14. Espaces à n dimensions

Nous avons eu déjà l’occasion de dire comment le développement de la Géométrie analytique du plan et de l’espace conduisit les mathématiciens à introduire la notion d’espace à $n$ dimensions, qui leur fournissait un langage géométrique extrêmement commode pour exprimer de façon concise et simple les théorèmes d’algèbre concernant des équations à un nombre quelconque de variables, et notamment tous les résultats généraux de l’Algèbre linéaire (voir p. 84). Mais si, vers le milieu du xixe siècle, ce langage était devenu courant chez de nombreux géomètres, il restait purement conventionnel, et l’absence d’une représentation « intuitive » des espaces à plus de trois dimensions semblait interdire dans ces derniers les raisonnements « par continuité » qu’on se permettait dans le plan ou dans l’espace en se fondant exclusivement sur l’« intuition ». C’est Riemann qui le premier, dans ses recherches sur l’Analysis situs et sur les fondements de la Géométrie, s’enhardit à raisonner de la sorte par analogie avec le cas de l’espace à trois dimensions (voir p. 176)* ; à sa suite, de nombreux mathématiciens se mirent à utiliser, avec un grand succès, des raisonnements de cette nature, notamment dans la théorie des fonctions algébriques de plusieurs variables complexes. Mais le contrôle de l’intuition spatiale étant alors très limité, on pouvait à bon droit rester sceptique quant à la valeur démonstrative de pareilles considérations, et ne les admettre qu’à titre purement heuristique, en tant qu’elles rendaient très plausible l’exactitude de certains théorèmes. C’est ainsi que H. Poincaré, dans son mémoire de 1887 sur les résidus des intégrales doubles de fonctions de deux variables complexes, évite autant qu’il le peut tout recours à l’intuition dans

\* Voir aussi les travaux de L. Schlafli ([273], t. I, p. 169-387), datant de la même époque, mais qui ne furent publiés qu’au xxe siècle.

l’espace à quatre dimensions : « Comme cette langue hypergéométrique répugne encore à beaucoup de bons esprits », dit-il, « je n’en ferai qu’un usage peu fréquent » ; les « artifices » qu’il emploie à cette fin lui permettent de se ramener à des raisonnements topologiques dans l’espace à trois dimensions, où il n’hésite plus alors à faire appel à l’intuition ([25/ a], t. III p., 443 et suiv.).

Par ailleurs, les découvertes de Cantor, et notamment le célèbre théorème établissant que $\mathbf{R}$ et $\mathbf{R}^n$ sont équipotents (qui semblait mettre en cause la notion même de dimension)*, montraient qu’il était indispensable, pour asseoir sur une base solide les raisonnements de Géométrie et de Topologie, de les libérer entièrement de tout recours à l’intuition. Nous avons déjà dit (cf. voir p. 175) que ce besoin est à l’origine de la conception moderne de la Topologie générale ; mais avant même la création de cette dernière, on avait commencé à étudier de façon rigoureuse la topologie des espaces numériques et de leurs généralisations les plus immédiates (les « variétés à $n$ dimensions ») par des méthodes relevant surtout de la branche de la Topologie dite « Topologie combinatoire » ou mieux « Topologie algébrique », dont nous ne pouvons parler ici.

\* Il est intéressant de noter que, dès qu’il avait eu connaissance de ce résultat, Dedekind avait compris la raison de son apparence si paradoxale, et signalé à Cantor que l’on devait pouvoir démontrer l’impossibilité d’une correspondance biunivoque et bicontinue entre $\mathbf{R}^m$ et $\mathbf{R}^n$ pour $m \neq n$ ([48], p. 37-38).