En effet, pour tout $x \in X$ tel que $f(x) > 0$, et pour tout nombre réel fini $a$ tel que $0 < a < f(x)$, il existe par hypothèse un voisinage compact V de x tel que $f(y) \geq a$ dans V; d’autre part, il existe une fonction $g \in \mathscr{K}_+$, de support contenu dans V, égale à $a$ au point $x$ et $\leq a$ dans V (Top. gén., chap. IX, § 1, n° 5, th. 2); on a donc $0 \leq g \leq f$ et $g(x) \geq a$, ce qui démontre le lemme.

(1)

Les démonstrations sont immédiates à partir de la déf. 1.

(2)

Posons $f = \sup_{g \in H} g$. Nous démontrerons d’abord le théorème dans le cas particulier où les fonctions $g \in H$ et leur enveloppe supérieure $f$ appartiennent à $\mathscr{K}_+$. Il résulte alors du th. de Dini (Top. gén., chap. X, 2e éd., § 4, n° 1, th. 1) que le filtre des sections de H converge uniformément vers $f$ dans toute partie compacte de X, et en particulier dans le support K de $f$. Comme $0 \leq g \leq f$ pour toute fonction $g \in H$, le support de toute fonction de H est contenu dans K ; mais par définition $\mu$ est continue dans l’espace vectoriel $\mathscr{K}(X, K; \mathbf{C})$ des fonctions continues à support contenu dans K, pour la topologie de la convergence uniforme ; d’où la relation (2) dans ce cas.

Passons au cas général. Il est clair que $\mu^*(g) \leq \mu^*(f)$ pour toute fonction $g \in H$. D’après la déf. 1, tout revient à montrer que, pour toute fonction $\psi \in \mathscr{K}_+$ telle que $\psi \leq f$, on a

Pour toute fonction $g \in H$, soit $\Phi_g$ l’ensemble des fonctions $\varphi \in \mathscr{K}_+$ telles que $\varphi \leq g$, et soit $\Phi$ la réunion des ensembles $\Phi_g$ lorsque g parcourt H ; comme H est filtrant, il en est de même de $\Phi$, et on a $f = \sup_{\varphi \in \Phi} \varphi$. Comme $\psi \leq f$, $\psi$ est l’enveloppe supérieure de l’ensemble des fonctions $\inf (\psi, \varphi)$ lorsque $\varphi$ parcourt $\Phi$ ; mais comme $\psi$ et les fonctions $\inf (\psi, \varphi)$ appartiennent à $\mathscr{K}_+$, la première partie de la démonstration prouve que $\mu(\psi) = \sup_{\varphi \in \Phi} \mu(\inf(\psi, \varphi))$. Or, chaque $\varphi \in \Phi$ appartient à un ensemble $\Phi_g$, donc

d’où l’on déduit aussitôt que $\mu(\psi) \leq \sup_{g \in H} \mu^*(g)$. Nous avons donc prouvé que $\mu^*(f) = \sup_{g \in H} \mu^*(g)$; la relation $\mu^*(f) = \lim_{g \in H} \mu^*(g)$ est alors une conséquence du théorème de la limite monotone (Top. gén., chap. IV, § 5, n° 2, th. 2).

(3)

En effet, lorsque $\varphi_1$ (resp. $\varphi_2$) parcourt l’ensemble des fonctions de $\mathscr{K}_+$ telles que $\varphi_1 \leq f_1$ (resp. $\varphi_2 \leq f_2$), les fonctions $\varphi_1 + \varphi_2$ forment un ensemble filtrant (pour $\leq$) dont l’enveloppe supérieure est $f_1 + f_2$. En vertu du th. 1, on a donc

$(\varphi_1, \varphi_2)$ parcourant l’ensemble des couples de fonctions de $\mathscr{K}_+$ telles que $\varphi_1 \leq f_1$ et $\varphi_2 \leq f_2$; comme on a

(Top. gén., chap. IV, § 5, n° 7, cor. 2 de la prop. 12), le théorème est démontré.

En effet, pour toute partie finie $J$ de $I$, il résulte du th. 2 (par récurrence sur le nombre d’éléments de $J$) que $\mu^*\left( \sum_{i \in J} f_i \right) = \sum_{i \in J} \mu^*(f_i)$; lorsque $J$ parcourt l’ensemble des parties finies de $I$, les fonctions $g_J = \sum_{i \in J} f_i$ appartiennent à $\mathscr{I}_+$ et forment un ensemble filtrant pour la relation $\leq$, dont l’enveloppe supérieure est la fonction $\sum_{i \in I} f_i$; la proposition résulte donc du th. 1.

En effet, cette application est par définition l’enveloppe supérieure des applications $\mu \mapsto \mu(g)$, où $g$ parcourt l’ensemble des fonctions de $\mathscr{K}_+$ telles que $g \leq f$; et par définition de la topologie vague, les applications $\mu \mapsto \mu(g)$ sont continues dans $\mathscr{M}(X)$.

En effet, il existe alors une fonction $f \in \mathscr{K}_+$ telle que $\varphi_G \leqslant f$ (chap. III, § 1, n° 2, lemme 1), d’où

En effet, la relation $G_1 \subset G_2$ équivaut à $\varphi_{G_1} \leqslant \varphi_{G_2}$.

On notera en particulier que si $G$ est un ensemble ouvert dans $\mathbf{R}$ tel que $\mu^*(G) = 0$, $G$ est vide.

En effet, pour toute fonction $h_1 \in \mathscr{I}_+$ telle que $f_1 \leq h_1$ et toute fonction $h_2 \in \mathscr{I}_+$ telle que $f_2 \leq h_2$, on a, en vertu du th. 2,

d’où (Top. gén., chap. IV, § 5, n° 7, cor. 2 de la prop. 12)

ce qui n’est autre que l’inégalité (9).

Les prop. 10, 11 et 12 expriment que $\mu^*$ est une fonction croissante, positivement homogène et convexe dans l’ensemble des fonctions numériques $\geq 0$ définies dans $X$ (chap. I, n° 1). On notera que si $f_1$ et $f_2$ sont deux fonctions positives quelconques, les deux membres de (9) ne sont pas nécessairement égaux (§ 4, exerc. 8 d)); nous donnerons au § 5, n° 6 des conditions moyennant lesquelles l’égalité a lieu.

Comme chacune des fonctions $f_n$ est au plus égale à $\sup_n f_n$, tout revient à prouver que $\mu^*(\sup_n f_n) \leqslant \sup_n \mu^*(f_n)$; c’est évident si le second membre de cette inégalité est $+\infty$. Dans le cas contraire, on a $\mu^*(f_n) < +\infty$ pour tout $n$; nous allons montrer que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une suite croissante $(g_n)$ de fonctions de $\mathscr{I}_+$ telle que $f_n \leqslant g_n$ et que $\mu^*(g_n) \leqslant \mu^*(f_n) + \varepsilon$. Si $g$ est l’enveloppe supérieure de la suite $(g_n)$, on aura $\mu^*(g) = \sup_n \mu^*(g_n)$ (n° 1, th. 1), d’où $\mu^*(g) \leqslant \sup \mu^*(f_n) + \varepsilon$; comme $\sup f_n \leqslant g$ et que $\varepsilon$ est arbitraire, le théorème sera démontré.

Par hypothèse, il existe une fonction $h_n \in \mathscr{I}_+$ telle que $f_n \leqslant h_n$ et que $\mu^*(f_n) \leqslant \mu^*(h_n) \leqslant \mu^*(f_n) + \frac{\varepsilon}{2^n}$; montrons que les fonctions $g_n = \sup(h_1, h_2, \ldots, h_n)$ répondent à la question. Elles appartiennent à $\mathscr{I}_+$, forment une suite croissante, et l’on a $f_n \leqslant g_n$ pour tout $n$; nous allons prouver qu’on a

Raisonnons par récurrence sur $n$; le cas $n = 1$ est trivial. On a d’autre part $g_{n+1} = \sup(g_n, h_{n+1})$, $g_n \geqslant f_n$ et $h_{n+1} \geqslant f_{n+1} \geqslant f_n$, d’où $\inf(g_n, h_{n+1}) \geqslant f_n$; comme on a

il résulte du th. 2 du n° 1 que

C.Q.F.D.

En effet, pour tout entier $n$, posons $g_n = \inf_{p \geq 0} f_{n+p}$; la suite $(g_n)$ est croissante, et l’on a $\lim . \inf f_n = \sup_{n \to \infty} g_n$, d’où, en vertu de (10),

En effet, si $f_0$ est la fonction constante égale à $+\infty$, $f_0$ est l’enveloppe supérieure de toutes les fonctions de $\mathscr{K}_+$, et comme $\mu \neq 0$, on a $\mu^*(f_0) > 0$; mais comme $f_0 = \alpha f_0$ pour tout $\alpha > 0$, on a nécessairement $\mu^*(f_0) = +\infty$ (prop. 11). L’inégalité (13) montre alors que $\mu^*(f_n)$ tend vers $+\infty$ avec $n$.

Démontrons la relation (15). Posons $\lambda = \mu + \nu$; on a donc $\lambda(f) = \mu(f) + \nu(f)$ pour $f \in \mathscr{K}_+$; pour $f \in \mathscr{J}_+$, la valeur de $\lambda^*(f)$ (resp. $\mu^*(f)$, $\nu^*(f)$) est la limite de $\lambda(g)$ (resp. $\mu(g)$, $\nu(g)$) lorsque $g$ parcourt l’ensemble filtrant (pour $\leq$) des $g \in \mathscr{K}_+$ telles que $g \leq f$; on a donc $\lambda^*(f) = \mu^*(f) + \nu^*(f)$. Enfin, si $f$ est une fonction $\geq 0$ quelconque définie dans $X$, $\lambda^*(f)$ (resp. $\mu^*(f)$, $\nu^*(f)$) est la limite de $\lambda^*(h)$ (resp. $\mu^*(h)$, $\nu^*(h)$) lorsque $h$ parcourt l’ensemble filtrant (pour $\geq$) des fonctions $h \in \mathscr{J}_+$ telles que $h \geq f$; on a donc encore, par passage à la limite, $\lambda^*(f) = \mu^*(f) + \nu^*(f)$, ce qui démontre (15). On établit de même la relation (14). Enfin, si $\mu \leq \nu$, on peut écrire $\nu = \mu + (\nu - \mu)$, où $\nu - \mu \geq 0$, donc $\nu^* = \mu^* + (\nu - \mu)^*$, ce qui montre que $\mu^* \leq \nu^*$.