Chương V

Tích phân của các độ đo

Trong toàn bộ chương này, T ký hiệu một không gian compact địa phương, $\mu$ một độ đo dương trên T. Với mọi tập con A của một tập E, $\varphi_A$ ký hiệu hàm đặc trưng của A (nếu điều đó không thể gây nhầm lẫn). Bằng hàm số trị, ta luôn hiểu một hàm nhận các giá trị của nó trong $\overline{\mathbf{R}}$, do đó có thể nhận các giá trị $+\infty$ và $-\infty$. Tập các hàm số trị dương xác định trên E sẽ được ký hiệu bởi $\mathscr{F}_+(E)$, hoặc đơn giản bởi $\mathscr{F}_+$ nếu điều đó không thể gây nhầm lẫn. Ta quy ước định nghĩa các tích $0 \cdot (+\infty)$ và $0 \cdot (-\infty)$ bằng cách gán cho chúng giá trị 0; do đó, nếu f là một hàm số trị xác định trên E, và A là một tập con của E, thì $f \varphi_A$ ký hiệu hàm trùng với f trên A và bằng 0 trên $\mathbf{C}A$. Đối với mọi điểm a của một không gian compact địa phương, $\varepsilon_a$ ký hiệu độ đo được định nghĩa bằng cách đặt một khối lượng đơn vị tại điểm a (Ch. III, §1, No. 3).

Khái niệm nguyên trên cốt yếu (resp. hàm khả tích cốt yếu), sẽ được định nghĩa ở §1, trùng, như ta sẽ thấy, với khái niệm nguyên trên (resp. hàm khả tích) khi không gian compact địa phương T đếm được ở vô cùng (GT, I, §9, No. 9).

Vì vậy, người đọc chỉ quan tâm đến tích phân trong các không gian compact địa phương đếm được ở vô cùng có thể bỏ qua việc đọc các No. 1 đến 3 của §1; trong phần còn lại của chương, khi các không gian được xét là đếm được ở vô cùng, ta thu được các mệnh đề đúng bằng cách bỏ các từ 'cốt yếu' và 'một cách cốt yếu,' và bằng cách thay ký hiệu $\mu^*$ bởi $\mu^*$ và ký hiệu $\int^*$ bởi $\int^*$.

Trong §§1 đến 4, từ độ đo luôn có nghĩa là độ đo dương; các độ đo khác sẽ được gọi rõ là các độ đo không nhất thiết dương hoặc độ đo phức, tùy trường hợp.