15. Nombres complexes. Mesure des angles

Nous ne reprendrons pas ici l’exposé complet du développement historique de la théorie des nombres complexes ou de celle des quaternions, ces théories étant essentiellement du ressort de l’Algèbre (voir p. 96 et 84) ; mais nous dirons quelques mots de la représentation géométrique des imaginaires, qui à beaucoup d’égards constitue un progrès décisif dans l’histoire des Mathématiques.

C’est à C. F. Gauss que revient sans conteste la première conception claire de la correspondance biunivoque entre nombres complexes et points du plan *, et surtout le mérite d’avoir su le premier appliquer cette idée à la théorie des nombres complexes, et d’avoir entrevu nettement tout le parti qu’allaient en tirer les analystes du xixe siècle. Au cours des xviiie et xviiiie siècles, les mathématiciens étaient peu à peu parvenus à la conviction que les nombres imaginaires, qui permettaient la résolution des équations du 2e degré, permettaient aussi de résoudre les équations algébriques de degré quelconque. De nombreux essais de démonstration de ce théorème avaient été publiés au cours du xviiiie siècle ; mais, sans même parler de ceux qui ne reposaient que sur un cercle vicieux, il n’en était aucun qui ne prêtât flanc à de sérieuses objections. Gauss, après un examen détaillé de ces tentatives et une critique serrée de leurs lacunes, se propose, dans sa Dissertation inaugurale (écrite en 1797, parue en 1799), de donner enfin une démonstration rigoureuse ; reprenant une idée émise en passant par d’Alembert (dans la démonstration publiée par ce dernier

\* Le premier qui ait eu l’idée d’une semblable correspondance est sans doute Wallis, dans son Traité d’Algèbre publié en 1685 ; mais ses idées sur ce point restèrent confuses, et n’exercèrent pas d’influence sur les contemporains.

en 1746 *, il remarque que les points $(a, b)$ du plan tels que $a + ib$ soit racine du polynome $P(x + iy) = X(x, y) + iY(x, y)$, sont les intersections des courbes $X = 0$ et $Y = 0$; par une étude qualitative de ces courbes, il montre alors qu’un arc continu de l’une d’elles joint des points de deux régions distinctes limitées par l’autre, et en conclut que les courbes se rencontrent ([124 a], t. III, p. 3; voir aussi [124 b]) : démonstration qui, par sa clarté et son originalité, constitue un progrès considérable sur les tentatives antérieures, et est sans doute un des premiers exemples d’un raisonnement de pure Topologie appliqué à un problème d’Algèbre **.

Dans sa Dissertation, Gauss ne définit pas explicitement la correspondance entre points du plan et nombres imaginaires ; à l’égard de ces derniers, et des questions d’« existence » qu’ils soulevaient depuis deux siècles, il adopte même une position assez réservée, présentant intentionnellement tous ses raisonnements sous une forme où n’entrent que des quantités réelles. Mais la marche des idées de sa démonstration serait entièrement inintelligible si elle ne présupposait une identification pleinement consciente des points du plan et des nombres complexes ; et ses recherches contemporaines sur la théorie des nombres et les fonctions elliptiques, où interviennent aussi les nombres complexes, ne font que renforcer cette hypothèse. À quel point la conception géométrique des imaginaires lui était devenue familière, et à quels résultats elle pouvait conduire entre ses mains, c’est ce que montrent clairement les notes (publiées seulement de nos jours) où il applique les nombres complexes à la résolution de problèmes de Géométrie élémentaire ([124 a], t. IV, p. 396 et t. VIII, p. 307). Plus explicite encore est la lettre à Bessel de 1811 ([124 a], t. VIII, p. 90-91), où il esquisse l’essentiel de la théorie de l’intégration des fonctions de variable complexe : « De même », dit-il, « qu’on

\* Cette démonstration (où d’Alembert ne tire d’ailleurs aucun parti de la remarque qui sert de point de départ à Gauss) est la première en date qui ne se réduise pas à une grossière pétition de principes. Gauss, qui en critique justement les points faibles, ne laisse pas cependant de reconnaître la valeur de l’idée fondamentale de d’Alembert : « le véritable nerf de la démonstration », dit-il, « ne me semble pas affecté par toutes ces objections » ([124 a], t. III, p. 11); un peu plus loin, il esquisse une méthode pour rendre rigoureux le raisonnement de d’Alembert ; c’est déjà, à peu de choses près, le raisonnement de Cauchy dans une de ses démonstrations du même théorème. ** Gauss a publié en tout quatre démonstrations du « théorème de d’Alembert-Gauss » ; la dernière est une variante de la première, et, comme celle-ci, fait appel aux propriétés topologiques intuitives du plan ; mais la seconde et la troisième reposent sur des principes tout à fait différents (voir p. 118).

peut se représenter tout le domaine des quantités réelles au moyen d'une ligne droite indéfinie, de même on peut se figurer (« sinnlich machen ») le domaine complet de toutes les quantités, les réelles et les imaginaires, au moyen d'un plan indéfini, où chaque point, déterminé par son abscisse $a$ et son ordonnée $b$, représente en même temps la quantité $a + ib$. Le passage continu d'une valeur de $x$ à une autre se fait par conséquent suivant une ligne, et peut donc s'effectuer d'une infinité de manières... »

Mais ce n'est qu'en 1831 que Gauss (à propos de l'introduction des « nombres de Gauss » $a + ib$, où $a$ et $b$ sont entiers) exposa publiquement ses idées sur ce point d'une manière aussi nette ([124 a], t. II, Theoria Residuorum Biquadraticorum, Commentatio secunda, art. 38, p. 109, et Anzeige, p. 174 et suiv.). Dans l'intervalle, l'idée de la représentation géométrique des imaginaires avait été retrouvée indépendamment par deux modestes chercheurs, tous deux mathématiciens amateurs, plus ou moins autodidactes, et dont ce fut la seule contribution à la science, tous deux aussi sans grand contact avec les milieux scientifiques de leur temps. De ce fait, leurs travaux risquaient fort de passer totalement inaperçus ; c'est précisément ce qui se produisit pour le premier en date, le Danois C. Wessel, dont l'opuscule, paru en 1798, très clairement conçu et rédigé, ne fut tiré de l'oubli qu'un siècle plus tard ; et la même mésaventure faillit arriver au second, le Suisse J. Argand, qui ne dut qu'à un hasard de voir, en 1813, exhumer l'ouvrage qu'il avait publié sept ans auparavant *. Cet ouvrage provoqua une active discussion dans les Annales de Gergonne, et la question fit l'objet, en France et en Angleterre, de plusieurs publications (dues à des auteurs assez obscurs) entre 1820 et 1830 ; mais il manquait l'autorité d'un grand nom pour mettre fin à ces controverses et rallier les mathématiciens au nouveau point de vue ; et il fallut attendre jusque vers le milieu du siècle pour que la représentation géométrique des imaginaires fût enfin universellement adoptée, à la suite des publications de Gauss (citées plus haut) en Allemagne, des travaux de Hamilton et Cayley sur les systèmes hypercomplexes, en Angleterre, et enfin, en France, de l'adhésion de

\* A l'opposé de Gauss, Wessel et Argand sont plus préoccupés de justifier les calculs sur les nombres complexes, que de faire servir à de nouvelles recherches la représentation géométrique qu'ils proposent ; Wessel n'en indique aucune application, et la seule qu'en donne Argand est une démonstration du théorème de d'Alembert-Gauss, qui n'est guère qu'une variante de la démonstration de d'Alembert, et prête aux mêmes objections.

Cauchy *, quelques années seulement avant que Riemann, par une extension géniale, vînt encore élargir le rôle de la Géométrie dans la théorie des fonctions analytiques, et créer du même coup la Topologie.

La mesure des angles, par les arcs qu’ils découpent sur un cercle, est aussi ancienne que la notion d’angle elle-même, et est déjà connue des Babyloniens, dont nous avons conservé l’unité d’angle, le degré ; il n’est d’ailleurs question chez eux que de mesures d’angles comprises entre 0 et 360°, ce qui leur suffisait, puisque les angles leur servaient avant tout à repérer les positions d’objets célestes en des points déterminés de leurs trajectoires apparentes, et à en dresser des tables pour servir à des fins scientifiques ou astrologiques.

Chez les géomètres grecs de l’époque classique, la définition de l’angle (Eucl. El., I, déf. 8 et 9) est encore plus restreinte, puisqu’elle ne s’applique qu’aux angles inférieurs à deux droits ; et comme d’autre part leur théorie des rapports et de la mesure reposait sur la comparaison de multiples arbitrairement grands des grandeurs mesurées, les angles ne pouvaient être pour eux une grandeur mesurable, bien qu’on trouve naturellement chez eux les notions d’angles égaux, d’angles plus grands ou plus petits l’un que l’autre, et de la somme de deux angles quand cette somme ne dépasse pas deux droits. De même que l’addition des fractions, la mesure des angles a donc dû être à leurs yeux un procédé empirique sans valeur scientifique. Ce point de vue est bien illustré par l’admirable mémoire d’Archimède sur les spirales ([5 b], t. II, p. 1-12), où, faute de pouvoir définir celles-ci par la proportionnalité du rayon vecteur à l’angle, il en donne une définition cinématique (déf. 1, p. 44 ; cf. l’énoncé de la prop. 12, p. 46) d’où il réussit à tirer, comme le montre la suite de son ouvrage, tout ce que la notion générale de mesure des angles lui aurait donné s’il l’eût possédée. Quant aux astronomes grecs, ils semblent, sur ce point comme sur bien d’autres, s’être contentés de suivre leurs prédécesseurs babyloniens.

Ici aussi, comme dans l’évolution du concept de nombre réel (cf. p. 188), le relâchement de l’esprit de rigueur, au cours de la décadence de la science grecque, amène le retour au point de vue « naïf », qui à certains égards, se rapproche plus du nôtre que la rigide concep-

• Dans ses premiers travaux sur les intégrales de fonctions de variables complexes (entre 1814 et 1826), Cauchy considère les nombres complexes comme des expressions « symboliques » et ne les identifie pas aux points du plan ; ce qui ne l’empêche pas d’associer constamment au nombre $x + iy$ le point $(x, y)$ et d’utiliser librement le langage de la Géométrie à ce propos.

tion euclidienne. C'est ainsi qu'un interpolateur mal avisé insère dans Euclide la fameuse proposition (Eucl. El., VI, 33) : « Les angles sont proportionnels aux arcs qu’ils découpent sur un cercle » *, et un scholiaste anonyme qui commente la « démonstration » de cette proposition n’hésite pas à introduire, sans aucune justification bien entendu, des arcs égaux à des multiples arbitrairement grands d’une circonférence, et les angles correspondant à ces arcs ([107], t. V, p. 357). Mais Viète même, au xvie siècle, tout en paraissant toucher à notre conception moderne de l’angle lorsqu’il découvre que l’équation sin $nx = \sin \alpha$ possède plusieurs racines, n’obtient que les racines qui correspondent à des angles inférieurs à 2 droits ([319], p. 305-313). C’est seulement au xviie siècle que ce point de vue est dépassé d’une manière définitive ; et, après que la découverte par Newton des développements en série de sin $x$ et cos $x$ eut fourni des expressions de ces fonctions, valables pour toutes les valeurs de la variable, on trouve enfin chez Euler, à propos de logarithmes des nombres « imaginaires », la conception précise de la notion de mesure d’un angle quelconque ([108 a], (1), t. XVII, p. 220).

Bien entendu, la définition classique de la mesure d’un angle par la longueur d’un arc de cercle est non seulement intuitive, mais essentiellement correcte ; toutefois, elle exige, pour être rendue rigoureuse, la notion de longueur d’une courbe, c’est-à-dire le Calcul intégral. Du point de vue des structures qui entrent en jeu, c’est là un procédé très détourné, et il est possible de ne pas utiliser d’autres moyens que ceux de la théorie des groupes topologiques ; l’exponentielle réelle et l’exponentielle complexe apparaissent ainsi comme découlant d’une même source, le théorème caractérisant les « groupes à un paramètre ».

• Qu’il s’agisse bien d’une interpolation, c’est ce que met hors de doute l’absurdité de la démonstration, maladroitement calquée sur les paradigmes classiques de la méthode d’Eudoxe ; il est visible d’ailleurs que ce résultat n’a rien à faire à la fin du Livre VI. Il est piquant de voir Théon, au ive siècle de notre ère, se faire naïvement un mérite d’avoir greffé, sur cette interpolation, une autre où il prétend prouver que « les aires des secteurs d’un cercle sont proportionnelles à leurs angles au centre » ([107], t. V, p. 24), et cela six siècles après la détermination par Archimède de l’aire des secteurs de spirales.