Chapitre V

Intégration des mesures

Dans tout ce chapitre, on désigne par T un espace localement compact, par $\mu$ une mesure positive sur T. Pour toute partie A d’un ensemble E, on désigne par $\varphi_A$ la fonction caractéristique de A (si aucune confusion n’en résulte). Par fonction numérique, nous entendrons toujours une fonction prenant ses valeurs dans $\bar{\mathbf{R}}$, donc pouvant prendre les valeurs $+\infty$ et $-\infty$. L’ensemble des fonctions numériques positives définies dans E sera désigné par $\mathscr{F}_+(E)$, ou simplement par $\mathscr{F}_+$ si aucune confusion n’en résulte. On convient de définir les produits $0 . (+\infty)$ et $0 . (-\infty)$ en leur donnant la valeur 0 ; si f est une fonction numérique définie dans E, et A une partie de E, $f \varphi_A$ désigne donc la fonction qui coïncide avec f dans A et est égale à 0 dans $\complement A$. Pour tout point a d’un espace localement compact, on désigne par $\varepsilon_a$ la mesure définie par la masse unité placée au point a (chap. III, 2e éd., § 1, no 3).

La notion d’intégrale supérieure essentielle (resp. de fonction essentiellement intégrable), qui sera définie au § 1, coïncide, comme on le verra, avec la notion d’intégrale supérieure (resp. de fonction intégrable) lorsque T est un espace localement compact dénombrable à l’infini (Top. gén., 4e éd., chap. I, § 9, no 9).

Le lecteur qui ne s’intéresse qu’à l’intégration dans les espaces localement compacts dénombrables à l’infini peut donc omettre la lecture des nos 1 à 3 du § 1 ; dans le reste du chapitre, il obtiendra des énoncés valables lorsque les espaces envisagés sont dénombrables à l’infini, en supprimant les mots «essentiel» et «essentiellement», et en remplaçant le signe $\mu^*$ par $\mu^*$ et le signe $\int^*$ par $\int^*$.

Dans les paragraphes 1 à 4, le mot mesure signifiera toujours mesure positive; les autres mesures seront appelées explicitement, suivant le cas, mesures réelles non nécessairement positives ou mesures complexes.