Thật vậy, đặt $F'$ là đối ngẫu của $F$ và xét quan hệ $\langle z, a' \rangle \leqslant \alpha$ ($a' \in F', \alpha \in \mathbf{R}$) xác định một nửa không gian đóng chứa $D$. Vì $fg$ khả tích, nên hàm số số học $\langle fg, a' \rangle = \langle f, a' \rangle g$ cũng khả tích, và

(§ 4, No. 2, Hệ quả 1 của Định lý 1); nhưng, theo giả thiết, $\langle f(x), a' \rangle \leqslant \alpha$ với mọi $x \in X$, do đó $\langle f(x)g(x), a' \rangle \leqslant \alpha g(x)$; khi lấy tích phân, ta có

Điều này chứng minh rằng điểm $\frac{\int fg\, d\mu}{\int g\, d\mu}$ thuộc mọi nửa không gian đóng chứa $D$; nhưng, theo định lý Hahn–Banach, $D$ là giao của các nửa không gian đóng chứa nó (TVS, II, §5, No. 3, Hệ quả 1 của Mệnh đề 4), do đó suy ra định lý.

Chỉ cần lấy cho $g$ hàm hằng 1.

Hơn nữa, hai trong ba thành phần của bất đẳng thức (3) không thể bằng nhau trừ khi, trong tập hợp các $x \in X$ sao cho $g(x) \neq 0$, f bằng $M_\infty(f)$ hầu khắp nơi hoặc bằng $m_\infty(f)$ hầu khắp nơi.

Thật vậy, $fg$ là đo được (§ 5, No. 3, Hệ quả 5 của Định lý 1); hơn nữa, bất đẳng thức $m_\infty(f)g(x) \leqslant f(x)g(x) \leqslant M_\infty(f)g(x)$ đúng, không chỉ địa phương hầu khắp nơi, mà thậm chí hầu khắp nơi, bởi vì tập hợp các điểm $x \in X$ nơi $g(x) \neq 0$ là một hợp đếm được của các tập hợp khả tích (§ 5, No. 6, Bổ đề 1). Suy ra rằng $fg$ là khả tích (§ 5, No. 6, Định lý 5) và bất đẳng thức (3) đúng. Mặt khác, hàm $M_\infty(f)g - fg$ được xác định hầu khắp nơi và bằng $(M_\infty(f) - f)g$; do đó nó $\geqslant 0$ hầu khắp nơi trong $X$; vì quan hệ $M_\infty(f) \int g d|\mu| = \int fg d|\mu|$ tương đương với $\int (M_\infty(f) - f)g d|\mu| = 0$, nó chỉ có thể đúng nếu hàm $(M_\infty(f) - f)g$ là không đáng kể, điều này hoàn tất chứng minh.

Bỏ qua trường hợp tầm thường $\int g d|\mu| = 0$, bất đẳng thức (3) có thể được suy ra từ Định lý 1 của No. 1 áp dụng cho khoảng $D = [m_\infty(f), M_\infty(f)]$. Người ta có thể đưa vào Định lý 1 của No. 1 các phần bù tương tự như những phần bù của Mệnh đề 1, xác định trường hợp trong đó điểm $(\int fg d\mu)/(\int g d\mu)$ thuộc biên của D (Bài tập 2).

Vì, xét $(f_n)$ là một dãy Cauchy trong $\mathscr{L}_F^\infty$; với mỗi số nguyên $n$, tồn tại một số nguyên $k_n$ sao cho $N_\infty(f_r - f_s) \leq 1/n$ với $r \geq k_n$ và $s \geq k_n$; do đó, tồn tại một tập hợp không đáng kể địa phương $A_{rs}$ sao cho $|f_r(x) - f_s(x)| \leq 1/n$ với mọi $x \notin A_{rs}$. Nếu $A_n$ là hợp của các tập hợp $A_{rs}$ (với $r \geq k_n$ và $s \geq k_n$), thì $A_n$ là không đáng kể địa phương và, với mọi $x \notin A_n$, $|f_r(x) - f_s(x)| \leq 1/n$ với mọi chỉ số $r \geq k_n, s \geq k_n$. Gọi $A$ là tập hợp không đáng kể địa phương được tạo thành bởi hợp của các $A_n$, và đặt $g_n(x) = f_n(x)$ với $x \notin A$, $g_n(x) = 0$ với $x \in A$; khi đó $g_n$ thuộc $\mathscr{L}_F^\infty$ và, theo định nghĩa của $A$, dãy $(g_n)$ hội tụ đều trên $X$ tới một hàm $g$. Suy ra rằng hàm $g$ là đo được (§ 5, No. 4, Th. 2); hơn nữa, $g$ bị chặn trên tập hợp các $x \in X$ mà $|g_{k_1}(x)| \leq N_\infty(g_{k_1})$ và, vì phần bù của tập hợp này là không đáng kể địa phương, $g$ thuộc $\mathscr{L}_F^\infty$. Hiển nhiên rằng trong $\mathscr{L}_F^\infty$, dãy $(g_n)$ có giới hạn $g$, và do đó điều tương tự cũng đúng với dãy $(f_n)$, vì $N_\infty(f_n - g_n) = 0$ với mọi $n$. Phần thứ hai của mệnh đề được suy ra ngay lập tức từ điều này.

Gọi $f_1$ (tương ứng $g_1$) là một hàm trong $L^p$ (tương ứng $L^q$) mà $f$ (tương ứng $g$) bằng hầu khắp nơi; $fg$ bằng hầu khắp nơi hàm $f_1 g_1$, hàm này được xác định khắp nơi và hữu hạn, và đo được, vì là tích của hai hàm đo được (§ 5, No. 3, Hệ quả 5 của Định lý 1). Nếu $1 < p < +\infty$, bất đẳng thức Hölder đối với tích phân trên (Ch. I, No. 3, Mệnh đề 4) cho bất đẳng thức (4), và quan hệ $N_1(fg) < +\infty$ khi đó chỉ ra rằng $fg$ là khả tích (§ 5, No. 6, Định lý 5). Nếu $p = 1$, $q = +\infty$, bất đẳng thức (4) và sự kiện $fg$ là khả tích là những hệ quả ngay lập tức của bất đẳng thức trung bình (No. 2, Mệnh đề 1); do đó định lý được chứng minh trong mọi trường hợp.

Vì, $\Phi(f, g)$ là đo được (§ 5, No. 3, Hệ quả 5 của Định lý 1); do $|\Phi(f, g)| \leq |f| \cdot |g|$, hệ quả suy ra từ Định lý 2 và tiêu chuẩn khả tích của § 5, No. 6, Định lý 5.

Hai trường hợp đặc biệt của Hệ quả 1 có tầm quan trọng trong các ứng dụng:

Vì, $|\langle z, z' \rangle| \leq |z| \cdot |z'|$.

Khi $F$ là một không gian Hilbert thực hoặc phức, ta biết rằng nó có thể được đồng nhất một cách chính tắc với đối ngẫu $F'$ của nó (TVS, V, § 1, No. 7). Vì không gian $L_F^2$ là đầy đủ, ta có kết quả sau:

Vì, tích $f_1^{\alpha_1} f_2^{\alpha_2} \cdots f_n^{\alpha_n}$ là đo được, vì nó là tích của các hàm đo được (§ 5, No. 3, Th. 1 và Hệ quả 5 của nó); do bất đẳng thức (8) đúng đối với các tích phân trên (Ch. I, No. 2, Hệ quả của Mệnh đề 2), hàm $f_1^{\alpha_1} f_2^{\alpha_2} \cdots f_n^{\alpha_n}$ là khả tích (§ 5, No. 6, Th. 5), do đó có hệ quả.

Hệ quả 2 của Th. 2 được làm sắc hơn bởi mệnh đề sau:

1° Với mọi hàm $f \in \mathscr{L}_F^p$ ($1 \leq p \leq +\infty$),

khi g chạy qua tập hợp các hàm trong $\mathscr{L}_{F'}^q$, sao cho $N_q(g) \leq 1$.

2° Với mọi hàm $g \in \mathscr{L}_{F'}^q$ ($1 \leq q \leq +\infty$),

khi f chạy qua tập hợp các hàm trong $\mathscr{L}_F^p$ sao cho $N_p(f) \leq 1$.

Trước hết ta chứng minh quan hệ (9); ta phân biệt hai trường hợp.

(i) $1 \leq p < +\infty$. Quan hệ (9) là tầm thường khi $N_p(f) = 0$ (vì khi đó f và $\langle f, g \rangle$ là không đáng kể), nên ta luôn có thể giả sử, bằng cách nhân f với một vô hướng, rằng $N_p(f) = 1$. Trước hết giả sử rằng f là một hàm bậc thang khả tích, $f = \sum_{k=1}^n a_k \varphi_{A_k}$, trong đó các $A_k$ rời nhau từng đôi một (§ 4, No. 9, Bổ đề). Do đó $\sum_{k=1}^n |a_k|^p \mu(A_k) = 1$ theo giả thiết. Với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại (với mỗi chỉ số k) một vectơ $a'_k \in F'$ sao cho $|a'_k|^q = |a_k|^p$ nếu $p > 1$ (tương ứng $|a'_k| = 1$ nếu $p = 1$) và $\langle a_k, a'_k \rangle \geq (1 - \varepsilon)|a_k| \cdot |a'_k|$ (TVS, IV,

§1, No. 3, Mệnh đề 8). Đặt $g = \sum_{k=1}^n a_k' \varphi_{A_k}$, ta có $\sum_{k=1}^n |a_k'|^q \mu(A_k) = 1$ nếu $p > 1$ (tương ứng $\sup_{1 \leq k \leq n} |a_k'| = 1$ nếu $p = 1$), do đó $N_q(g) = 1$; mặt khác,

và, vì $|a_k'| = |a_k|^{p/q} = |a_k|^{p-1}$ nếu $p > 1$ (tương ứng $|a_k'| = 1$ nếu $p = 1$), ta có

điều này chứng minh quan hệ (9) trong trường hợp này.

Ta chuyển sang trường hợp f là một phần tử bất kỳ của $\mathscr{L}_F^p$ sao cho $N_p(f) = 1$. Với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một hàm bậc thang $f_1 \in \mathscr{L}_F^p$ sao cho $N_p(f - f_1) \leq \varepsilon$ (§ 4, No. 10, Hệ quả 1 của Mệnh đề 19). Theo điều vừa thấy, tồn tại một hàm $g \in \mathscr{L}_F^q$, sao cho $N_q(g) = 1$ và

Bây giờ,

và, theo (6),

do đó

điều này chứng minh (9).

(ii) $p = +\infty$. Ta lại có thể tự hạn chế vào trường hợp $N_\infty(f) > 0$. Cho $\alpha$ là một số tùy ý sao cho $0 < \alpha < N_\infty(f)$; theo giả thiết, tập hợp các $x \in X$ sao cho $|f(x)| > \alpha$ là đo được và không địa phương không đáng kể, do đó nó chứa một tập compact $K$ có độ đo $> 0$. Vì $f$ là đo được, tồn tại một tập compact $K_1 \subset K$ có độ đo $> 0$, sao cho hạn chế của $f$ lên $K_1$ là liên tục. Suy ra rằng, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một phân hoạch của $K_1$ thành một số hữu hạn các tập hợp khả tích, trong mỗi tập hợp đó dao động của $f$ là $\leq \varepsilon$; ít nhất một trong các tập hợp này $A$ có độ đo > 0. Gọi $a$ là một trong các giá trị của $f$ trong $A$; khi đó $|a| > \alpha$ và $|f(x) - a| \leq \varepsilon$ với mọi $x \in A$. Tồn tại một vectơ $a' \in F'$ sao cho $|a'| = 1$ và $|\langle a, a' \rangle| \geq |a| - \varepsilon$; hàm $g = \varphi_A \cdot a'/\mu(A)$ là khả tích và $N_1(g) = 1$; mặt khác,

Bây giờ, ta có thể viết

và vì

ta thấy rằng

vì $\varepsilon$ là tùy ý và $\alpha$ là bất kỳ số nào < $N_\infty(f)$, quan hệ (9) cũng được kiểm chứng trong trường hợp này.

Ta lập luận hoàn toàn theo cùng một cách để chứng minh quan hệ (10), bằng cách xét riêng trường hợp $1 \leq q < +\infty$ và trường hợp $q = +\infty$, và sử dụng sự kiện rằng với mọi $z' \in F'$, $|z'| = \sup_{|z| \leq 1} |\langle z, z' \rangle|$ theo định nghĩa của chuẩn trong $F'$.

Ta đã biết (Ch. I, No. 3, Mệnh đề 5) rằng tập hợp $J$ các số hữu hạn $p \geq 1$ sao cho $N_p(f) < +\infty$ hoặc là rỗng hoặc là một khoảng, và rằng $\log N_p(f)$ là một hàm lồi của $1/p$ trên $J$ (khi $f$ không đáng kể); điều này dĩ nhiên suy ra tính liên tục của $p \mapsto N_p(f)$ trên $J$.

Nếu $J$ rỗng thì hoặc là $I = \varnothing$ hoặc là $I = \{+\infty\}$, và mệnh đề là hiển nhiên trong trường hợp này; từ nay giả sử rằng $J$ khác rỗng. Mệnh đề cũng hiển nhiên nếu $f$ đáng kể; từ nay giả sử rằng $f$ không đáng kể. Nếu $s \in J$ thì, với mọi số hữu hạn $p > s$, $|f|^p = |f|^s |f|^{p-s}$, và bất đẳng thức của trung bình cho thấy rằng

Cho $p$ tiến tới $+\infty$, suy ra rằng

Điều này chứng minh rằng nếu $+\infty \in I$ thì $J$ chứa các số lớn tùy ý; do đó $I$ thực sự là một khoảng của $\overline{\mathbf{R}}$, và $\overline{I} = \overline{J}$. Mệnh đề sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra rằng $p \mapsto N_p(f)$ là liên tục trên $\overline{J}$, và chỉ cần thiết lập tính liên tục tại các đầu mút của $J$. Hơn nữa, ta có thể giả sử rằng $J$ không rút gọn thành một điểm. Gọi $r$ và $s$ là các đầu mút trái và phải của $J$ ($r < s \leq +\infty$). Gọi $A$ là tập hợp (đo được) các $x \in X$ sao cho $|f(x)| \geq 1$; khi đó

Khi $p \in J$ tiến tới $r$, $|f|^p \varphi_A$ tiến tới $|f|^r \varphi_A$ trong khi giảm, và $|f|^p \varphi_{C_A}$ tiến tới $|f|^r \varphi_{C_A}$ trong khi tăng. Do đó $\int |f|^p \varphi_{C_A} d|\mu|$ tiến tới $\int^* |f|^r \varphi_{C_A} d|\mu|$ (§ 1, No. 3, Th. 3). Mặt khác, $|f|^p \varphi_A$ khả tích đối với $p \in J$, và $\int |f|^p \varphi_A d|\mu|$ tiến tới $\int |f|^r \varphi_A d|\mu|$ (§ 4, No. 3, Prop. 4). Vì vậy $\int |f|^p d|\mu|$ tiến tới $\int^* |f|^r d|\mu|$, điều này chứng minh tính liên tục của $p \mapsto N_p(f)$ tại $r$.

Có thể áp dụng cùng một lập luận tại điểm $s$ nếu $s < +\infty$. Cuối cùng, giả sử rằng $s = +\infty$. Theo (13), chỉ cần chứng minh rằng

Bây giờ, cho $a$ là một số sao cho $0 < a < N_\infty(f)$. Vì theo giả thiết, tồn tại các giá trị hữu hạn của $p$ sao cho $N_p(f) < +\infty$, tập hợp $A$ gồm các $x \in X$ sao cho $|f(x)| \geq a$, là đo được và không có độ đo bằng không, là khả tích nhờ bất đẳng thức $\varphi_A \leq (|f|/a)^p$; hơn nữa, từ bất đẳng thức này ta suy ra rằng $N_p(f) \geq a \cdot (|\mu|(A))^{1/p}$; cho $p$ tiến tới $+\infty$, suy ra rằng $\liminf_{p \to +\infty} N_p(f) \geq a$, điều này hoàn tất chứng minh.

Lập luận tương tự cũng được áp dụng tại điểm $s$ nếu $s < +\infty$. Cuối cùng, giả sử rằng $s = +\infty$. Theo (13), chỉ cần chứng minh rằng

Bây giờ, cho $a$ là một số sao cho $0 < a < N_\infty(f)$. Vì theo giả thiết, tồn tại các giá trị hữu hạn của $p$ sao cho $N_p(f) < +\infty$, tập hợp $A$ gồm các $x \in X$ sao cho $|f(x)| \geq a$, là đo được và không có độ đo bằng không, là khả tích nhờ bất đẳng thức $\varphi_A \leq (|f|/a)^p$; hơn nữa, từ bất đẳng thức này ta suy ra rằng $N_p(f) \geq a \cdot (|\mu|(A))^{1/p}$; cho $p$ tiến tới $+\infty$, suy ra rằng $\liminf_{p \to +\infty} N_p(f) \geq a$, điều này hoàn tất chứng minh.