On sait (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 5, n° 4, prop. 5) que f est l’enveloppe supérieure d’une famille de restrictions à K de fonctions linéaires affines continues $h_{\alpha}: x \mapsto c_{\alpha} + \langle x, z'_{\alpha} \rangle$. On a donc

pour tout α ; or $\int h_{\alpha}(x) d\mu(x) = c_{\alpha} + \int \langle x, z'_{\alpha} \rangle d\mu(x)$ puisque μ est de masse totale 1 ; mais $\int \langle x, z'_{\alpha} \rangle d\mu(x) = \langle b_{\mu}, z'_{\alpha} \rangle$ par définition du barycentre. On a donc $\sup_{\alpha} \int h_{\alpha}(x) d\mu(x) = \sup_{\alpha} h_{\alpha}(b_{\mu}) = f(b_{\mu})$, d’où la conclusion.

Lorsque μ est une mesure discrète positive sur K, de masse totale 1, la prop. 2 redonne l’inégalité qui définit les fonctions convexes dans K.

Il suffit de remarquer que $\inf_{x \in K} g(x) = a$ est fini et d’appliquer la prop. 2 à $g - a$.

Soit U un voisinage de μ pour la topologie vague ; on peut supposer que U est formé des mesures ν sur K telles que

(1)

pour un nombre fini de fonctions $f_i \in \mathscr{C}(K; \mathbf{C})$ ($1 \leq i \leq p$) et un nombre $\delta > 0$. Pour tout point $a \in K$, il existe un voisinage convexe fermé $V_a$ de 0 dans E tel que l’on ait

pour $1 \leq i \leq p$ et pour tout $y \in W_a = K \cap (a + V_a)$. Comme K est compact, il y a un nombre fini de points $a_j$ ($1 \leq j \leq r$) de K tels que les $W_{a_j}$ forment un recouvrement de K ($1 \leq j \leq r$). Considérons une partition continue de l’unité $(g_j)_{1 \leq j \leq r}$ sur K, subordonnée au recouvrement $(W_{a_j})$, et posons $\alpha_j = \mu(g_j)$ pour tout $j$; si $\alpha_j \neq 0$, posons $\mu_j = \alpha_j^{-1} g_j \cdot \mu$, et si $\alpha_j = 0$, posons $\mu_j = \varepsilon_{a_j}$. Chacune des mesures $\mu_j$ est positive, de masse totale 1, et son support est contenu dans l’ensemble convexe compact $W_{a_j}$; en outre, on a par définition

puisque $g_j \cdot \mu = 0$ si $\mu(g_j) = 0$; les $\alpha_j$ sont $\geq 0$ et l’on a

Soit $x_j$ le barycentre de $\mu_j$, qui appartient à $W_{a_j}$ (n° 1, prop. 1), et considérons la mesure discrète $v = \sum_{j=1}^r \alpha_j \varepsilon_{x_j}$; elle est positive et de masse totale 1, et son barycentre est $\sum_{j=1}^r \alpha_j x_j$, qui est aussi le barycentre de $\mu$ en vertu de (3), donc égal à $x$. Par ailleurs, en vertu de (2), on a $|f_i(y) - f_i(a)| \leq \delta/2$ pour tout $y \in W_{a_j}$ et tout $i$, d’où, puisque $\operatorname{Supp}(\mu_j) \subset W_{a_j}$, $|\mu_j(f_i) - f_i(a_j)| \leq \delta/2$ pour $1 \leq i \leq p$. D’autre part, comme $x_j \in W_{a_j}$, on a aussi

pour $1 \leq i \leq p$, d’où $|\mu_j(f_i) - \varepsilon_{x_j}(f_i)| \leq \delta$ quels que soient $i, j$. Comme les $\alpha_j$ sont $\geq 0$ et ont pour somme 1, on déduit de (3) et de la définition de $v$ que $v$ vérifie l’inégalité (1).

C.Q.F.D.

Supposons que $x$ soit point extrémal de $K$; pour prouver que $\varepsilon_x$ est la seule mesure positive sur $K'$, de masse totale 1, ayant $x$ pour barycentre, il suffit de voir, en vertu de la prop. 3, que l’ensemble des mesures discrètes $v$ sur $K'$, positives, de masse totale 1 et ayant $x$ pour barycentre, est réduit à $\varepsilon_x$. Mais une telle mesure $v$ est de la forme $\sum_{i=1}^r \lambda_i \varepsilon_{x_i}$ avec $\lambda_i > 0$ pour $1 \leq i \leq r$ et $\sum_{i=1}^r \lambda_i = 1$; et l’hypothèse que $x$ est barycentre de $v$ s’écrit $x = \sum_{i=1}^r \lambda_i x_i$. Comme $x$ est extrémal, cela entraîne $x_i = x$ pour tout $i$, d’où $v = \varepsilon_x$.

Inversement, supposons que $\varepsilon_x$ soit la seule mesure positive sur $K'$, de masse totale 1, ayant $x$ pour barycentre, et montrons que $x$ est extrémal. Dans le cas contraire, il y aurait deux points distincts $x', x''$ de $K$ et un nombre réel $\lambda$ tels que $0 < \lambda < 1$ et

D’après la prop. 1, $x'$ (resp. $x''$) est barycentre d’une mesure positive $\mu'$ (resp. $\mu''$) de masse totale 1 sur $K'$. Alors $x$ est barycentre de $\lambda \mu' + (1 - \lambda)\mu''$. Donc $\lambda \mu' + (1 - \lambda)\mu'' = \varepsilon_x$. Donc $\mu'$ et $\mu''$ sont proportionnelles à $\varepsilon_x$, d’où $x' = x'' = x$, ce qui est absurde.

Théorème 1 (Choquet).—Soient $E$ un espace localement convexe séparé sur $\mathbf{R}$, $K$ une partie convexe compacte et métrisable de $E$, $M$ l’ensemble des points extrémaux de $K$. L’ensemble $M$ est intersection d’une famille dénombrable de parties ouvertes de $K$, et tout point de $K$ est barycentre d’une mesure $\mu$ sur $K$ telle que $\mu(K - M) = 0$.

Pour démontrer la première assertion, désignons par $I$ l’intervalle $[0, 1]$ de $\mathbf{R}$; puisque $K$ est compact et métrisable, il en est de même de $K \times K \times I$; le sous-ensemble $U$ de $K \times K \times I$ formé des triplets $(x, y, \lambda)$ tels que $x \neq y$ et $0 < \lambda < 1$ est ouvert dans $K \times K \times I$, et il y a donc une suite $(F_n)$ d’ensembles fermés dans $K \times K \times I$ dont $U$ est réunion (Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 2, n° 5, prop. 7). L’application $q : K \times K \times I \to K$ définie par $q(x, y, \lambda) = \lambda x + (1 - \lambda)y$ est continue, et par définition des points extrémaux, on a $K - M = q(U) = \bigcup_n q(F_n)$; mais $F_n$ est compact puisqu’il est fermé dans $K \times K \times I$, donc $q(F_n)$ est compact, et par suite fermé dans K ; l’ensemble $U_n = K - q(F_n)$ est donc ouvert dans K, et l’on a $M = \bigcap_n U_n$.

Dans la suite de la démonstration, on désignera par $u$ une fonction numérique continue et convexe dans K, par $G \subset E \times \mathbf{R}$ le graphe de $u$, par S l’*enveloppe convexe fermée* de G dans $E \times \mathbf{R}$.

En vertu du th. de Hahn–Banach, pour que $(\mathbf{a}, b)$ appartienne à S, il faut et il suffit que $h(\mathbf{a}, b) \geq 0$ pour toute fonction linéaire affine continue $h$ sur $E \times \mathbf{R}$ telle que $h(x, u(x)) \geq 0$ pour $x \in K$. Posant $h(x, t) = f(x) - \lambda t$, où $f$ est une fonction linéaire affine continue dans E, on voit que la relation $(\mathbf{a}, b) \in S$ équivaut à la propriété suivante: la relation

(4)

implique

(5)

Faisons d’abord $\lambda = 0$; le fait que (4) implique (5) pour toute fonction linéaire affine continue $f$ sur E équivaut à la relation $\mathbf{a} \in K$ en vertu du th. de Hahn–Banach. En second lieu, faisons $\lambda = -1$ et remplaçons $f$ par $-f$; alors la relation $f(x) \leq u(x)$ dans K doit entraîner $f(\mathbf{a}) \leq b$. Mais comme $u$ est convexe et continue dans K, $u(\mathbf{a})$ est égal à la borne supérieure des $f(\mathbf{a})$ pour les fonctions linéaires affines continues $f$ sur E telles que $f(x) \leq u(x)$ dans K (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 5, n° 3, cor. 6 de la prop. 4); on obtient donc la relation $b \geq u(\mathbf{a})$. Enfin, faisons $\lambda = 1$; dire que (4) entraîne (5) signifie alors, par définition, que $b \leq \bar{u}(\mathbf{a})$. Cela prouve le lemme, puisque la relation (4) (resp. (5)) est équivalente à celle qu’on obtient en multipliant les deux membres par un scalaire $> 0$.

En effet, il existe alors deux points distincts y, z de K tels que $x = (y + z)/2$, d’où $u(x) < (u(y) + u(z))/2$ puisque $u$ est strictement convexe. Si $f$ est une fonction linéaire affine dans E, on a $f(x) = (f(y) + f(z))/2$; appliquant cette relation aux fonctions linéaires affines continues $f$ qui sont $\geq u$ dans $K$, il vient

Ces lemmes étant établis, on a donc (lemme 1), pour tout $a \in K$, $(a, \bar{u}(a)) \in S$. Comme $G$ est compact, étant image de $K$ par l’application continue $x \mapsto (x, u(x))$, il existe, en vertu de la prop. 1 du n° 1, une mesure positive $\nu$ sur $G$, de masse totale 1, ayant $(a, \bar{u}(a))$ pour barycentre. Comme la restriction à $G$ de la projection $pr_1$ est un homéomorphisme de $G$ sur $K$, on peut transporter la mesure $\nu$ à l’aide de cet homéomorphisme, ce qui donne une mesure $\mu$ sur $K$ (positive et de masse totale 1) telle que l’on ait La première des relations (6) signifie que $a$ est le barycentre de $\mu$. La fonction $\bar{u}$ est semi-continue supérieurement et bornée dans $K$, donc $\mu$-intégrable ($§ 4$, n° 4, cor. 1 de la prop. 5); en outre, comme la fonction $-\bar{u}$ est convexe par définition, on a, en vertu du cor. de la prop. 2 du n° 1 d’où, en comparant avec la seconde formule (6) Mais comme $u(x) \leq \bar{u}(x)$ dans $K$, la relation (8) implique que $u(x) = \bar{u}(x)$ presque partout pour $\mu$. Compte tenu du lemme 2, on voit que le théorème 1 sera démontré une fois établi le

En effet, l’espace de Banach $\mathscr{C}(K; \mathbf{R})$ est de type dénombrable (Top. gén., chap. X, 2e éd., § 3, n° 3, th. 1), et il en est donc de même du sous-espace $\mathscr{A}$ de $\mathscr{C}(K; \mathbf{R})$ formé des restrictions à $K$ des fonctions linéaires affines continues dans $E$. Soit donc $(h_n)$ une suite partout dense dans $\mathscr{A}$, et soit $\alpha_n > \sup_{x \in K} |h_n(x)|$. Alors, chacune des fonctions $h_n^2/n^2 \alpha_n^2$ est convexe dans $K$ (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 2, n° 8, Exemples), et la série de terme général $h_n^2/n^2 \alpha_n^2$ est normalement convergente, donc sa somme $u$ est continue et convexe dans $K$. Il reste à voir que $u$ est strictement convexe, et pour cela, il suffit de prouver que pour deux points distincts $x, x'$ de $K$, il y a un entier $n$ tel que la restriction au segment d’extrémités x, x' de $h_n^2$ est strictement convexe; mais pour cela il suffit que $h_n(x) \neq h_n(x')$ (loc. cit.). Or, il y a une fonction $h \in \mathscr{A}$ telle que $h(x) \neq h(x')$ (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 4, n° 1, cor. 1 de la prop. 2) et comme la suite $(h_n)$ est dense dans $\mathscr{A}$, il existe un $n$ tel que $h_n(x) \neq h_n(x')$.

C.Q.F.D.

En effet, x appartient à un chapeau de C (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., §7, n° 2, prop. 5), et $M \cap K$ contient l’ensemble des points extrémaux de K (loc. cit., cor. 1 de la prop. 4). Il suffit alors d’appliquer le th. 1.

(ii) Pour qu’un point $i_{\mathscr{H}}(x)$ soit point extrémal de C, il faut et il suffit que la seule mesure positive $\lambda$ sur X, telle que

pour toute fonction $h \in \mathscr{H}$ (ce qui entraîne en particulier que $\lambda$ est de masse totale 1 puisque $1 \in \mathscr{H}$) soit la mesure de Dirac $\varepsilon_x$.

La fonction $z' \mapsto \langle h, z' \rangle$ sur C atteint sa borne supérieure en un point extrémal de C au moins (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 7, n° 1, prop. 1), et ce point appartient à $i_{\mathscr{H}}(X)$ (loc. cit., cor. de la prop. 2).

(i) D’après (9), on a $\| i_{\mathscr{H}}(x) \| \leq 1$ dans l’espace normé $\mathscr{H}'$, autrement dit, $i_{\mathscr{H}}(X)$ est borné, et l’assertion résulte de ce que $\mathscr{H}'$, muni de la topologie faible $\sigma(\mathscr{H}', \mathscr{H})$, est quasi-complet (Esp. vect. top., chap. IV, § 2, n° 2, cor. 2 du th. 1).

(ii) Toute mesure positive $\mu$ de masse 1 sur $i_{\mathscr{H}}(X)$ provient, par transport de structure au moyen de l’homéomorphisme $i_{\mathscr{H}}$, d’une mesure positive $\lambda$ de masse 1 sur X, la mesure de Dirac $\varepsilon_{i_{\mathscr{H}}(x)}$ provenant de $\varepsilon_x$. Dire que $\mu$ admet $i_{\mathscr{H}}(x)$ pour barycentre signifie, par définition, que l’on a

pour toute fonction $h \in \mathscr{H}$. Compte tenu de (9), l’assertion (ii) n’est autre que la traduction du critère du n° 2, cor. de la prop. 3, pour que $i_{\mathscr{H}}(x)$ soit point extrémal de C.

Nous dirons qu’un point $x \in X$ vérifiant la condition (ii) de la prop. 4 est $\mathscr{H}$-extrémal ; nous désignerons par $\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$ (ou simplement $\mathrm{Ch}(X)$) l’ensemble de ces points, par $\check{S}_{\mathscr{H}}(X)$ (ou simplement $\check{S}(X)$) l’adhérence de $\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$ dans X.

Soient $x$ un point de X, $h$ une fonction de $\mathscr{H}$. La relation $h(z) \leq h(x)$ pour tout $z \in X$ s’écrit $\langle h, i_{\mathscr{H}}(z) \rangle \leq \langle h, i_{\mathscr{H}}(x) \rangle$ pour tout $z \in X$, et signifie donc que l’hyperplan faiblement fermé de $\mathscr{H}'$, d’équation $\langle h, t' \rangle = \langle h, i_{\mathscr{H}}(x) \rangle$ est un hyperplan d’appui de $i_{\mathscr{H}}(X)$. On sait (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 7, n° 1, cor. 1 de la prop. 1), qu’un tel hyperplan contient un point extrémal au moins de $i_{\mathscr{H}}(X)$, et un tel point $i_{\mathscr{H}}(y)$ est l’image d’un point $\mathscr{H}$-extrémal $y$ par définition ; $h(y)$ est donc égal à la borne supérieure de $h$ dans X.

a) $x$ est $\mathscr{H}$-extrémal.

b) Pour tout voisinage ouvert $U$ de $x$ dans $X$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe une fonction $h \geq 0$ dans $\mathscr{H}$ telle que $h(x) \leq \varepsilon$ et $h(y) \geq 1$ pour tout $y \in X - U$.

Soient $x$ un point quelconque de $X$, $f$ une fonction de $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$; on sait (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 3, n° 1, prop. 1) que la borne inférieure des nombres $\lambda(f)$, pour toutes les mesures positives sur $X$ telles que $\lambda(h) = h(x)$ pour toute fonction $h \in \mathscr{H}$, est égale à la borne supérieure des nombres $h(x)$, où $h$ parcourt l’ensemble des fonctions $h \in \mathscr{H}$ telles que $h \leq f$. Supposons que $x$ soit $\mathscr{H}$-extrémal; alors il résulte de la prop. 4, (ii), que, pour toute fonction $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, on a

Pour montrer que a) entraîne b), prenons pour $f$ une application continue de $X$ dans $\{0, 1\}$, de support contenu dans $U$ et telle que $f(x) = 1$; il y a donc en vertu de (11) une fonction $h' \in \mathscr{H}$ telle que $h' \leq f$ et $h'(x) \geq 1 - \varepsilon$. Comme $1 \in \mathscr{H}$, la fonction $h = 1 - h'$ répond aux conditions de b).

Réciproquement, supposons vérifiée la condition b); cette condition entraîne que $1 - h \leq \varphi_U$; pour toute mesure positive $\lambda$ sur $X$ vérifiant la condition (7), on a donc

Comme par hypothèse cette relation a lieu pour tout $\varepsilon > 0$ et tout voisinage ouvert $U$ de $x$, on en conclut pour tout $\varepsilon > 0$, donc $\lambda(\{x\}) = 1$. Comme $\lambda$ est positive et de masse totale 1, on a nécessairement $\lambda = \varepsilon_x$, ce qui prouve que $x$ est $\mathscr{H}$-extrémal en vertu de la prop. 4, (ii).

a) $F$ contient $\check{S}_{\mathscr{H}}(X)$.

b) Pour toute fonction $h \in \mathscr{H}$, l’ensemble $F$ rencontre l’ensemble des points de $X$ où $h$ atteint sa borne supérieure.

c) Pour tout point $x \in X$, il existe une mesure positive $\mu$ de masse 1 sur $X$, telle que $\operatorname{Supp}(\mu) \subset F$ et que $h(x) = \int h \, d\mu$ pour toute fonction $h \in \mathscr{H}$.

Soit $G = i_{\mathscr{H}}(F)$. La condition a) signifie que $G$ contient l’ensemble des points extrémaux de $C$. La condition b) signifie que $G$ rencontre l’intersection de $i_{\mathscr{H}}(X)$ avec chacun des hyperplans d’appui fermés de $i_{\mathscr{H}}(X)$. Enfin la condition c) signifie que tout point de $i_{\mathscr{H}}(X)$ est barycentre d’une mesure de support contenu dans $G$; en vertu du n° 1, prop. 1, cela équivaut encore à dire que l’enveloppe convexe fermée de $i_{\mathscr{H}}(X)$ est égale à l’enveloppe convexe fermée de $G$. L’équivalence des conditions a), b) et c) résulte donc d’*Esp. vect. top.*, chap. II, 2° éd., § 7, n° 1, cor. 2 de la prop. 2.

C’est la traduction du th. 1 du n° 2, par transport de structure au moyen de l’homéomorphisme $x \mapsto i_{\mathscr{H}}(x)$, comme dans la prop. 5.

Un certain nombre de résultats de ce n° s’étendent lorsqu’on remplace $\mathscr{H}$ par un ensemble $\mathscr{P}$ de fonctions définies dans $X$, à valeurs dans $\mathbf{R} \cup \{+\infty\}$, semi-continues inférieurement, $\mathscr{P}$ étant supposé contenir les constantes et être tel que $\mathscr{P} + \mathscr{P} \subset \mathscr{P}$ (exerc. 2).

On peut se borner au cas où $f$ n’est pas la constante 0. Soit $a$ un point de X où $|f|$ atteint sa borne supérieure, et posons $g = f/f(a)$; on a $g(a) = 1$ et $|g(x)| \leq 1$ pour tout $x \in X$, d’où

En vertu de la prop. 5 du n° 3 appliquée à $\mathscr{H}_r$, il existe $b \in \mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$ où $\mathscr{R}(g(x))$ atteint sa borne supérieure 1, d’où $|g(b)| = 1$ puisque $|g(b)| \leq 1$; on en conclut que $|f(b)| = |f(a)| \geq |f(x)|$ pour tout $x \in X$.

Prouvons l’équivalence des conditions a) et c): soit $f = f_1 + if_2$ avec $f_1, f_2$ dans $\mathscr{H}_r$; la relation $f(x) = \int f \, d\mu$ équivaut aux deux relations $f_1(x) = \int f_1 \, d\mu$ et $f_2(x) = \int f_2 \, d\mu$; il suffit donc d’appliquer à $\mathscr{H}_r$ l’équivalence des conditions a) et c) de la prop. 7 du n° 3. Le fait que a) entraîne b) résulte de la prop. 9. Montrons que b) entraîne a); il s’agit de voir que si b) est vérifiée, alors, pour toute $h \in \mathscr{H}_r$, F rencontre l’ensemble des points où $h$ atteint sa borne inférieure dans X. La condition b) entraîne que F est non vide; comme F est compact, il existe $a \in F$ tel que $h(a) \leq h(y)$ pour tout $y \in F$. Soit $f \in \mathscr{H}$ telle que $h = \mathscr{R}(f)$; pour tout $\varepsilon > 0$, la fonction $g = f - h(a) + \varepsilon$ appartient à $\mathscr{H}$, et l’on a

pour tout $y \in F$. Soit c la borne supérieure de $|g|$ dans X, et posons $b = c^2 / 2\varepsilon$; pour tout $y \in F$, on a autrement dit, la borne supérieure dans F de la fonction $|g - b|$ est $\leq b$. Comme $g - b \in \mathscr{H}$, l’hypothèse faite sur F entraîne $|g - b| \leq b$, d’où et par suite $\mathscr{R}(g) \geq |g|^2 / 2b \geq 0$; comme $\mathscr{R}(g) = h - h(a) + \varepsilon$, et que $\varepsilon > 0$ est arbitraire, on a $h \geq h(a)$, et $h(a)$ est la borne inférieure de $h$ dans X, ce qui achève la démonstration.

Soit $(V_n)$ ($n \geq 1$) un système fondamental de voisinages de a, et soient $\lambda, \mu, \varepsilon$ des nombres tels que

On a donc $0 < \lambda / \mu < 1 / \mu < 1$. Nous allons définir par récurrence sur $n$ ($n \geq 1$) une suite décroissante $(U_n)$ de voisinages ouverts de a tels que $U_n \subset V_n$ pour tout $n$, et une suite $(h_n)$ de fonctions de $\mathscr{H}$ vérifiant les relations

$|h_n(x)| \leq \mu$ pour tout $x \in X$ $h_n(a) = 1$ $|h_n(x)| \leq \lambda$ pour tout $x \in X - U_n$ pour tout $y \in X$.

Supposons les $h_m$ et $U_m$ définis pour $1 \leq m < n$ et vérifiant les quatre conditions précédentes (où $n$ est remplacé par $m$); posons d’autre part $U_0 = X$. La fonction $\sum_{j=1}^{n-1} \lambda^j h_j$ (égale à 0 si $n = 1$) est continue et prend la valeur $\sum_{j=1}^{n-1} \lambda^j$ au point $a$; il existe donc un voisinage ouvert $U_n$ de $a$, contenu dans $U_{n-1} \cap V_n$, tel que l’on ait

pour tout $y \in U_n$.

Par hypothèse il existe une fonction $f \in \mathscr{H}$ telle que

Posons $h_n = f/f(a)$; on a donc les relations $(13_n)$, $(14_n)$ et $(15_n)$; posons En vertu de (17) et de $(13_n)$, on a, pour $y \in U_n$ puisque $\varepsilon + \mu \leq 1 + \lambda$; pour $x \in X - U_n$, on a $|h_p(x)| \leq \lambda$ pour $1 \leq p \leq n$, d’où encore ce qui achève de prouver $(16_n)$.

Cela étant, la série $\sum_{n=1}^\infty \lambda^n h_n$ est normalement convergente dans $X$ puisque $\lambda < 1$ et $|h_n(x)| \leq \mu$ pour tout $n$ et tout $x \in X$; soit $u$ sa somme, qui appartient à $\mathscr{H}$ puisque $\mathscr{H}$ est fermé. En vertu de la n° 5

relation (14_n), on a $u(a) = \sum_{n=1}^{\infty} \lambda^n$; d’autre part, si $x \neq a$, il existe un entier $n$ tel que $x \notin U_{n+1}$; on a donc $|h_{n+k}(x)| \leq \lambda$ pour tout $k \geq 1$ en vertu de la relation (15_n); on en déduit, en utilisant (16_n)