En effet, soit $F'$ le dual de $F$, et soit $\langle z, a' \rangle \leq \alpha$ ($a' \in F', \alpha \in \mathbf{R}$) une relation définissant un demi-espace fermé contenant $D$. Comme $fg$ est intégrable, il en est de même de la fonction numérique $\langle fg, a' \rangle = \langle f, a' \rangle g$, et on a $\int \langle fg, a' \rangle\,d\mu = \left\langle \int fg\,d\mu, a' \right\rangle$ ($§ 4$, n° 2, cor. 1 du th. 1); mais par hypothèse $\langle f(x), a' \rangle \leq \alpha$ pour tout $x \in X$, donc $\langle f(x)g(x), a' \rangle \leq \alpha g(x)$; en intégrant, il vient

Il suffit de prendre pour fonction $g$ la constante 1.

Soit en effet $(\mathbf{f}_n)$ une suite de Cauchy dans $\mathscr{L}_F^\infty$; pour tout entier $n$, il existe un entier $k_n$ tel que, pour $r \geq k_n$ et $s \geq k_n$, on ait $N_\infty(\mathbf{f}_r - \mathbf{f}_s) \leq 1/n$; il existe donc un ensemble localement négligeable $A_{rs}$ tel que l’on ait $|\mathbf{f}_r(x) - \mathbf{f}_s(x)| \leq 1/n$ pour tout $x \notin A_{rs}$. Si $A_n$ est la réunion des ensembles $A_{rs}$ (pour $r \geq k_n$ et $s \geq k_n$), $A_n$ est localement négligeable, et pour tout $x \notin A_n$, on a $|\mathbf{f}_r(x) - \mathbf{f}_s(x)| \leq 1/n$ pour tous les indices $r \geq k_n, s \geq k_n$. Soit $A$ l’ensemble localement négligeable réunion des $A_n$, et posons $g_n(x) = \mathbf{f}_n(x)$ pour $x \notin A$, $g_n(x) = 0$ pour $x \in A$; $g_n$ appartient à $\mathscr{L}_F^\infty$, et d’après la définition de $A$, la suite $(g_n)$ converge uniformément dans $X$ vers une fonction $g$. Il en résulte que la fonction $g$ est mesurable (§ 5, n° 4, th. 2); en outre, $g$ est bornée dans l’ensemble des $x \in X$ où $|g_{k_1}(x)| \leq N_\infty(g_{k_1})$, et comme le complémentaire de cet ensemble est localement négligeable, $g$ appartient à $\mathscr{L}_F^\infty$. Il est clair que dans $\mathscr{L}_F^\infty$, la suite $(g_n)$ a pour limite $g$, et il en est donc de même de la suite $(\mathbf{f}_n)$, puisque $N_\infty(\mathbf{f}_n - g_n) = 0$ pour tout $n$. La seconde partie de la proposition s’en déduit immédiatement.

Soit $f_1$ (resp. $g_1$) une fonction de $\mathscr{L}^p$ (resp. $\mathscr{L}^q$) à laquelle $f$ (resp. $g$) est presque partout égale; $fg$ est égale presque partout à la fonction $f_1g_1$ partout définie et finie, qui est mesurable comme produit de deux fonctions mesurables ($§ 5,$ th. 1 et 5). Si

l’inégalité de Hölder pour l’intégrale supérieure (chap. I, n° 3, prop. 4) donne l’inégalité (4), et la relation $N_1(fg) < +\infty$ montre alors que $fg$ est intégrable ($§ 5,$ n° 6, th. 5). Si $p = 1, \ q = +\infty$, l’inégalité (4) et le fait que $fg$ soit intégrable sont des conséquences immédiates de l’inégalité de la moyenne (n° 2, prop. 1); le théorème est donc démontré dans tous les cas.

En effet, $\Phi(\mathbf{f}, \mathbf{g})$ est mesurable ($§ 5,$ n° 3, cor. 5 du th. 1); comme $|\Phi(\mathbf{f}, \mathbf{g})| \leq |\mathbf{f}| \cdot |\mathbf{g}|$, le corollaire résulte du th. 2 et du critère d’intégrabilité du $§ 5,$ n° 6, th. 5.

Deux cas particuliers du cor. 1 sont importants dans les applications :

En effet, on a $|\langle z, z' \rangle| \leq |z| \cdot |z'|$.

Lorsque F est un espace hilbertien réel ou complexe, on sait qu’on peut l’identifier canoniquement à son dual F' (Esp. vect. top., chap. V, § 1, n° 6). Comme l’espace L_F^2 est complet, on a le résultat suivant :

En effet, le produit $f_1^{\alpha_1} f_2^{\alpha_2} \ldots f_n^{\alpha_n}$ est mesurable, comme produit de fonctions mesurables (§ 5, th. 5 et th. 1); l’inégalité (8) étant vraie pour les intégrales supérieures (chap. I, n° 2, cor. de la prop. 2) la fonction $f_1^{\alpha_1} f_2^{\alpha_2} \ldots f_n^{\alpha_n}$ est intégrable (§ 5, n° 6, th. 5), d’où le corollaire.

Le cor. 2 du th. 2 se précise par la proposition suivante:

1° Pour toute fonction $f \in \mathscr{L}_F^p (1 \leq p \leq +\infty)$, on a

2° Pour toute fonction $g \in \mathscr{L}_F^q$ ($1 \leq q \leq +\infty$), on a

Démontrons d’abord la relation (9); nous distinguerons deux cas.

1° $1 \leq p < +\infty$. La relation (9) étant triviale lorsque $N_p(f) = 0$ (car alors $f$ et $\langle f, g \rangle$ sont négligeables), on peut toujours, en multipliant $f$ par un scalaire, supposer que $N_p(f) = 1$. Supposons en premier lieu que $f$ soit une fonction étagée intégrable, $f = \sum_{k=1}^n a_k \varphi_{A_k}$ où les $A_k$ sont deux à deux sans point commun (§ 4, n° 8, lemme 1). On a donc par hypothèse $\sum_{k=1}^n |a_k|^p \mu(A_k) = 1$. Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe (pour tout indice $k$) un vecteur $a'_k \in F'$ tel que $|a'_k|^q = |a_k|^p$ si $p > 1$ (resp. $|a'_k| = 1$ si $p = 1$) et $\langle a_k, a'_k \rangle \geq (1 - \varepsilon)|a_k| \cdot |a'_k|$ (Esp. vect. top., chap. IV, § 5, n° 1). Si on pose $g = \sum_{k=1}^n a'_k \varphi_{A_k}$, on a

et comme $|a'_k| = |a_k|^{p/q} = |a_k|^{p-1}$ si $p > 1$ (resp. $|a'_k| = 1$ si $p = 1$), on a

ce qui démontre dans ce cas la relation (9).

Passons au cas où $f$ est un élément quelconque de $\mathscr{L}_F^p$ tel que $N_p(f) = 1$. Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une fonction étagée $f_1 \in \mathscr{L}_F^p$ telle que $N_p(f - f_1) \leq \varepsilon$ (§ 4, n° 10, cor. 1 de la prop. 19). D’après ce que nous venons de voir, il existe une fonction $g \in \mathscr{L}_F^q$, telle que $N_q(g) = 1$ et que $\int \langle f_1, g \rangle d\mu \geq N_p(f_1) - \varepsilon \geq 1 - 2\varepsilon$. Or, on a

et d’après (6),

d’où

ce qui démontre (9).

$2^\circ$ $p = +\infty$. On peut encore se borner au cas où $N_\infty(f) > 0$. Soit $\alpha$ un nombre quelconque tel que $0 < \alpha < N_\infty(f)$; par hypothèse, l’ensemble des $x \in X$ tels que $|f(x)| > \alpha$ est mesurable et n’est pas localement négligeable, donc il contient un ensemble compact $K$ de mesure $> 0$. Comme $f$ est mesurable, il existe un ensemble compact $K_1 \subset K$, de mesure $> 0$, et tel que la restriction de $f$ à $K_1$ soit continue. Il en résulte que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une partition de $K_1$ en un nombre fini d’ensembles intégrables, dans chacun desquels l’oscillation de $f$ est $\leq \varepsilon$; un au moins de ces ensembles $A$ a une mesure $> 0$. Soit $a$ une des valeurs de $f$ dans $A$; on a $|a| > \alpha$, et $|f(x) - a| \leq \varepsilon$ pour tout $x \in A$. Il existe un vecteur $a' \in F'$ tel que $|a'| = 1$ et $|\langle a, a' \rangle| \geq |a| - \varepsilon$; la fonction $g = \varphi_A \cdot a'/\mu(A)$ est intégrable et on a $N_1(g) = 1$; d’autre part, on a

Or, on peut écrire

et comme

On raisonne exactement de la même manière pour démontrer la relation (10), en considérant séparément le cas $1 \leq q < +\infty$, et le cas $q = +\infty$, et en utilisant le fait que, pour tout $z' \in F'$, on a $|z'| = \sup_{|z| \leq 1} |\langle z, z' \rangle|$ par définition de la norme dans $F'$.

Nous savons déjà (chap. I, n° 3, prop. 5) que l’ensemble J des nombres p \geq 1 finis tels que N_p(f) < +\infty est vide ou est un intervalle, et que log N_p(f) est fonction convexe de 1/p dans J (lorsque f n’est pas négligeable); cela entraîne bien entendu la continuité de p \mapsto N_p(f) dans J.

Si J est vide, on a I = \emptyset ou I = {+\infty}, et la proposition est évidente dans ce cas; on suppose désormais J non vide. La proposition est aussi évidente si f est négligeable; on suppose désormais f non négligeable. Si s \in J, on a, pour tout nombre fini p > s, $|f|^p = |f|^s |f|^{p-s}$, et l’inégalité de la moyenne montre que

(12)

En faisant tendre p vers +\infty, il vient

(13)

Ceci prouve que, si +\infty \in I, J contient des nombres arbitrairement grands; donc I est bien un intervalle de $\bar{\mathbf{R}}$, et l’on a $\bar{I} = \bar{J}$. La proposition sera démontrée si nous prouvons que p \mapsto N_p(f) est continue dans $\bar{J}$, et il suffit de l’établir aux extrémités de J. On peut en outre supposer que J n’est pas réduit à un point. Soient r et s l’origine et l’extrémité de J ($r < s \leq +\infty$). Soit A l’ensemble (mesurable) des $x \in X$ tels que $|f(x)| \geq 1$; on a

Le même raisonnement s’applique au point s si $s < +\infty$. Supposons enfin $s = +\infty$. Compte tenu de (13), il suffit de prouver que $\liminf_{p \to +\infty} N_p(f) \geq N_\infty(f)$. Or, soit $a$ un nombre tel que $0 < a < N_\infty(f)$. Comme par hypothèse il existe des valeurs finies de $p$ telles que $N_p(f) < +\infty$, l’ensemble A des $x \in X$ tels que $|f(x)| \geq a$, qui est mesurable et non négligeable, est intégrable en raison de l’inégalité $\varphi_A \leq (|f|/a)^p$; en outre, on tire de cette inégalité que $N_p(f) \geq a . (|\mu|(A))^{1/p}$; faisant tendre $p$ vers $+\infty$, il vient $\liminf_{p \to +\infty} N_p(f) \geq a$, ce qui achève la démonstration.

On notera qu’en général, les topologies induites sur l’intersection $\mathscr{L}_F^r \cap \mathscr{L}_F^s$ par les topologies des $\mathscr{L}_F^p$ ($r < p < s$) sont distinctes. Si on ne fait aucune hypothèse supplémentaire sur $\mu$, les topologies induites sur $\mathscr{L}_F^r \cap \mathscr{L}_F^s$ par celles de $\mathscr{L}_F^r$ et de $\mathscr{L}_F^s$ sont en général non comparables (en d’autres termes, le rapport $N_r(f)/N_s(f)$ peut prendre des valeurs arbitrairement grandes et des valeurs arbitrairement petites dans $\mathscr{L}_F^r \cap \mathscr{L}_F^s$; cf. exerc. 8).