Nếu điều kiện này được thỏa mãn, ta có thể định nghĩa đệ quy một dãy các tập hợp compact rời nhau từng đôi một $K_n \subset K$ sao cho $|\mu|(K - \bigcup_{i=1}^n K_i) \leq 1/n$ và sao cho hạn chế của $f$ trên mỗi $K_n$ là liên tục ($§ 4$, No. 6, Th. 4); phần bù trong $K$ của hợp các $K_n$ khi đó là không đáng kể ($§ 4$, No. 5, Cor. of Prop. 7), do đó $f$ là đo được. Ngược lại, giả sử tồn tại một tập hợp không đáng kể $N \subset K$ và một phân hoạch $(K_n)$ của $K - N$ tạo thành bởi các tập hợp compact sao cho hạn chế của $f$ trên mỗi $K_n$ là liên tục; với mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại một số nguyên $n$ sao cho, nếu $H = \bigcup_{i=1}^n K_i$, thì $|\mu|(K - H) \leq \varepsilon$ (§ 4, No. 5, Cor. of Prop. 7); tập hợp $H$ là compact, các $K_i$ ($1 \leq i \leq n$) tạo thành một phân hoạch hữu hạn của $H$ thành các tập hợp compact, và hạn chế của $f$ trên mỗi $K_i$ là liên tục; do đó hạn chế của $f$ trên $H$ là liên tục.

Với mỗi số nguyên $n \geq 1$ tồn tại một tập compact $K_n \subset K$ sao cho $|\mu|(K - K_n) \leq \varepsilon / 2^n$ và hạn chế của $f_n$ trên $K_n$ là liên tục. Tập hợp $K_0 = \bigcap_{n=1}^\infty K_n$ là compact, các hạn chế trên $K_0$ của tất cả các hàm $f_n$ đều liên tục và, vì $K - K_0$ được chứa trong hợp của các $K - K_n$, ta có $|\mu|(K - K_0) \leq \sum_{n=1}^\infty \varepsilon / 2^n = \varepsilon$.

Điều kiện là cần, vì hợp của một dãy các tập khả tích $A_n$ là khả tích khi $\sum_n |\mu|(A_n)$ là hữu hạn (§ 4, No. 5, Hệ quả của Mệnh đề 8). Điều kiện là đủ vì, với mọi tập khả tích $B$, tồn tại một tập không đáng kể $N \subset B$ và một phân hoạch của $B - N$ thành một dãy các tập compact (§ 4, No. 6, Hệ quả 2 của Định lý 4).

Đặc biệt, toàn bộ không gian $X$ là đo được.

Theo Mệnh đề 3, chỉ cần kiểm tra rằng mọi tập Souslin tương đối compact A đều là μ-khả tích. Nhưng một tập như vậy A là capacitable đối với $|\mu|^*$ (GT, IX, §6, No. 9, Định lý 5). Do đó, với mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại một tập con compact K của A sao cho $|\mu|^*(A) \leq |\mu|^*(K) + \varepsilon = |\mu|(K) + \varepsilon$. Gọi U là một tập mở tương đối compact trong X chứa A sao cho

Khi đó $|\mu|^*(U - K) = |\mu|(U) - |\mu|(K) \leq 2\varepsilon$, do đó $|\mu|^*(A - K) \leq 2\varepsilon$, điều này chứng minh rằng A là μ-khả tích (§4, No. 6, Hệ quả 1 của Định lý 4).

Cho K là một tập compact; tồn tại một số hữu hạn các điểm $x_i \in K$ sao cho các $V_{x_i}$ tạo thành một phủ của K. Suy ra ngay (§4, No. 9, Bổ đề) rằng tồn tại một tập không đáng kể $N \subset K$ và một phân hoạch hữu hạn của $K - N$ tạo bởi các tập khả tích $M_j$ sao cho mỗi tập $K \cap V_{x_i}$ là hợp của một tập con của N và của một số các $M_j$, và sao cho trên mỗi $M_j$, $f$ bằng một trong các hàm $g_{x_i}$. Bây giờ, với mỗi $M_j$ tồn tại một tập không đáng kể $N_j \subset M_j$ và một phân hoạch của $M_j - N_j$ tạo bởi một dãy các tập compact $K_{nj}\ (\mathbf{n} \in \mathbf{N})$; mặt khác, với mỗi $K_{nj}$ tồn tại một tập không đáng kể $P_{nj} \subset K_{nj}$ và một phân hoạch của $K_{nj} - P_{nj}$ tạo bởi một dãy các tập compact $K_{mnj}\ (\mathbf{m} \in \mathbf{N})$ sao cho hạn chế của $f$ trên mỗi $K_{mnj}$ là liên tục. Vì hợp của N, các $N_j$ và các $P_{nj}$ là không đáng kể, $f$ là đo được.

Do đó khái niệm hàm đo được là một khái niệm có đặc trưng địa phương.

Điều kiện này hiển nhiên là đủ vì mọi điểm của X đều có một lân cận compact. Nó là cần, vì nếu, với mọi $x \in K$, tồn tại một lân cận $V_x$ của $x$ sao cho $A \cap V_x$ là không đáng kể, thì tồn tại một số hữu hạn các điểm $x_i \in K$ sao cho các $V_{x_i}$ tạo thành một phủ của K, và $A \cap K$ được chứa trong hợp của các tập không đáng kể $A \cap V_{x_i}$.

Điều kiện này hiển nhiên là cần. Ngược lại, nếu nó được thỏa mãn thì A được chứa trong một tập mở khả tích G, là hợp của một tập không đáng kể N và một dãy $(K_n)$ các tập compact (§ 4, No. 6, Hệ quả 2 của Định lý 4); vì $A \cap N$ và các tập $A \cap K_n$ là không đáng kể, hợp của chúng là A cũng vậy.

Thật vậy, độ đo ngoài của một tập mở G là cận trên đúng của các độ đo $|\mu|(K)$ của các tập compact $K \subset G$ (§ 4, No. 6, Hệ quả 4 của Định lý 4); nếu G không đáng kể địa phương thì $|\mu|(K) = 0$ với mọi tập compact K được chứa trong G, do đó $|\mu|^*(G) = 0$.

Vì X là hợp của một dãy $(K_n)$ các tập compact, mọi tập không đáng kể địa phương A là hợp của các tập không đáng kể $A \cap K_n$, nên là không đáng kể.

Có thể cho các ví dụ về những không gian compact địa phương không đếm được ở vô cực, và về những độ đo trên một không gian như vậy X sao cho tồn tại những tập trong X không đáng kể địa phương nhưng không không đáng kể (§ 1, Exer. 5).

Với mọi tập compact $K \subset X$, $K \cap N$ là không đáng kể (Mệnh đề 5), do đó, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập compact $K_1 \subset K - (K \cap N)$ sao cho $|\mu|(K - K_1) \leq \varepsilon$ (§ 4, No. 6, Định lý 4), và theo giả thiết hạn chế của f trên $K_1$ là liên tục, do đó suy ra kết luận.

Nếu $P\{x\}$ là một tính chất, thì theo định nghĩa, tính chất « P\{x\} địa phương hầu khắp mọi nơi (đối với $\mu$) » tương đương với tính chất « tập hợp các x sao cho (x $\in$ X và không $P\{x\}$) là địa phương không đáng kể (đối với độ đo $\mu$) ». Nếu F là một tập hợp bất kỳ, quan hệ «$f(x) = g(x)$ địa phương hầu khắp mọi nơi» là một quan hệ tương đương trong tập hợp các ánh xạ từ X vào F. Đặc biệt, nếu F là một không gian vectơ, một ánh xạ $f$ từ X vào F sao cho f(x) = $0\text{ hầu khắp mọi nơi địa phương được gọi là } \textit{địa phương không đáng kể}$. Chúng tôi để cho người đọc tự thiết lập đối với các khái niệm này phần lớn các tính chất tương ứng với những tính chất đã được liệt kê trong §2, Số. 4, 5 và 6 đối với các hàm bằng nhau hầu khắp mọi nơi. Chúng tôi sẽ chỉ giới hạn ở việc nhận thấy rằng nếu hai ánh xạ \emph{liên tục} $f, g$ từ X vào một không gian tôpô Hausdorff F bằng nhau \emph{địa phương hầu khắp mọi nơi}, thì chúng bằng nhau \emph{hầu khắp mọi nơi} theo Hệ quả 2 của Mệnh đề 5 (do đó bằng nhau tại mọi điểm thuộc giá của $\mu$ (§ 2, Số 4, Mệnh đề 9)); tuy nhiên, chúng tôi phát biểu tường minh mệnh đề sau đây, là một hệ quả ngay lập tức của nguyên lý địa phương hóa:

Với mọi tập con compact K của X và mọi số $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập compact $K_1 \subset K$ sao cho $|\mu|(K - K_1) \leq \varepsilon$ và sao cho các hạn chế trên $K_1$ của tất cả các hàm $f_n$ đều liên tục (No. 1, Prop. 2); hiển nhiên là $u \circ f$ liên tục trên $K_1$, do đó suy ra định lý.

Như vậy tập hợp các ánh xạ đo được từ X vào một không gian vectơ tôpô F là một không gian vectơ.

Đặc biệt, nếu f là một ánh xạ đo được từ X vào một không gian định chuẩn thực (resp. phức) F, và g là một ánh xạ đo được từ X vào R (resp. C), thì gf là đo được. Nếu F là một đại số định chuẩn và f, g là hai ánh xạ đo được từ X vào F, thì fg là đo được.

Mệnh đề thứ nhất hiển nhiên suy ra từ mệnh đề thứ hai, điều mà ta sẽ chứng minh. Tồn tại một tập compact $K_0 \subset K$ sao cho $|\mu|(K - K_0) \leq \varepsilon/2$ và sao cho các hạn chế lên $K_0$ của mọi hàm $f_\alpha$ đều liên tục (No. 1, Prop. 2). Gọi $(A_n)$ là một cơ sở đếm được giảm của bộ lọc $\mathfrak{F}$; gọi d là một metric trên F tương thích với tôpô. Với mọi cặp số nguyên $n > 0,\ r > 0$, gọi $B_{n,r}$ là tập hợp các điểm $x \in K_0$ sao cho, đối với ít nhất một cặp chỉ số $\alpha, \beta$ thuộc $A_n$, ta có $d(f_\alpha(x), f_\beta(x)) \geq 1/r$; với $\alpha$ và $\beta$ cố định, tập hợp các $x \in K_0$ sao cho $d(f_\alpha(x), f_\beta(x)) \geq 1/r$ là đóng trong $K_0$, nên là compact; do đó, $B_{n,r}$ là một hợp đếm được các tập compact được chứa trong $K_0$, nên khả tích (§ 4, No. 5, Props. 6 and 8). Nếu $r$ cố định, thì giao của dãy giảm các tập hợp $B_{n,r}$ ($n = 1, 2, \ldots$) có độ đo không, vì $f_\alpha(x)$ tiến tới $f(x)$ hầu khắp mọi nơi trong $K_0$ đối với bộ lọc $\mathfrak{F}$; do đó $\lim_{n \to \infty} |\mu|(B_{n,r}) = 0$ (§ 4, No. 5, Cor. of Prop. 7), do đó tồn tại một số nguyên $n_r$ sao cho $|\mu|(B_{n_r,r}) \leq \varepsilon/2^{r+2}$. Gọi $B$ là hợp (với $r = 1, 2, \ldots$) của các tập $B_{n_r,r}$; $B$ khả tích và

(§ 4, No. 5, Cor. of Prop. 8). Gọi $C$ là phần bù của $B$ trong $K_0$; theo phép dựng, $f_\alpha(x)$ hội tụ đều tới $f(x)$ trên $C$ đối với bộ lọc $\mathfrak{F}$, và vì các hạn chế của các $f_\alpha$ lên $C$ là liên tục, nên hạn chế của $f$ lên $C$ cũng vậy. Khi đó chỉ cần lấy một tập compact $K_1 \subset C$ sao cho $|\mu|(C - K_1) \leq \varepsilon/4$ để thỏa mãn các điều kiện của mệnh đề, vì $|\mu|(K - K_1) = |\mu|(K - K_0) + |\mu|(B) + |\mu|(C - K_1) \leq \varepsilon$.

Các kết luận của Th. 2 không nhất thiết còn đúng nếu $F$ không khả mêtric hóa (Exer. 1). Nếu $F$ khả mêtric hóa, và tập hợp $A$ không đếm được nhưng bộ lọc $\mathfrak{F}$ có một cơ sở đếm được, thì kết luận thứ nhất của Th. 2 lại vẫn đúng; thật vậy, nếu $(A_n)$ là một cơ sở đếm được của $\mathfrak{F}$ và $\alpha_n$ là một phần tử của $A_n$, thì $f$ là giới hạn của dãy $(f_{\alpha_n})$ địa phương hầu khắp mọi nơi, nên là đo được; tuy nhiên, kết luận thứ hai của Th. 2 không còn nhất thiết đúng nữa (x. Exer. 4).

Thật vậy, đường thẳng thực mở rộng $\overline{\mathbf{R}}$, do đồng phôi với một khoảng compact của $\mathbf{R}$, là khả mêtric. Hàm $\sup_n f_n$ là giới hạn từng điểm của dãy tăng các hàm $g_n = \sup(f_1, f_2, \ldots, f_n)$, các hàm này đo được (No. 3, Hệ quả 1 của Định lý 1); tương tự, $\limsup_{n \to \infty} f_n$ là giới hạn từng điểm của dãy giảm các hàm $h_n = \sup_{p \geq 0} f_{n+p}$, trong đó mỗi hàm đều đo được theo điều vừa nói trên. Sau cùng, vì $\inf_n f_n = -\sup(-f_n)$ và $\liminf_{n \to \infty} f_n = -\limsup_{n \to \infty} (-f_n)$, các hàm này đo được.

Thật vậy, nếu M và N đo được thì các hàm

đo được theo No. 3, Hệ quả 3 và 5 của Định lý 1. Nếu $(M_n)$ là một dãy các tập hợp đo được và M là hợp của chúng, thì $\varphi_M = \sup_n \varphi_{M_n}$ đo được theo Hệ quả 1 của Định lý 2, do đó có hệ quả.

Đặc biệt, vì các tập mở là đo được:

Điều kiện là đủ theo định lý Egoroff và nguyên lý địa phương hóa. Hãy chứng minh rằng nó là cần thiết: theo giả thiết, tồn tại một tập không đáng kể $N \subset K$ và một phân hoạch $(K_m)$ của $K - N$ gồm các tập compact sao cho hạn chế của $f$ trên mỗi $K_m$ là liên tục. Để định nghĩa dãy $(g_n)$, chỉ cần tiến hành theo cách sau: lấy $d$ là một metric tương thích với tôpô của F; với mỗi $K_i$ có chỉ số $i \leq n$, tồn tại một phân hoạch hữu hạn của $K_i$ thành các tập khả tích $A_{ij}$ ($1 \leq j \leq q_i$) đủ nhỏ để độ dao động của $f$ trên mỗi $A_{ij}$ là $\leq 1/n$ (§ 4, No. 9, Bổ đề); lấy $g_n$ là hằng trên mỗi $A_{ij}$, bằng một trong các giá trị của $f$ trong tập hợp này (với $1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq q_i$), và bằng một phần tử cố định $a \in \mathbf{F}$ tại mọi điểm của $X$ không thuộc bất kỳ $A_{ij}$ nào. Rõ ràng dãy $(g_n(x))$ hội tụ về $f(x)$ tại mọi điểm của $K$ không thuộc $N$.

Với các ký hiệu như trong chứng minh của Định lý 3, và ký hiệu bởi $a_{ij}$ một trong các giá trị của $f$ trong $A_{ij}$, chỉ cần lấy, làm giá trị của $g_n$ trong $A_{ij}$, điểm 0 nếu $|a_{ij}| \leq 1/n$ và điểm $a_{ij}(1 - 1/(n|a_{ij}|))$ trong trường hợp ngược lại; sau cùng, đặt $g_n(x) = 0$ trên phần bù của hợp các $A_{ij}$ ($1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq q_i$).

Nếu $X$ là hợp của một dãy tăng $(A_n)$ các tập compact, thì các tập $A_n - A_{n-1}$ khác rỗng tạo thành một phân hoạch của $X$ thành các tập hợp khả tích; do đó, tồn tại một tập không đáng kể $N \subset X$ và một phân hoạch của $\mathbf{C}N$ gồm một dãy $(K_n)$ các tập compact sao cho hạn chế của $f$ trên mỗi $K_n$ là liên tục; khi đó có thể kết thúc chứng minh như trong Đl. 3 mà không cần sửa đổi.

Chỉ cần thực hiện chứng minh đối với ảnh ngược $^{-1}f(A)$ của một tập đóng $A$ trong $F$. Cho $K$ là một tập con compact của $X$; tồn tại một tập không đáng kể $N \subset K$ và một phân hoạch $(K_n)$ của $K - N$ gồm các tập compact sao cho hạn chế của $f$ trên mỗi $K_n$ là liên tục. Khi đó giao $K_n \cap ^{-1}f(A)$ là ảnh ngược của tập đóng $A$ theo hạn chế của $f$ trên $K_n$; vì vậy nó là một tập đóng trong $K_n$, nên compact. Do đó tập $K \cap ^{-1}f(A)$ là hợp của tập không đáng kể $N \cap ^{-1}f(A)$ và các tập compact $K_n \cap ^{-1}f(A)$, điều này chứng minh rằng $^{-1}f(A)$ là đo được.

Điều kiện a) là cần theo Mệnh đề 7; mặt khác, theo các ký hiệu của Đl. 3, điều kiện b) được thỏa mãn khi lấy H là tập đếm được tạo bởi các giá trị của tất cả các hàm $g_n$.

Bây giờ ta hãy chỉ ra rằng các điều kiện a) và b) là đủ. Cho K là một tập con compact bất kỳ của X; tồn tại một tập con không đáng kể N của K sao cho $f(K - N)$ được chứa trong bao đóng của một tập đếm được các điểm của F, mà ta sắp thành một dãy $(a_n)$. Gọi $A_{n,p}$ là tập hợp các $x \in K - N$ sao cho $d(f(x), a_n) \leq 1/p$. Theo điều kiện a), suy ra $A_{n,p}$ là đo được. Với $p$ cố định, định nghĩa truy hồi một dãy các tập $B_{n,p} \subset K - N$ bằng cách đặt

các tập $B_{n,p}$ là đo được, và những tập khác rỗng tạo thành một phân hoạch của $K - N$. Gọi $g_{m,p}$ là hàm bằng $a_i$ trên tập $B_{i,p}$ với $1 \leq i \leq m$ và bằng một hằng $b \in F$ trên phần bù của hợp của các tập ấy; $g_{m,p}$ là một hàm bậc thang đo được; khi $m$ tiến ra vô hạn, $g_{m,p}$ hội tụ điểm đến hàm $f_p$ bằng $a_n$ trên $B_{n,p}$ ($n \geq 1$) và bằng $b$ trên $N \cup C K$, do đó (Định lý 2) $f_p$ là đo được. Khi $p$ tiến ra vô hạn, $f_p(x)$ tiến đến $f(x)$ với mọi $x \in K - N$, và đến $b$ với $x \in N \cup C K$; vì thế giới hạn của các $f_p$ là đo được, và nguyên lý địa phương hóa chứng minh rằng bản thân $f$ là đo được.

Thật vậy, nếu như vậy thì, với mọi $b \in \overline{\mathbf{R}}$, tập hợp các $x$ sao cho $f(x) \geqslant b$ là đo được, vì đó là giao của các tập hợp (tạo thành một họ đếm được) các $x$ sao cho $f(x) \geqslant a$, khi $a$ chạy qua tập hợp các điểm của D mà $\leqslant b$. Tập hợp các $x$ sao cho $f(x) < b$ là đo được, vì đó là phần bù của một tập hợp đo được. Tiếp theo, nếu $b$ là hữu hạn thì tập hợp các $x$ sao cho $f(x) \leqslant b$ là đo được, vì đó là giao của các tập hợp các $x$ sao cho $f(x) < b + 1/n$; và $f(-\infty)^{-1}$ là đo được, vì đó là giao của các tập hợp các $x$ sao cho $f(x) < n$, khi $n$ chạy qua $\mathbf{Z}$. Sau cùng, ảnh ngược qua $f$ của mọi khoảng đóng của $\overline{\mathbf{R}}$ là đo được, vì đó là giao của hai tập hợp đo được, và có thể áp dụng Định lý 4.

Tương tự, người ta có thể chứng minh rằng chỉ cần với mọi $a \in \mathrm{D}$, tập hợp các $x$ sao cho $f(x) > a$ là đo được.

Thật vậy, nếu $f$ là nửa liên tục dưới, thì tập hợp các $x \in \mathrm{X}$ sao cho $f(x) \leqslant a$ là đóng với mọi $a \in \overline{\mathbf{R}}$.

Khi F khả mêtric và compact, Mệnh đề 7 cho phép làm sắc bén hơn Định lý 3 như sau:

Gọi $d$ là một metric tương thích với tôpô của F. Với mỗi số nguyên dương $n$ tồn tại một số hữu hạn các điểm $a_k \in \mathrm{F}$ sao cho các quả cầu đóng $B_k$ tâm $a_k$ và bán kính $1/n$ tạo thành một phủ của F; do đó các tập hợp $A_k = f^{-1}(B_k)$ là đo được (Mệnh đề 7) và tạo thành một phủ của X. Do đó (§ 4, No. 9, Bổ đề) tồn tại một phân hoạch $(C_i)$ của X thành một số hữu hạn các tập hợp đo được sao cho mỗi $A_k$ là hợp của một số $C_i$ nào đó. Gọi $c_i$ là một điểm của $C_i$ và gọi $g_n$ là hàm bậc thang đo được bằng $f(c_i)$ trên $C_i$ (với mỗi chỉ số $i$). Hiển nhiên là $d(f(x), g_n(x)) \leqslant 2/n$ với mọi $x \in \mathrm{X}$.

Điều kiện này hiển nhiên là cần (No. 3, Định lý 1), hãy chứng minh rằng nó là đủ; chỉ cần kiểm tra điều kiện a) của Định lý 4 và, để làm điều này,

¹ Xem chú thích ở cuối § 2, No. 4.

theo nguyên lý địa phương, chỉ cần chứng minh rằng, với mọi tập compact K của X và mọi quả cầu đóng $B \subset F$, tâm $a$ và bán kính $r$, tập hợp $A = K \cap f^{-1}(B)$ là đo được; mà, với mọi $z \in F$,

do đó $A$ là giao của $K$ và các tập hợp được xác định bởi

vì các tập hợp này là đo được theo giả thiết, $A$ là đo được.

a) với mọi $a' \in F'$, hàm vô hướng $x \mapsto \langle f(x), a' \rangle$ là đo được;

b) với mọi tập compact $K \subset X$, tồn tại một tập con đếm được H của F sao cho $f(x) \in \overline{H}$ với hầu khắp mọi $x \in K$.

Tính cần thiết của các điều kiện suy ra từ No. 3, Định lý 1, và Định lý 4. Để chứng minh rằng các điều kiện là đủ, ở đây cũng chỉ cần kiểm tra điều kiện a) của Định lý 4. Với các ký hiệu như trong chứng minh của Mệnh đề 10, ta có thể (do b)) giả sử, sau khi sửa đổi $f$ nếu cần trên một tập không đáng kể, rằng $f(K) \subset \overline{H}$, trong đó $H$ là một tập con đếm được của $F$. Nếu $V$ là không gian con tuyến tính đóng của $F$ được sinh bởi tập hợp $H \cup \{a\}$, thì $V$ là một không gian Banach tách được và mọi dạng tuyến tính liên tục trên $V$ đều là hạn chế của một dạng $a' \in F'$; cùng một lập luận như trong Mệnh đề 10 khi đó cho thấy rằng $K \cap f^{-1}(B)$ là đo được.

Ta có thể xem F như một không gian con của một tích đếm được $\prod_n E_n$ của các không gian Banach (TVS, II, §4, No. 3), và ta có thể giả sử rằng $\operatorname{pr}_n(F)$ là trù mật trong $E_n$, do đó $E_n$ là tách được. Với mọi $n$, ánh xạ $\operatorname{pr}_n \circ f$ khi đó là đo được theo Mệnh đề 10, do đó $f$ là đo được theo No. 3, Định lý 1.

Điều kiện là cần theo No. 3, Th. 1; hãy chứng minh rằng nó là đủ. Trước hết giả sử rằng F là mêtric và tách được, và cho D là một tập hợp trù mật đếm được trong F. Cho $(V_n)$ là một dãy cơ bản giảm các lân cận mở lồi cân bằng của 0 trong F; các tập cực $V_n^\circ$ là đồng liên tục và hợp của chúng là toàn bộ $F'$. Đặt $X_n = f^{-1}(V_n^\circ)$; dãy $(X_n)$ là tăng và $X = \bigcup_n X_n$; hãy chỉ ra rằng mỗi $X_n$ là $\mu$-đo được. Thật vậy, $D \cap V_n$ trù mật trong $V_n$; với mọi $y \in D \cap V_n$ đặt $S_y$ là tập hợp các $x \in X$ sao cho $|\langle y, f(x) \rangle| \leq 1$; giả thiết kéo theo rằng mỗi $S_y$ đều đo được, và $X_n$ là giao của họ đếm được các $S_y$ với $y \in D \cap V_n$. Một khi điều đó đã được thiết lập, với mọi tập con compact K của X và mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một số nguyên n sao cho $|\mu|(K - (K \cap X_n)) \leq \varepsilon/4$, rồi một tập con compact $K_1$ của $K \cap X_n$ sao cho $|\mu|((K \cap X_n) - K_1) \leq \varepsilon/4$; cuối cùng, tồn tại một tập con compact $K_2$ của $K_1$ sao cho $|\mu|(K_1 - K_2) \leq \varepsilon/2$ và sao cho các hạn chế lên $K_2$ của tất cả các hàm $\langle y, f \rangle$, với $y \in D$, là liên tục (No. 1, Prop. 2). Vì tập hợp $f(K_2) \subset f(X_n) \subset V_n^\circ$ là đồng liên tục, tôpô cảm sinh bởi $\sigma(F', F)$ trên $f(K_2)$ đồng nhất với tôpô hội tụ điểm trên D (GT, X, §2, No. 4, Th. 1); do đó hạn chế của f lên $K_2$ là liên tục, do đó mệnh đề của ta trong trường hợp thứ nhất này.

Hãy chuyển sang trường hợp tổng quát. Nếu $z'$ là một dạng tuyến tính liên tục trên F, thì hạn chế $z'_n$ của nó lên $F_n$ là liên tục; vì $F = \bigcup_n F_n$, đối ngẫu $F'$ của F có thể được đồng nhất (về mặt đại số) với một không gian con tuyến tính của tích $\prod_n F'_n$, và khi đó $\operatorname{pr}_n(z') = z'_n$. Hơn nữa, vì mọi tập con hữu hạn của F đều được chứa trong một trong các $F_n$, tôpô $\sigma(F', F)$ không là gì khác ngoài tôpô cảm sinh bởi tôpô tích của các tôpô $\sigma(F'_n, F_n)$. Một khi điều đó đã được thiết lập, nếu $\langle a, f \rangle$ đo được với mọi $a \in F$, thì $\langle a_n, \operatorname{pr}_n \circ f \rangle$ cũng vậy với mọi n và mọi $a_n \in F_n$, vì $\langle a_n, \operatorname{pr}_n \circ f \rangle = \langle a_n, f \rangle$; phần đầu của chứng minh khi đó chỉ ra rằng $\operatorname{pr}_n \circ f$ đo được với mọi n, do đó f cũng đo được (No. 3, Th. 1).

Điều kiện là cần thiết: vì, nếu $f \in \mathscr{L}_F^p$ thì tồn tại một dãy $(g_n)$ các hàm liên tục có giá compact hội tụ hầu khắp nơi đến f ($§ 3$, No. 4, Hệ quả 2 của Định lý 3); theo Định lý 2 của No. 4, f là đo được.

Để chứng minh rằng các điều kiện là đủ, trước hết ta thiết lập một bổ đề:

Gọi $A_n$ là tập hợp các điểm $x \in X$ sao cho $|g(x)| \geq 1/n$; A là hợp của các $A_n$, và $\varphi_{A_n} \leq n|g|$, do đó $|\mu|^*(A_n) \leq (n N_p(g))^p$; suy ra $A_n$ được chứa trong hợp của một tập không đáng kể và một dãy các tập compact (§ 4, No. 6, Hệ quả 3 của Định lý 4), bởi vậy A cũng vậy.

Bổ đề đã được chứng minh, trước hết xét trường hợp f có giá compact K. Theo Hệ quả 1 của Định lý 3 của No. 5, tồn tại một dãy $(g_n)$ các hàm bậc thang đo được sao cho $|g_n(x)| \leq |f(x)|$ tại mọi điểm $x \in X$ và sao cho $g_n(x)$ tiến tới $f(x)$ hầu khắp nơi. Khi đó, $g_n$ là một tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập hợp đo được được chứa trong K; vì các tập hợp này khả tích theo Mệnh đề 3 của No. 1, nên $g_n$ thuộc $\mathscr{L}_F^p$. Vì $N_p(f) < +\infty$, định lý của Lebesgue (§ 3, No. 7, Định lý 6) cho thấy f thuộc $\mathscr{L}_F^p$.

Trong trường hợp tổng quát, từ Bổ đề 1 suy ra rằng tồn tại một dãy tăng $(K_n)$ các tập compact sao cho $f(x)$ bằng không hầu khắp nơi trong phần bù của hợp các $K_n$. Gọi $f_n$ là hàm bằng $f(x)$ trên $K_n$ và bằng 0 ở nơi khác; $f_n$ là đo được theo No. 3, Hệ quả 5 của Định lý 1; vì $|f_n| \leq |f|$, nên $f_n$ thuộc $\mathscr{L}_F^p$ theo phần đầu của lập luận. Vì $f(x)$ bằng hầu khắp nơi với giới hạn của dãy $f_n(x)$, định lý của Lebesgue lại chứng minh rằng $f \in \mathscr{L}_F^p$, điều này hoàn tất chứng minh.

Cần chú ý rằng một hàm địa phương không đáng kể nhưng không không đáng kể thì không khả tích; do đó, một hàm bằng địa phương hầu khắp nơi với một hàm khả tích không nhất thiết là khả tích.