới hạn rất mơ hồ xuất phát từ phép tính sai phân, một phép tính mà ngẫu nhiên ông lại trình bày một cách rất trau chuốt. Nhưng trên hết Euler hoàn thành công trình của Leibniz bằng cách đưa vào và bảo đảm sự chấp nhận của ký hiệu hiện nay vẫn còn dùng cho $e, i$ và các hàm lượng giác, đồng thời phổ biến ký hiệu $\pi$ . Mặt khác, và tuy phần lớn thời gian ông không phân biệt giữa các hàm và các biểu thức giải tích, ông nhấn mạnh, nhân các chuỗi lượng giác và bài toán dây dao động, đến sự cần thiết không chỉ giới hạn ở các hàm được xác định như vậy (mà ông gọi là "liên tục") mà còn phải xét cả, nếu cần, các hàm tùy ý, hay "gián đoạn", được cho một cách thực nghiệm bởi một hay nhiều cung của một đường cong ([108 a], (1), v. XXIII, pp. 74-91). Sau cùng, mặc dù điều này hơi nằm ngoài khuôn khổ của chúng ta, không thể không nhắc ở đây đến việc ông mở rộng hàm mũ sang miền phức, từ đó ông thu được các công thức nổi tiếng nối hàm mũ với các hàm lượng giác, cũng như định nghĩa logarit của các số phức; từ đó người ta đã làm sáng tỏ một cách dứt khoát phép tương tự nổi tiếng giữa logarit và các hàm tròn nghịch đảo, hay, theo ngôn ngữ của thế kỷ XVII, giữa các phép cầu phương của đường tròn và của hyperbol, đã được Grégoire de St. Vincent nhận thấy, được Huygens và nhất là J. Gregory làm cho chính xác, và điều này, với Leibniz và Bernoulli, đã xuất hiện trong phép lấy nguyên hàm hình thức của

\frac{1}{1 + x^2} = \frac{i}{2(x + i)} - \frac{i}{2(x - i)}.

Trong khi đó d'Alembert, kẻ thù của mọi thứ huyền bí trong toán học cũng như ở nơi khác, đã, trong những bài báo đáng chú ý ([75 a], các mục DIFFÉRENTIEL và LIMITE, và [75 b]), định nghĩa với sự sáng sủa lớn nhất các khái niệm giới hạn và đạo hàm, và khẳng định mạnh mẽ rằng rốt cuộc đó là toàn bộ "siêu hình học" của phép tính vô cùng bé. Nhưng lời khuyên khôn ngoan này đã không có hiệu quả ngay lập tức nào. Công trình đồ sộ của Lagrange ([191], vv. IX-X) biểu hiện một cố gắng nhằm đặt giải tích trên một trong những khái niệm đáng tranh cãi nhất của Newton, khái niệm lẫn lộn các khái niệm hàm tùy ý và hàm có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa, và từ đó rút ra (bằng cách xét hệ số của số hạng bậc nhất

$^{17}$ Maclaurin là giáo sư tại Edinburgh ở Scotland (ghi chú của người dịch). $^{18}$ Thực vậy, các khái niệm ấy rất cần được bảo vệ chống lại những cuộc công kích triết học-thần học-khôi hài của vị giám mục nổi tiếng Berkeley. Theo ông, những ai tin vào các fluxion hẳn sẽ không thấy quá khó để có đức tin vào các mầu nhiệm của tôn giáo: một lập luận ad hominem, không thiếu logic cũng không thiếu cay thú.

trong chuỗi) khái niệm phép vi phân. Dĩ nhiên, một nhà toán học tầm cỡ như Lagrange không thể không thu được trong trường hợp này những kết quả quan trọng và hữu ích, chẳng hạn như (và theo một cách thực ra độc lập với điểm xuất phát mà chúng tôi vừa nêu) chứng minh tổng quát công thức Taylor cùng với biểu thức của số dư dưới dạng một tích phân, và việc ước lượng nó bằng định lý giá trị trung bình; dù sao đi nữa công trình của Lagrange là nguồn gốc của phương pháp Weierstrass trong lý thuyết các hàm của một biến phức, cũng như của lý thuyết đại số hiện đại về các chuỗi hình thức. Nhưng, từ quan điểm mục tiêu trực tiếp của nó, nó biểu hiện một sự thoái lui hơn là một bước tiến.

Trái lại, với các công trình giảng dạy của Cauchy ([56 a], (2), v. IV), cuối cùng chúng ta đứng trên nền đất vững chắc. Ông định nghĩa một hàm về cơ bản như chúng ta làm ngày nay, tuy vẫn bằng một ngôn ngữ còn khá mơ hồ. Khái niệm giới hạn, một khi đã được xác lập dứt khoát, được lấy làm điểm xuất phát; từ đó ngay lập tức suy ra các khái niệm hàm liên tục (theo nghĩa hiện đại) và đạo hàm, cũng như các tính chất sơ cấp chính của chúng; và sự tồn tại của đạo hàm, thay vì là một hành vi của đức tin, trở thành một đối tượng nghiên cứu bằng các phương pháp thông thường của giải tích. Nói đúng ra, Cauchy hầu như không quan tâm đến điều đó; và mặt khác, nếu Bolzano, khi về phần mình đạt tới cùng những nguyên lý ấy, đã xây dựng một ví dụ về một hàm liên tục không có đạo hàm tại bất kỳ điểm nào [27 a], thì ví dụ này đã không được công bố, và vấn đề chỉ được giải quyết công khai bởi Weierstrass, trong một công trình năm 1872 ([329 a], v. II, pp. 71-74).

Xét về phép tính nguyên, công trình của Cauchy biểu thị một sự trở lại với những truyền thống lành mạnh của thời cổ đại và nửa đầu thế kỷ XVII, nhưng dựa trên những phương tiện kỹ thuật còn chưa đủ. Tích phân xác định, bị đẩy xuống hàng thứ yếu quá lâu, lại trở thành khái niệm nguyên sơ, mà đối với nó Cauchy bảo đảm sự chấp nhận dứt khoát ký hiệu $\int_a^b f(x) dx$ do Fourier đề nghị (thay cho ký hiệu vụng về $\int f(x) dx \left[ \begin{array}{l} x = a \\ x = b \end{array} \right]$ ) đôi khi được Euler dùng); và, để định nghĩa nó, Cauchy trở lại với phương pháp vét kiệt, hay như ngày nay ta sẽ nói, với các "tổng Riemann" (mà đúng hơn nên gọi là các tổng của Archimedes, hay các tổng của Eudoxus). Đúng là thế kỷ XVII đã không thấy cần phải đem khái niệm diện tích ra khảo sát một cách phê phán, một ý tưởng mà đối với họ dường như ít nhất cũng rõ ràng như ý tưởng về số thực vô tỷ; nhưng sự hội tụ của các tổng "Riemann" về diện tích dưới đường cong, chừng nào còn là trường hợp một đường cong đơn điệu hay từng khúc đơn điệu, là một ý tưởng quen thuộc với mọi tác giả quan tâm đến tính chặt chẽ trong thế kỷ XVII, như Fermat, Pascal, Barrow; và đặc biệt J. Gregory, được chuẩn bị rất kỹ bởi những suy nghĩ của ông về sự chuyển sang giới hạn và bởi sự quen thuộc của ông với một dạng đã rất trừu tượng của nguyên lý "các khoảng lồng nhau", dường như thậm chí đã viết ra một chứng minh cẩn thận, nhưng vẫn không được công bố ([136 d], pp. 445-446), chứng minh ấy hẳn đã có thể gần như dùng nguyên vẹn cho Cauchy nếu ông biết đến nó. $^{19}$ Đáng tiếc cho ông, Cauchy đã tự cho là chứng minh được sự tồn tại của tích phân, nghĩa là sự hội tụ của các "tổng Riemann", đối với một hàm liên tục tùy ý; và chứng minh của ông, vốn sẽ trở thành đúng nếu nó dựa trên định lý về tính liên tục đều của các hàm liên tục trên một khoảng đóng, lại mất hết giá trị thuyết phục vì thiếu khái niệm ấy. Dirichlet dường như cũng không thấy khó khăn này vào lúc ông viết những hồi ký nổi tiếng của mình về các chuỗi lượng giác, vì ở đó ông dẫn định lý đang nói tới như là "dễ chứng minh" ([92], v. I, p. 136); đúng là rốt cuộc ông chỉ áp dụng nó cho các hàm bị chặn từng khúc đơn điệu; Riemann, thận trọng hơn, chỉ nhắc đến những hàm sau này khi cần dùng điều kiện cần và đủ của ông cho sự hội tụ của các "tổng Riemann" ([259 a], pp. 227-271). Một khi định lý về tính liên tục đều đã được Heine thiết lập (xem p. 145), thì dĩ nhiên vấn đề không còn gây khó khăn gì nữa; và Darboux đã xử lý nó dễ dàng năm 1875 trong hồi ký của ông về phép tính nguyên các hàm gián đoạn [77], một hồi ký trong đó ông gặp, trên nhiều điểm, những nghiên cứu quan trọng của P. du Bois-Reymond, xuất hiện vào khoảng cùng thời gian. Cũng theo cách ấy, lần đầu tiên, nhưng lần này là dứt khoát, tính tuyến tính của tích phân của các hàm liên tục được chứng minh. Mặt khác, khái niệm hội tụ đều của một dãy hay chuỗi, được đưa vào bởi Seidel vào năm 1848 cùng với những người khác, và được đặc biệt làm nổi bật bởi Weierstrass (xem p. 205), đã cho phép phép dựng một cơ sở vững chắc, tuy đúng là với những điều kiện có phần quá chặt, cho việc lấy tích phân từng số hạng của chuỗi, và cho việc vi phân dưới dấu $\int$ , trong khi chờ đợi các lý thuyết hiện đại mà ở đây chúng tôi không phải nói tới, và những lý thuyết ấy sẽ làm sáng tỏ các vấn đề này theo một cách tạm thời là dứt khoát.

Như vậy chúng ta đã đạt tới giai đoạn cuối cùng của phép tính vi tích phân cổ điển, giai đoạn được biểu thị bởi các Bộ chuyên khảo lớn về Giải tích cuối thế kỷ XIX; theo quan điểm làm chúng ta quan tâm ở đây, bộ của Jordan [174 c] chiếm trong số đó một vị trí nổi bật hơn cả, một phần vì những lý do thẩm mỹ, nhưng cũng vì, nếu nó là một sự trình bày đáng khâm phục các kết quả của giải tích cổ điển, thì bằng nhiều mặt nó báo trước giải tích hiện đại và chuẩn bị con đường cho giải tích ấy.

$^{19}$ Ít ra đó là điều được chỉ ra bởi bản tóm lược mà Turnbull đưa ra từ bản thảo.