§ 2. Fonctions et ensembles négligeables

1. Fonctions positives négligeables

Définition 1

Etant donnée une mesure $\mu$ sur un espace localement compact X, on dit qu’une fonction numérique $f \geq 0$ (finie ou non) définie dans X est négligeable pour la mesure $\mu$ si l’on a $|\mu|^*(f) = 0$ .

On dit aussi alors que $f$ est $\mu$ -négligeable, ou simplement négligeable si aucune confusion n’en résulte.

Proposition 1

Si $f$ est une fonction négligeable $\geqslant 0$ , toute fonction numérique $g$ telle que $0 \leqslant g \leqslant \alpha f$ ( $\alpha$ scalaire $> 0$ ) est négligeable.* En effet, on a $0 \leqslant |\mu|^*(g) \leqslant \alpha|\mu|^*(f) = 0$ .

Proposition 2

La somme et l’enveloppe supérieure d’une suite $(f_n)$ de fonctions négligeables $\geqslant 0$ sont négligeables.* En effet, on a $|\mu|^*\left( \sum_n f_n \right) \leqslant \sum_n |\mu|^*(f_n) = 0$ ( $§ 1$ , no 3, prop. 13) et $\sup_n f_n \leqslant \sum_n f_n$ .

Proposition 3

Pour qu’une fonction $f \geqslant 0$ , semi-continue inférieurement dans $X$ , soit négligeable, il faut et il suffit que $f$ soit nulle dans le support de $\mu$ .* En effet, si $|\mu|^*(f) = 0$ , on a $|\mu|(g) = 0$ pour toute fonction $g \in \mathscr{K}_+$ telle que $g \leqslant f$ ; il en résulte (chap. III, $§ 2$ , no 3, prop. 9) que $g$ est nulle dans le support $S$ de $\mu$ ; comme $f$ est l’enveloppe supérieure des fonctions $g \in \mathscr{K}_+$ telles que $g \leqslant f$ ( $§ 1$ , no 1, lemme 1), on a $f(x) = 0$ dans $S$ . Réciproquement, si $f(x) = 0$ dans $S$ , on a $g(x) = 0$ dans $S$ pour toute fonction $g \in \mathscr{K}_+$ telle que $g \leqslant f$ , et par suite (chap. III, $§ 3$ , no 3, prop. 8) $|\mu|(g) = 0$ , ce qui, par définition, entraîne $|\mu|^*(f) = 0$ .

2. Ensembles négligeables

Définition 2

Etant donnée une mesure $\mu$ sur un espace localement compact $X$ , on dit qu’une partie $A$ de $X$ est négligeable pour la mesure $\mu$ si $|\mu|^*(A) = 0$ .* On dit encore que $A$ est $\mu$ -négligeable, ou simplement négligeable si aucune confusion n’en résulte. Il revient au même de dire que la fonction caractéristique $\varphi_A$ est négligeable.

Proposition 4

Toute partie d’un ensemble négligeable est négligeable ; toute réunion dénombrable d’ensembles négligeables est négligeables.* C’est une conséquence immédiate des prop. 1 et 2.

Exemple

Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}$ . Tout ensemble $\{ x_0 \}$ réduit à un point est négligeable (cf. $§ 1$ , no 3, Remarque 1). Il en résulte que toute partie dénombrable de $\mathbf{R}$ est négligeable pour la mesure de Lebesgue. La réciproque de cette proposition est inexacte ( $§ 4$ , exerc. 4 b)).

Proposition 5

Le complémentaire du support S de $\mu$ est le plus grand ensemble ouvert négligeable dans X.

En effet, d’après la prop. 3, pour qu’un ensemble ouvert G soit négligeable, il faut et il suffit que $G \cap S = \varnothing$ , c’est-à-dire $G \subset \complement S$ .

3. Propriétés vraies presque partout

Soient X un espace localement compact, $\mu$ une mesure sur X. Si $P\{x\}$ est une propriété, la propriété « $P\{x\}$ presque partout (par rapport à $\mu$ ) » est par définition équivalente à la propriété « l’ensemble des x tels que $(x \in X \text{ et non } P\{x\})$ est $\mu$ -négligeable ».

Théorème 1

Pour qu’une fonction numérique (finie ou non) $f \geqslant 0$ définie dans X soit négligeable, il faut et il suffit que $f(x) = 0$ presque partout.

La condition est nécessaire. En effet, supposons que $f$ soit négligeable, et soit N l’ensemble des $x \in X$ tels que $f(x) \neq 0$ ; on a $\varphi_N \leqslant \sup_n (n f)$ , donc $\varphi_N$ est négligeable (n° 1, prop. 1 et 2).

La condition est suffisante. Supposons en effet que l’ensemble N des points où $f(x) \neq 0$ soit négligeable ; on a alors $f \leqslant \sup_n n \varphi_N$ , donc $f$ est négligeable (n° 1, prop. 1 et 2).

Proposition 6

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions $\geqslant 0$ (finies ou non) définies dans X et telles que $f(x) = g(x)$ presque partout, on a $|\mu|^*(f) = |\mu|^*(g)$ .

En effet, soit N l’ensemble négligeable des points $x \in X$ tels que $f(x) \neq g(x)$ . Les fonctions $\inf(f, g)$ et $\sup(f, g)$ étant égales sauf aux points de N, il suffit de démontrer la proposition lorsque $f \leqslant g$ . Soit $h$ la fonction égale à $+ \infty$ aux points de N, à 0 dans $\complement N$ ; on a $f \leqslant g \leqslant f + h$ , d’où

|\mu|^*(f) \leqslant |\mu|^*(g) \leqslant |\mu|^*(f + h) \leqslant |\mu|^*(f) + |\mu|^*(h) = |\mu|^*(f)

(puisque $h$ est négligeable), d’où la proposition.

Proposition 7

Si $f$ est une fonction $\geqslant 0$ définie dans X et telle que $|\mu|^*(f) < +\infty$ , $f(x)$ est fini presque partout.

En effet, soit N l’ensemble des points $x \in X$ tels que f(x) = +\infty ; pour tout entier n, on a n\varphi_N \leq f, d’où n|\mu|^*(\varphi_N) \leq |\mu|^*(f); comme n est arbitrairement grand, on a |\mu|^*(\mathbf{N}) = 0.

Par contre, même lorsque X est compact, une fonction f \geq 0 définie dans X et partout finie peut avoir une intégrale supérieure infinie, comme le montre l’exemple où X = \{0, 1\}, f(x) = 1/x pour x > 0 et f(0) = 0, \mu étant la mesure de Lebesgue sur X.

4. Classes de fonctions équivalentes

Soit \mu une mesure sur un espace localement compact X. Etant donné un ensemble F, on dit que deux applications f, g de X dans F sont équivalentes par rapport à \mu (ou \mu-équivalentes, ou simplement équivalentes si aucune confusion n’en résulte) si l’on a f(x) = g(x) presque partout dans X. Comme la réunion de deux ensembles négligeables est négligeable, on définit bien ainsi une relation d’équivalence dans l’ensemble F^X de toutes les applications de X dans F; quand nous parlerons de classe d’équivalence d’une telle fonction f (sans préciser davantage), il sera sous-entendu qu’il s’agit de la classe des fonctions égales presque partout à f ; dans ce chapitre et les suivants, nous désignerons cette classe par la notation \tilde{f}.

Proposition 8

Soit (F_n) une famille dénombrable (finie ou infinie) d’ensembles. Pour tout indice n, soient f_n, g_n deux applications équivalentes de X dans F_n; alors il existe un ensemble négligeable H tel que, pour tout x \notin H, on ait f_n(x) = g_n(x) pour tout n.

En effet, l’ensemble H_n des x \in X tels que f_n(x) \neq g_n(x) est négligeable, donc il en est de même de leur réunion H (n° 2, prop. 4) et cet ensemble répond à la question.

Corollaire

Si \varphi est une application de \prod_n F_n dans un ensemble G, les applications \varphi((f_n)) et \varphi((g_n)) de X dans G sont équivalentes.

On désignera par \varphi((\tilde{f}_n)) la classe d’équivalence de toute fonction \varphi((f_n)), lorsque f_n est une fonction arbitraire de la classe \tilde{f}_n.

En particulier, si F est un espace vectoriel sur \mathbf{R}, on définit \tilde{f} + \tilde{g} et \alpha \tilde{f} comme classes d’équivalence de f + g et \alpha f respectivement (f et g applications de X dans F, α scalaire); on obtient ainsi, sur l’ensemble des classes d’équivalence des applications de X dans F, une structure d’espace vectoriel: c’est d’ailleurs la structure d’espace quotient de celle de $F^X$ par le sous-espace des applications f telles que $\tilde{f} = \tilde{0}$ (fonctions nulles presque partout) qu’on appelle encore fonctions négligeables (à valeurs dans F). On définit de même le produit $\tilde{g}\tilde{f}$ , où $\tilde{f}$ est une classe d’équivalence d’applications de X dans F, et $\tilde{g}$ une classe d’équivalence de fonctions numériques (finies) définies dans X: l’ensemble des classes d’équivalence d’applications de X dans F est ainsi muni d’une structure de module sur l’ensemble des classes d’équivalence des fonctions numériques finies définies dans X (lui-même muni d’une structure d’anneau). Si F est une algèbre sur $\mathbf{R}$ , on définit de même une structure d’algèbre sur l’ensemble des classes d’équivalence d’applications de X dans F.

Soit F un espace topologique métrisable, et considérons sur F une structure uniforme compatible avec sa topologie, et définie par une famille dénombrable d’écarts $\rho_n$ (Top. gén., chap. IX, §§ 1 et 2); pour que deux applications $f, g$ de X dans F soient équivalentes, il faut et il suffit que les fonctions numériques $\rho_n(f, g)$ soient négligeables; cela équivaut en effet à dire qu’il existe dans X un ensemble négligeable H tel que, pour tout $x \notin H$ , on ait $\rho_n(f(x), g(x)) = 0$ pour tout $n$ , c’est-à-dire $f(x) = g(x)$ . En particulier, si F est un espace localement convexe métrisable, $(q_n)$ une famille dénombrable de semi-normes définissant la topologie de F (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 4, n° 1), pour que deux applications $f, g$ de X dans F soient équivalentes, il faut et il suffit que les fonctions numériques $q_n(f(x) - g(x))$ soient toutes négligeables.

Proposition 9

Soient f et g deux applications continues de X dans un espace topologique séparé F; pour que f et g soient équivalentes, il faut et il suffit que $f(x) = g(x)$ en tout point du support de $\mu$ .

En effet, l’ensemble des $x \in X$ tels que $f(x) \neq g(x)$ est un ensemble ouvert (Top. gén., chap. I, 3e éd., § 8, n° 1); pour qu’il soit négligeable, il faut et il suffit qu’il ne rencontre pas le support de $\mu$ (n° 2, prop. 5).

Proposition 10

Soit F un espace localement convexe séparé sur $\mathbf{R}$ tel qu’il existe dans le dual $F'$ de F une suite $(\mathbf{a}'_n)$ partout dense pour la topologie faible $\sigma(F', F)$ (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 6, n° 2). Pour que deux applications f, g de X dans F soient équivalentes, il faut et il suffit que, pour tout n, les fonctions numériques $\langle f(x), a'_n \rangle$ et $\langle g(x), a'_n \rangle$ soient équivalentes.

La condition est évidemment nécessaire. Inversement, si elle est remplie, il existe un ensemble négligeable H tel que, pour tout $x \notin H$ , on ait $\langle f(x), a'_n \rangle = \langle g(x), a'_n \rangle$ pour tout n ; cela signifie que les formes linéaires faiblement continues sur F', $z' \mapsto \langle f(x), z' \rangle$ et $z' \mapsto \langle g(x), z' \rangle$ sont égales en chacun des points $a'_n$ , donc sont identiques en vertu de l’hypothèse, ce qui prouve que $f(x) = g(x)$ pour tout $x \notin H$ .

On notera que l’hypothèse de la prop. 10 s’applique en particulier lorsque F est un espace localement convexe métrisable et de type dénombrable (Esp. vect. top., chap. IV, § 2, n° 2, cor. de la prop. 3).

5. Fonctions définies presque partout

Conformément à la définition du n° 3, une application f d’une partie A de X dans un ensemble F est dite définie presque partout si le complémentaire de l’ensemble A où elle est définie est un ensemble négligeable. On appelle encore classe d’équivalence de f, et on note $\tilde{f}$ , la classe d’équivalence de toute fonction définie dans X tout entier et égale à $f(x)$ aux points $x \in X$ où $f$ est définie ; il est clair que cette classe ne dépend que de $f$ . On dit encore que deux fonctions $f, g$ , définies presque partout, sont équivalentes, si $\tilde{f} = \tilde{g}$ : cela signifie donc que l’ensemble des points où $f(x)$ et $g(x)$ sont tous deux définis et égaux a un complémentaire négligeable.

On en déduit aussitôt que la prop. 8 du n° 4 et son corollaire se généralisent au cas où, dans leur énoncé, on suppose seulement que chacune des fonctions $f_n, g_n$ est définie presque partout ; les fonctions $\varphi((f_n))$ et $\varphi((g_n))$ sont alors, elles aussi, définies presque partout ; la classe d’équivalence de $\varphi((f_n))$ est encore $\varphi((\tilde{f}_n))$ .

Une fonction définie presque partout, à valeurs dans un espace vectoriel F, est encore dite négligeable si elle est équivalente à 0. Si $f$ est une fonction négligeable à valeurs dans F, et $u$ une application linéaire de F dans un espace vectoriel G, la fonction composée $u \circ f$ (définie presque partout), est négligeable ; de même, pour toute fonction numérique (finie) $g$ , définie presque partout, la fonction $gf$ (définie presque partout) est négligeable.

On aura soin d’observer que, dans l’ensemble des fonctions à valeurs dans F et définies presque partout, la loi de composition interne $(f, g) \mapsto f + g$ n’est pas une loi de groupe, car la fonction 0 est bien élément neutre pour cette loi, mais si $f$ n’est pas partout définie, il n’existe pas de fonction $g$ telle que $f + g = 0$ . C’est ce qui motive l’introduction des classes d’équivalence $\tilde{f}$ qui, elles, forment un espace vectoriel.

Soit $(f_n)$ une suite d’applications dans un espace topologique F, chacune d’elles étant définie presque partout dans X. On dit que la suite $(f_n)$ converge (simplement) presque partout vers $f$ dans X si l’ensemble des points $x \in X$ où tous les $f_n(x)$ sont définis et où la suite $(f_n(x))$ a une limite égale à $f(x)$ , a un complémentaire négligeable. Il est clair que si, pour chaque $n$ , la fonction $g_n$ (définie presque partout) est équivalente à $f_n$ , la suite $(g_n)$ converge presque partout vers $f$ .

Si F est un espace vectoriel topologique, on définit de même une série presque partout convergente dont le terme général est une fonction $f_n$ définie presque partout dans X et à valeurs dans F ; la somme de cette série est une fonction définie aux points où les sommes partielles $\sum_{k=1}^n f_k(x)$ sont définies et ont une limite, et sa classe ne dépend que des classes $\tilde{f}_n$ .

6. Classes d’équivalence de fonctions à valeurs dans $\bar{\mathbf{R}}$

Conformément à la définition du n° 3, on dit qu’une fonction $f$ , définie presque partout dans X, et à valeurs dans $\bar{\mathbf{R}}$ , est finie presque partout si l’ensemble des $x \in X$ pour lesquels $f(x)$ est défini et fini a un complémentaire négligeable. Une fonction finie presque partout est équivalente à une fonction partout finie ; on peut donc identifier sa classe $\tilde{f}$ à une classe de fonctions numériques finies définies dans X (ou presque partout dans X). En particulier, la somme et le produit de deux classes de fonctions finies presque partout sont définis, et l’ensemble de ces classes est une algèbre sur $\mathbf{R}$ . Si $(f_n)$ est une suite de fonctions à valeurs dans $\bar{\mathbf{R}}$ , définies et finies presque partout, les sommes partielles $\sum_{k=1}^n f_k(x)$ sont définies presque partout ; si, pour presque tout $x \in X$ , elles ont une limite $f(x)$ dans $\bar{\mathbf{R}}$ , on dit encore que la série de terme général $f_n$ converge presque partout et que $f$ est la somme de cette série (on notera que $f$ n’est pas nécessairement finie presque partout).

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions numériques définies et finies presque partout dans X, $\tilde{f} + \tilde{g}$ (resp. $\tilde{f}\tilde{g}$ ) est la classe de toute fonction égale à $f(x) + g(x)$ (resp. $f(x)g(x)$ ) aux points $x \in X$ où cette expression a un sens. On notera que $f$ et $g$ peuvent être partout définies toutes deux sans que $f(x) + g(x)$ (resp. $f(x)g(x)$ ) soit défini pour tout $x$ (Top. gén., chap. IV, § 4, n° 3); par définition $f + g$ (resp. $fg$ ) est alors la fonction égale à $f(x) + g(x)$ (resp. $f(x)g(x)$ ) aux points où cette expression est définie; elle est donc seulement définie presque partout.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques (finies ou non) définies presque partout dans $X$ et telles que $f(x) \leq g(x)$ presque partout; si $f_1$ est équivalente à $f$ et $g_1$ équivalente à $g$ , il est clair que l’on a aussi $f_1(x) \leq g_1(x)$ presque partout. La relation considérée ne dépend donc que des classes de $f$ et de $g$ ; on l’écrit $\tilde{f} \leq \tilde{g}$ , et on vérifie aussitôt que cette relation est une relation d’ordre dans l’ensemble des classes d’équivalence des fonctions à valeurs dans $\bar{\mathbf{R}}$ . Si $(\tilde{f}_n)$ est une famille dénombrable (finie ou infinie) de ces classes, et si, pour tout $n$ , $f_n$ et $g_n$ sont deux fonctions définies presque partout, appartenant à la classe $\tilde{f}_n$ , il résulte de la prop. 8 du n° 4 que les fonctions $\sup_{n} f_n$ et $\sup_{n} g_n$ , définies presque partout, sont équivalentes; leur classe ne dépend donc que des classes $\tilde{f}_n$ , et l’on vérifie aussitôt que c’est la borne supérieure $\sup_{n} \tilde{f}_n$ de ces classes dans l’ensemble des classes de fonctions à valeurs dans $\bar{\mathbf{R}}$ , ordonné comme il vient d’être dit (ensemble qui en particulier est donc réticulé). On montre de même l’existence de la borne inférieure $\inf_{n} \tilde{f}_n$ , et l’on a $\inf_{n} \tilde{f}_n = -\sup_{n} (-\tilde{f}_n)$ . Il en résulte que $\limsup_{n \to \infty} f_n$ et $\limsup_{n \to \infty} g_n$ sont aussi équivalentes, et leur classe, qu’on note $\limsup_{n \to \infty} \tilde{f}_n$ , est égale à $\inf_{n} (\sup_{p \geq 0} \tilde{f}_{n+p})$ ; on définit de même $\liminf_{n \to \infty} \tilde{f}_n$ .

Une fonction numérique finie ou non $f$ est dite négligeable si elle est équivalente à 0; cette définition équivaut à la définition 1 pour les fonctions positives et partout définies, en vertu du th. 1. Pour que $f$ soit négligeable, il faut et il suffit que $|f|$ le soit (ou que $f^+$ et $f^-$ soient toutes deux négligeables).