En effet, l’inégalité (1) est évidente lorsque l’un des termes du second membre est égal à $+\infty$. Dans le cas contraire, $f$ et $g$ sont presque partout finies (§ 2, n° 3, prop. 7). Si $f_1$ et $g_1$ sont des fonctions finies et positives équivalentes à $f$ et $g$ respectivement, $f_1^p, g_1^p$ et $(f_1 + g_1)^p$ sont équivalentes à $f^p, g^p$ et $(f + g)^p$ respectivement, et comme deux fonctions positives équivalentes ont même intégrale supérieure (§ 2, n° 3, prop. 6), tout revient à démontrer l’inégalité (1) dans le cas où $f$ et $g$ sont des fonctions partout finies ; mais dans ce cas, l’inégalité est un cas particulier de l’inégalité de Minkowski générale démontrée au chap. I, n° 2, prop. 3.

Nous aurons encore à utiliser l’inégalité élémentaire suivante : si $p \geq 1$, quels que soient les nombres $a \geq 0, b \geq 0$, on a

En effet, l’inégalité est évidente si $a = b = 0$ ou si l’un des nombres $a, b$ est $+\infty$ ; si $a, b$ sont finis et $a + b > 0$, elle s’écrit

et résulte de ce que $\left(\frac{a}{a + b}\right)^p \leq \frac{a}{a + b}$, et $\frac{a}{a + b} + \frac{b}{a + b} = 1$.

(3)

(4)

En effet, la relation (3) découle aussitôt de la déf. 1 et du fait que $|\mu|^*$ est positivement homogène ; d’autre part, comme $|f + g| \leq |f| + |g|$, l’inégalité (4) résulte de l’inégalité de Minkowski (1) et du fait que $|\mu|^*$ est croissante.

Nous étendrons la déf. 1 au cas des fonctions numériques finies ou non, définies dans X, en posant encore

pour une telle fonction $f$. On voit aussitôt que les relations (3) et (4) sont encore valables pour ces fonctions lorsque $f + g$ est définie dans X et $\alpha \neq 0$. En outre :

Théorème 1 (théorème de convexité dénombrable). — Soit $(f_n)$ une suite de fonctions $\geq 0$ (finies ou non) définies dans X. Pour $1 \leq p < +\infty$, on a

(5)

Posons en effet $f = \sum_{n=1}^\infty f_n$; $f$ est l’enveloppe supérieure de la suite croissante des fonctions $g_n = \sum_{k=1}^n f_k$; la définition de $N_p(f)$ et le th. 3 du § 1, n° 3 montrent que $N_p(f) = \sup_n N_p(g_n)$. Mais on a $N_p(g_n) \leq \sum_{k=1}^n N_p(f_k)$ en vertu de la prop. 2, d’où l’inégalité (5).

La proposition résulte aussitôt du th. 1 du § 2, n° 3.

Si f et g sont deux applications équivalentes de X dans F, on a $N_p(f) = N_p(g)$ pour tout $p \geq 1$ ($§ 2$, n° 3, prop. 6); $N_p(f)$ ne dépend donc que de la classe $\tilde{f}$ de f, et l’on pose par définition $N_p(\tilde{f}) = N_p(f)$. Comme les classes d’applications de X dans F forment un espace vectoriel ($§ 2$, n° 4), les relations (3) et (4) peuvent aussi s’écrire

On définit de même $N_p(\tilde{f})$ pour toute classe de fonctions numériques équivalentes (finies ou non).

On peut par suite définir $N_p(f)$ pour une fonction à valeurs dans F (resp. dans $\bar{\mathbf{R}}$) définie presque partout dans X, en posant $N_p(f) = N_p(\tilde{f})$; il est clair alors que les relations (3) et (4) sont encore valables (en supposant $\alpha \neq 0$ et $f + g$ définie presque partout, lorsqu’il s’agit de fonctions numériques, finies ou non).

Si $0 < p < 1$, on pose encore $N_p(f) = \left( \int^* |f|^p d|\mu| \right)^{1/p}$, mais les inégalités (4) et (5) ne sont plus valables (cf. chap. I, exerc. 5 et chap. IV, § 6, exerc. 13).

Il revient au même de dire que, sur l’ensemble des applications $f \in \mathscr{F}_F^p$ dont le support est contenu dans un ensemble compact fixe, la topologie de la convergence uniforme est plus fine que la topologie de la convergence en moyenne d’ordre $p$.

En effet, soit $h$ une application continue de $X$ dans $[0, 1]$, à support compact, égale à 1 dans $K$ (chap. III, § 1, n° 2, lemme 1). Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $M \in \mathscr{B}$ tel que, pour toute application $f \in M$, on ait $|f(x) - f_0(x)| \leq \varepsilon h(x)$ pour tout $x \in X$. On en déduit $N_p(f - f_0) \leq \varepsilon N_p(h)$, d’où la proposition.

Comme l’espace séparé associé à $\mathscr{F}_F^p$ est un espace normé, il suffit de prouver que toute suite de Cauchy $(f_n)$ dans $\mathscr{F}_F^p$ a une limite pour la topologie de la convergence en moyenne d’ordre $p$

(Top. gén., chap. IX, § 2, n° 6, prop. 9). Par hypothèse, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un entier $m_0$ tel que les relations $m \geq m_0, n \geq m_0$ entraînent $N_p(f_n - f_m) \leq \varepsilon$. On peut donc définir par récurrence sur $k$ une suite strictement croissante $(n_k)$ d’entiers $\geq 0$ tels que l’on ait $N_p(f_{n_{k+1}} - f_{n_k}) \leq 2^{-k}$. Si nous montrons que la série de terme général $g_k = f_{n_{k+1}} - f_{n_k} (k \geq 1)$ est convergente en moyenne d’ordre $p$, elle aura une somme $g \in \mathscr{F}_F^p$, et $f = g + f_{n_1}$ sera limite de la suite $(f_{n_k})$ dans $\mathscr{F}_F^p$; $f$ sera alors valeur d’adhérence de la suite $(f_n)$; comme cette suite est une suite de Cauchy, elle aura pour limite $f$ et la prop. 5 sera démontrée (Top. gén., chap. II, 3e éd., § 3, n° 2, cor. 2 de la prop. 5).

La prop. 5 est donc conséquence de la proposition suivante:

Considérons en effet la fonction positive (finie ou non) $g(x) = \sum_{n=1}^\infty |f_n(x)|$. D’après le th. de convexité dénombrable (n° 2, th. 1), on a $N_p(g) \leq \sum_{n=1}^\infty N_p(f_n) < +\infty$; donc $g$ est finie presque partout (§ 2, n° 3, prop. 7), ce qui signifie que la série de terme général $f_n(x)$ est absolument convergente presque partout. Comme $F$ est complet, cette série est convergente presque partout, et l’on a, pour tout $x \in X$, $|f(x)| \leq \sum_{n=1}^\infty |f_n(x)| = g(x)$, d’où

ce qui prouve que $f$ appartient

à $\mathscr{F}_F^p$. D’autre part, pour tout entier $n$, on a

presque partout, d’où $N_p\left(f - \sum_{k=1}^n f_k\right) \leq \sum_{k=n+1}^\infty N_p(f_k)$. Par hypothèse la série de terme général $N_p(f_n)$ est convergente ; pour tout $\varepsilon > 0$, il existe donc un entier $n$ tel que $\sum_{k=n+1}^\infty N_p(f_k) \leq \varepsilon$, et l’inégalité (8) prouve que $f$ est somme de la série de terme général $f_n$, pour la topologie de la convergence en moyenne d’ordre $p$.

Les propositions 5 et 6 sont donc complètement démontrées.

En d’autres termes, les fonctions de $\mathscr{L}_F^p$ sont les limites de suites de fonctions continues à support compact, pour la topologie de la convergence en moyenne d’ordre p.

En effet, f est finie presque partout, et

la prop. 7 montre donc que f est de puissance p-ième intégrable.

Comme, par définition, $\mathscr{L}_F^p$ est un sous-espace fermé de $\mathscr{F}_F^p$, et que ce dernier est complet (n° 3, prop. 5), on a le résultat suivant (Top. gén., chap. II, 3e éd., § 3, n° 4, prop. 8):

Dans l’espace $L_F^p$, la norme $N_p(\tilde{f})$ d’une classe se note encore $\| \tilde{f} \|_p$.

On peut préciser le th. 2 de la façon suivante :

Comme dans la démonstration de la prop. 5 du n° 3, il suffit de définir la suite $(n_k)$ par récurrence de sorte que

les parties 2° et 3° résultent alors de la prop. 6 du n° 3 et du fait que $\mathscr{L}_F^p$ est fermé dans $\mathscr{F}_F^p$. D’autre part, si $h(x)$ est somme de la série de terme général $|f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x)|$, le th. 1 du n° 2 montre que $N_p(h) < +\infty$; par définition de $|\mu|^*$, il existe donc une fonction semi-continue inférieurement $g \geqslant h + |f_{n_1}|$ telle que

ce qui achève la démonstration.

En effet, il existe une suite $(f_{n_k})$ extraite de $(f_n)$ telle que $(f_{n_k}(x))$ converge presque partout vers $g(x)$, où $g$ est une fonction de $\mathscr{L}_F^p$ telle que $(f_n)$ converge en moyenne d’ordre $p$ vers $g$. Les hypothèses entraînent donc que $f(x) = g(x)$ presque partout, d’où le corollaire.

- 1° la suite $(g_n)$ converge en moyenne d’ordre $p$ vers $f$; 2° pour presque tout $x \in X$, la suite $(g_n(x))$ converge vers $f(x)$. En effet, comme l’espace $L^p_F$ est métrisable, il existe une suite de Cauchy $(f_n)$ dans $\mathscr{L}_F^p$ formée de fonctions de $\mathscr{E}$ et convergente en moyenne d’ordre $p$ vers $f$ (Top. gén., chap. IX, § 2, n° 6, prop. 8); il suffit d’appliquer à cette suite le th. 3.

Le cor. 2 s’applique en particulier au cas où on prend pour $\mathscr{E}$ l’espace $\mathscr{K}_F$ des fonctions continues à support compact.

Remarques. — 1) Une suite de Cauchy $(f_n)$ dans $\mathscr{L}_F^p$ peut être telle que la suite $(f_n(x))$ ne soit convergente en aucun point de $X$ (exerc. 1). 2) Si $f$ appartient à $\mathscr{L}_F^p$, il n’est pas toujours possible de trouver une suite $(f_n)$ de fonctions continues à support compact telle que la suite $(f_n(x))$ converge partout dans $X$ vers une fonction égale presque partout à $f(x)$ (§ 4, exerc. 4 c)).

Cela résulte aussitôt des cor. 1 et 2 du th. 4.

En effet, l’ensemble $\mathscr{K}_F$ des applications continues et à support compact de X dans F est partout dense dans $\mathscr{L}_F^p$ par définition. D’autre part, toute fonction $g \in \mathscr{K}_F$ peut être approchée uniformément par des fonctions de la forme $\sum_k a_k f_k$, où les $f_k$ sont continues et à support contenu dans un voisinage compact fixe du support de g (chap. III, § 1, n° 2, lemme 2); il en résulte (n° 3, prop. 4) que g est adhérente dans $\mathscr{L}_F^p$ à l’ensemble des $\sum_k a_k f_k$, d’où la proposition.

En effet, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une fonction g continue et à support compact, telle que $N_p(f - g) \leq \varepsilon$; comme

on a $N_p(|f| - |g|) \leq \varepsilon$, ce qui prouve que $|f| \in \mathscr{L}^p$. D’autre part, si $f_1, f_2$ sont deux fonctions de $\mathscr{L}_F^p$, on a $N_p(|f_1| - |f_2|) \leq N_p(f_1 - f_2)$, ce qui montre que $f \mapsto |f|$ est une application uniformément continue.

La condition est suffisante, puisque $f = f^+ - f^-$; elle est nécessaire, puisque si $f \in \mathscr{L}^p$, on a $|f| \in \mathscr{L}^p$ (prop. 11).

La première partie de la proposition résulte aussitôt de la prop. 11 du n° 5; comme l’ensemble des $\tilde{f} \geq 0$ est aussi l’ensemble des $\tilde{f}$ tels que $|\tilde{f}| = \tilde{f}$, il est fermé, puisque $\tilde{f} \mapsto |\tilde{f}|$ est une application continue et que $L^p$ est séparé.

On voit donc que, sur $L^p$, la topologie définie par la norme $\| \tilde{f} \|_p$ est compatible avec la structure d’espace vectoriel ordonné de $L^p$ (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 2, n° 7).

La condition est évidemment nécessaire, puisque $\tilde{f} \mapsto \| \tilde{f} \|_p$ est une fonction croissante dans l’ensemble des éléments $\geq 0$ de $L^p$. Pour voir qu’elle est suffisante, remarquons d’abord qu’elle entraîne que l’image de $H$ par l’application $\tilde{f} \mapsto \| \tilde{f} \|_p$ a une limite dans $\mathbf{R}$, en vertu du th. de la limite monotone; l’image du filtre des sections $\mathfrak{F}$ de $H$ par cette application est donc une base de filtre de Cauchy dans $\mathbf{R}$. La démonstration sera achevée si nous montrons que $\mathfrak{F}$ lui-même est une base de filtre de Cauchy sur $L^p$; en effet, $\mathfrak{F}$ convergera alors dans $L^p$, puisque $L^p$ est complet (n° 4, prop. 7), et la proposition résultera de Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 2, n° 7, prop. 18.

Pour voir que $\mathfrak{F}$ est une base de filtre de Cauchy, nous utiliserons le lemme suivant:

En effet, lorsque $f$ et $g$ sont continues à support compact, la relation (9) s’écrit

et est alors conséquence de l’inégalité élémentaire $(g - f)^p \leq g^p - f^p$ (n° 1, formule (2)). Pour passer de là au cas général, il suffit de remarquer que les deux membres de (9) sont des fonctions continues dans $\mathscr{L}^p \times \mathscr{L}^p$, et que toute fonction $f \geq 0$ de $\mathscr{L}^p$ est limite (pour la convergence en moyenne d’ordre $p$) d’une suite de fonctions $\geq 0$ continues et à support compact, en raison de la continuité de l’application $g \mapsto |g|$ dans $\mathscr{L}^p$ (prop. 11).

Ce lemme étant établi, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe par hypothèse un $\tilde{f} \in \mathrm{H}$ tel que, pour tout $\tilde{g} \geq \tilde{f}$ appartenant à $\mathrm{H}$, on ait $(\|\tilde{g}\|_p)^p - (\|\tilde{f}\|_p)^p \leq \varepsilon$; on en déduit $(\|\tilde{g} - \tilde{f}\|_p)^p \leq \varepsilon$; donc, si $\tilde{g}_1$ et $\tilde{g}_2$ sont deux éléments $\geq \tilde{f}$ dans $\mathrm{H}$, on a $\|\tilde{g}_1 - \tilde{g}_2\|_p \leq 2\varepsilon^{1/p}$, ce qui prouve que $\mathfrak{F}$ est une base de filtre de Cauchy sur $L^p$, et achève la démonstration de la prop. 14.

Cela résulte de la continuité de la norme $\|\tilde{f}\|_p$ dans $L^p$, et du th. de la limite monotone.

En effet, tout ensemble $\mathrm{H}$ filtrant (pour la relation $\leq$) dans $L^p$ formé de classes $\geq 0$, et majoré dans $L^p$, admet une borne supérieure : car si $\tilde{h}$ est un majorant de $\mathrm{H}$ dans $L^p$, on a $\|\tilde{f}\|_p \leq \|\tilde{h}\|_p$ pour tout $\tilde{f} \in \mathrm{H}$, et la prop. 14 s’applique. Cela démontre le corollaire (chap. II, § 1, n° 3, prop. 1).

Les conclusions de la prop. 14 ne subsistent plus lorsqu’on les formule pour les fonctions de $\mathscr{L}^p$, et non plus pour leurs classes. De façon précise, si $M$ est une partie de $\mathscr{L}^p$, formée de fonctions $\geqslant 0$, filtrante pour la relation $\leqslant$, et telle que $\sup_{f \in M} N_p(f) < +\infty$, la classe de l’enveloppe supérieure $g$ de $M$ n’est pas nécessairement identique à la borne supérieure dans $L^p$ des classes des fonctions $f \in M$; en particulier, $g$ n’est pas nécessairement de puissance $p$-ième intégrable, et même lorsque $g \in \mathscr{L}^p$, $N_p(g)$ peut être distinct de $\sup_{f \in M} N_p(f)$ (cf. § 1, n° 3, Remarque 1 suivant le th. 3).

On a toutefois le théorème suivant:

La condition étant évidemment nécessaire, tout revient à prouver qu’elle est suffisante. Or, si elle est remplie, la prop. 14 montre que la suite $(\tilde{f}_n)$ est une suite de Cauchy dans $L^p$, donc la suite $(f_n)$ est une suite de Cauchy dans $\mathscr{L}^p$; comme $f_n(x)$ tend vers $f(x)$ pour tout $x \in X$, $f$ est de puissance $p$-ième intégrable et est la limite de la suite $(f_n)$ pour la topologie de la convergence en moyenne d’ordre $p$ (n° 4, cor. 1 du th. 3). Donc $N_p(f_n)$ tend vers $N_p(f)$ puisque $N_p$ est une fonction continue sur $\mathscr{L}^p$.