En effet, si cette condition est remplie, on peut définir par récurrence une suite d’ensembles compacts $K_n \subset K$, deux à deux sans point commun, tels que $|\mu|\left(K - \left( \bigcup_{i=1}^n K_i \right)\right) \leq 1/n$, et que la restriction de f à chacun des $K_n$ soit continue; le complémentaire par rapport à K de la réunion des $K_n$ est alors négligeable (§ 4, n° 5, cor. de la prop. 7), donc f est mesurable. Inversement, supposons qu’il existe un ensemble négligeable N $\subset K$ et une partition $(K_n)$ de $K - N$ formée d’ensembles compacts tels que la restriction de f à chacun des $K_n$ soit continue; pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un entier $n$ tel que, si $H = \bigcup_{i=1}^n K_i$, on ait $|\mu|(K - H) \leq \varepsilon$ (§ 4, n° 5, cor. de la prop. 7); l’ensemble $H$ est compact, les $K_i$ ($1 \leq i \leq n$) forment une partition finie de $H$ en ensembles compacts et la restriction de $f$ à chacun des $K_i$ est continue; donc la restriction de $f$ à $H$ est continue.

En effet, il existe pour chaque entier $n \geq 1$ un ensemble compact $K_n \subset K$ tel que $|\mu|(K - K_n) \leq \varepsilon/2^n$, et que la restriction de $f_n$ à $K_n$ soit continue. L’ensemble $K_0 = \bigcap_{n=1}^\infty K_n$ est compact, les restrictions à $K_0$ de toutes les fonctions $f_n$ sont continues, et comme $K - K_0$ est contenu dans la réunion des $K - K_n$, on a

La condition est nécessaire parce que la réunion d’une suite d’ensembles intégrables $A_n$ est intégrable lorsque $\sum_n |\mu|(A_n)$ est finie (§ 4, n° 5, cor. de la prop. 8). La condition est suffisante parce que, pour tout ensemble intégrable $B$, il existe un ensemble négligeable $N \subset B$ et une partition de $B - N$ en une suite d’ensembles compacts ($§ 4$, n° 6, cor. 2 du th. 4).

En particulier l’espace $X$ tout entier est mesurable.

En vertu de la prop. 3, il suffit de vérifier que tout ensemble souslinien relativement compact $A$ est $\mu$-intégrable. Or, $A$ est alors capacitable pour $|\mu|^*$ (Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 6, n° 9, th. 5). Donc, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une partie compacte $K$ de $A$ telle que $|\mu|^*(A) \leq |\mu|^*(K) + \varepsilon = |\mu|(K) + \varepsilon$. Soit $U$ une partie ouverte relativement compacte de $X$ contenant $A$ et telle que

Alors $|\mu|^*(U - K) = |\mu|(U) - |\mu|(K) \leq 2\varepsilon$, donc $|\mu|^*(A - K) \leq 2\varepsilon$, ce qui prouve que $A$ est $\mu$-intégrable ($§ 4$, n° 6, cor. 1 du th. 4).

En effet, soit $K$ un ensemble compact ; il existe un nombre fini de points $x_i \in K$ tels que les $V_{x_i}$ forment un recouvrement de $K$. On en conclut aussitôt ($§ 4$, n° 9, lemme 1) qu’il existe un ensemble négligeable $N \subset K$ et une partition finie de $K - N$ formée d’ensembles intégrables $M_j$, tels que chacun des ensembles $K \cap V_{x_i}$ soit réunion d’une partie de $N$ et d’un certain nombre des $M_j$, et que, dans chacun des $M_j$, $f$ soit égale à une des fonctions $g_{x_i}$. Or, pour chaque $M_j$, il existe un ensemble négligeable $N_j \subset M_j$ et une partition de $M_j - N_j$ formée d’une suite d’ensembles compacts $K_{nj}$ ($n \in \mathbf{N}$) ; d’autre part, pour chaque $K_{nj}$, il existe un ensemble négligeable $P_{nj} \subset K_{nj}$, et une partition de $K_{nj} - P_{nj}$ formée d’une suite d’ensembles compacts $K_{mnj}$ ($m \in \mathbf{N}$) telle que la restriction de $f$ à chacun des $K_{mnj}$ soit continue. Comme la réunion de $N$, des $N_j$ et des $P_{nj}$ est négligeable, $f$ est mesurable.

La notion de fonction mesurable est donc une notion de caractère local.

La condition est évidemment suffisante puisque tout point de $X$ a un voisinage compact. Elle est nécessaire, car si, pour tout $x \in K$, il existe un voisinage $V_x$ de $x$ tel que $A \cap V_x$ soit négligeable, alors il existe un nombre fini de points $x_i \in K$ tels que les $V_{x_i}$ forment un recouvrement de $K$, et $A \cap K$ est contenu dans la réunion des ensembles négligeables $A \cap V_{x_i}$.

La condition est évidemment nécessaire. Inversement, si elle est vérifiée, $A$ est contenu dans un ensemble ouvert intégrable $G$, réunion d'un ensemble négligeable $N$ et d'une suite $(K_n)$ d'ensembles compacts (§ 4, n° 6, cor. 2 du th. 4); comme $A \cap N$ et les ensembles $A \cap K_n$ sont négligeables, il en est de même de leur réunion $A$.

En effet, la mesure extérieure d’un ensemble ouvert G est la borne supérieure des mesures $|\mu|(K)$ des ensembles compacts $K \subset G$ (§ 4, n° 6, cor. 4 du th. 4); si G est localement négligeable, on a $|\mu|(K) = 0$ pour tout ensemble compact K contenu dans G, donc $|\mu|^*(G) = 0$.

En effet, X étant réunion d’une suite $(K_n)$ d’ensembles compacts, tout ensemble localement négligeable A est réunion des ensembles négligeables $A \cap K_n$, donc est négligeable.

On peut donner des exemples d’espaces localement compacts non dénombrables à l’infini, et de mesures sur un tel espace X, tels qu’il existe dans X des ensembles localement négligeables et non négligeables (§ 1, exerc. 5).

En effet, pour tout ensemble compact $K \subset X$, $K \cap N$ est négligeable (prop. 5), donc, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un ensemble compact $K_1 \subset K - (K \cap N)$ tel que $|\mu|(K - K_1) \leq \varepsilon$ (§ 4, n° 6, th. 4), et par hypothèse la restriction de f à $K_1$ est continue, d’où la conclusion.

Si $P\{x\}$ est une propriété, la propriété « $P\{x\}$ localement presque partout (par rapport à $\mu$) » est par définition équivalente à la propriété « l’ensemble des x tels que $(x \in X$ et non $P\{x\})$ est localement négligeable (pour la mesure $\mu$) ». Si F est un ensemble quelconque, la relation « $f(x) = g(x)$ localement presque partout » est une relation d’équivalence dans l’ensemble des applications de X dans F. En particulier, si F est un espace vectoriel, une application $f$ de X dans F telle que $f(x) = 0$ localement presque partout est dite localement négligeable. Nous-laissons au lecteur le soin d’établir pour ces notions la plupart des propriétés correspondant à celles qui ont été énumérées au § 2, n°s 4, 5 et 6 pour les fonctions égales presque partout. Nous nous bornerons à remarquer que si deux applications continues $f, g$ de X dans un espace topologique séparé F sont égales localement presque partout, elles sont égales presque partout en vertu du cor. 2 de la prop. 5 (et par suite égales en tout point du support de $\mu$ ($§ 2, n^o\ 4,$ prop. 9)); d’autre part, nous expliciterons la proposition suivante, conséquence immédiate du principe de localisation:

En effet, pour toute partie compacte K de X et tout nombre $\varepsilon > 0$, il existe un ensemble compact $K_1 \subset K$ tel que

et que les restrictions à $K_1$ de toutes les fonctions $f_n$ soient continues (n° 1, prop. 2); il est clair que $u \circ f$ est continue dans $K_1$, d’où le théorème.

En effet, $\sup(u, v)$ et $\inf(u, v)$ sont continues dans $\bar{\mathbf{R}} \times \bar{\mathbf{R}}$.

L’ensemble des applications mesurables de $X$ dans un espace vectoriel topologique $F$ est donc un espace vectoriel.

En particulier, si $f$ est une application mesurable de $X$ dans un espace normé $F$ réel (resp. complexe) et $g$ une application mesurable de $X$ dans $\mathbf{R}$ (resp. $\mathbf{C}$), $gf$ est mesurable. Si $F$ est une algèbre normée, $f$ et $g$ deux applications mesurables de $X$ dans $F$, $fg$ est mesurable.

La première assertion résulte évidemment de la seconde, que nous allons démontrer. Il existe un ensemble compact $K_0 \subset K$ tel que $|\mu|(K - K_0) \leq \varepsilon/2$, et que les restrictions à $K_0$ de toutes les fonctions $f_\alpha$ soient continues (n° 1, prop. 2). Soit $(A_n)$ une base dénombrable décroissante du filtre $\mathscr{F}$; soit $d$ une distance sur $F$ compatible avec la topologie. Pour tout couple d’entiers $n > 0$, $r > 0$, soit $B_{n,r}$ l’ensemble des points $x \in K_0$ tels que, pour au moins un couple d’indices $\alpha, \beta$ appartenant à $A_n$, on ait $d(f_\alpha(x), f_\beta(x)) \geq 1/r$; pour $\alpha$ et $\beta$ fixés, l’ensemble des $x \in K_0$ tels que $d(f_\alpha(x), f_\beta(x)) \geq 1/r$ est fermé dans $K_0$, donc compact; par suite, $B_{n,r}$ est réunion dénombrable d’ensembles compacts contenus dans $K_0$, donc est intégrable ($§ 4$, n° 5, prop. 6 et 8). Si l’on fixe $r$, l’intersection de la suite décroissante des ensembles $B_{n,r}$ ($n = 1, 2, \ldots$) est de mesure nulle, puisque $f_\alpha(x)$ tend presque partout vers $f(x)$ dans $K_0$ suivant le filtre $\mathscr{F}$; on a donc $\lim_{n \to \infty} |\mu|(B_{n,r}) = 0$ ($§ 4$, n° 5, cor. de la prop. 7), et il existe par suite un entier $n_r$ tel que $|\mu|(B_{n_r,r}) \leq \varepsilon/2^{r+2}$. Soit $B$ la réunion (pour $r = 1, 2, \ldots$) des ensembles $B_{n_r,r}$; $B$ est intégrable, et on a

($§ 4$, n° 5, cor. de la prop. 8). Soit $C$ le complémentaire de $B$ dans $K_0$; par construction, $f_\alpha(x)$ converge uniformément vers $f(x)$ dans $C$ suivant le filtre $\mathscr{F}$, et comme les restrictions des $f_\alpha$ à $C$ sont continues, il en est de même de la restriction de $f$ à $C$. Il suffit alors de prendre un ensemble compact $K_1 \subset C$ tel que $|\mu|(C - K_1) \leq \varepsilon/4$ pour satisfaire aux conditions de l’énoncé, puisque $|\mu|(K - K_1) = |\mu|(K - K_0) + |\mu|(B) + |\mu|(C - K_1) \leq \varepsilon$.

Les conclusions du th. 2 ne subsistent plus nécessairement si $F$ n’est pas métrisable (exerc. 1). Si $F$ est métrisable et si l’ensemble $A$ n’est pas dénombrable, mais si le filtre $\mathscr{F}$ possède une base dénombrable, la première conclusion du th. 2 est encore valable; en effet, si $(A_n)$ est une base dénombrable de $\mathscr{F}$, et $\alpha_n$ un élément de $A_n$, $f$ est limite localement presque partout de la suite $(f_{\alpha_n})$, donc est mesurable; mais la seconde conclusion du th. 2 n’est plus nécessairement valable (cf. exerc. 4).

En effet, la droite achevée $\bar{\mathbf{R}}$, homéomorphe à un intervalle compact de $\mathbf{R}$, est métrisable. La fonction $\sup f_n$ est limite simple de la suite croissante des fonctions $g_n = \sup^n (f_1, f_2, \ldots, f_n)$, qui sont mesurables (n° 3, cor. 1 du th. 1); de même, $\lim_{n \to \infty} \sup f_n$ est limite simple de la suite décroissante des fonctions $h_n = \sup_{p \geq 0} f_{n+p}$, dont chacune est mesurable d’après ce qui précède. Enfin, comme $\inf f_n = -\sup(-f_n)$ et $\liminf f_n = -\limsup(-f_n)$, ces fonctions sont mesurables.

En particulier, comme les ensembles ouverts sont mesurables :

La condition est suffisante, en raison du th. d’Egoroff et du principe de localisation. Montrons qu’elle est nécessaire : par hypothèse, il existe un ensemble négligeable $N \subset K$ et une partition $(K_m)$ de $K - N$ formée d’ensembles compacts tels que la restriction de $f$ à chacun des $K_m$ soit continue. Pour définir la suite $(g_n)$, il suffit de procéder de la façon suivante : soit $d$ une distance compatible avec la topologie de $F$; pour chaque $K_i$ d’indice $i \leq n$, il existe une partition finie de $K_i$ en ensembles intégrables assez petits $A_{ij}$ ($1 \leq j \leq q_i$) tels que l’oscillation de $f$ dans chacun des $A_{ij}$ soit $\leq 1/n$ (§ 4, n° 9, lemme 1); on prendra $g_n$ constante dans chacun des $A_{ij}$ et égale à une des valeurs de $f$ dans cet ensemble (pour $1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq q_i$), et égale à un élément fixe $a \in F$ pour tout point de $X$ n’appartenant à aucun des $A_{ij}$. Il est clair que la suite $(g_n(x))$ converge vers $f(x)$ en tout point de $K$ n’appartenant pas à $N$.

Avec les notations de la démonstration du th. 3, et en désignant par $a_{ij}$ une des valeurs de $f$ dans $A_{ij}$, il suffira de prendre pour valeur de $g_n$ dans $A_{ij}$, le point 0 si $|a_{ij}| \leq 1/n$, et le point $a_{ij}(1 - 1/(n|a_{ij}|))$ dans le cas contraire; enfin, on prendra $g_n(x) = 0$ dans le complémentaire de la réunion des $A_{ij} (1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq q_i)$.

En effet, si X est réunion d’une suite croissante $(A_n)$ d’ensembles compacts, les ensembles $A_n - A_{n-1}$ non vides forment une partition de X en ensembles intégrables ; il existe par suite un ensemble négligeable $N \subset X$ et une partition de $\mathbf{C}N$ formée d’une suite $(K_n)$ d’ensembles compacts, tels que la restriction de $f$ à chacun des $K_n$ soit continue ; la démonstration du th. 3 peut alors se terminer sans modification.

Il suffit de faire la démonstration pour l’image réciproque $\bar{f}^{-1}(A)$ d’un ensemble A fermé dans F. Soit K une partie compacte de X ; il existe un ensemble négligeable $N \subset K$ et une partition $(K_n)$ de $K - N$ formée d’ensembles compacts tels que la restriction de $f$ à chacun des $K_n$ soit continue. L’intersection $K_n \cap \bar{f}^{-1}(A)$ est donc l’image réciproque de l’ensemble fermé A par la restriction de $f$ à $K_n$ ; c’est par suite un ensemble fermé dans $K_n$, donc compact. L’ensemble $K \cap \bar{f}^{-1}(A)$ est donc réunion de l’ensemble négligeable $N \cap \bar{f}^{-1}(A)$ et des ensembles compacts $K_n \cap \bar{f}^{-1}(A)$, ce qui prouve que $\bar{f}^{-1}(A)$ est mesurable.

a) l’image réciproque par f de toute boule fermée de F est mesurable ;

b) pour tout ensemble compact $K \subset X$, il existe une partie dénombrable H de F, telle que $f(x) \in \bar{H}$ pour presque tout $x \in K$.

La condition a) est nécessaire en vertu de la prop. 7 ; d’autre part, avec les notations du th. 3, on satisfait à la condition b) en prenant pour H l’ensemble dénombrable formé des valeurs de toutes les fonctions $g_n$.

Montrons maintenant que les conditions a) et b) sont suffisantes. Soit K une partie compacte quelconque de X; il existe une partie négligeable N de K telle que $f(K - N)$ soit contenu dans l’adhérence d’un ensemble dénombrable de points de F, que nous rangerons en une suite $(a_n)$. Soit $A_{n,p}$ l’ensemble des $x \in K - N$ tels que $d(f(x), a_n) \leq 1/p$. Il résulte de la condition a) que $A_{n,p}$ est mesurable. Pour $p$ fixé, définissons par récurrence une suite d’ensembles $B_{n,p} \subset K - N$ en posant $B_{1,p} = A_{1,p}$ et $B_{n+1,p} = A_{n+1,p} \cap \bigcap_{k \leq n} C(\bigcup_k A_{k,p})$; les $B_{n,p}$ sont mesurables et ceux qui ne sont pas vides forment une partition de $K - N$. Soit $g_{m,p}$ la fonction égale à $a_i$ dans l’ensemble $B_{i,p}$ pour $1 \leq i \leq m$, et égale à une constante $b \in F$ dans le complémentaire de la réunion de ces ensembles ; $g_{m,p}$ est une fonction étagée mesurable ; lorsque $m$ croît indéfiniment, $g_{m,p}$ converge simplement vers la fonction $f_p$ égale à $a_n$ dans $B_{n,p}$ ($n \geq 1$) et à $b$ dans $N \cup C K$, donc (th. 2) $f_p$ est mesurable. Lorsque $p$ croît indéfiniment, $f_p(x)$ tend vers $f(x)$ pour tout $x \in K - N$, et vers $b$ pour $x \in N \cup C K$; la limite des $f_p$ est donc mesurable, et le principe de localisation prouve que $f$ elle-même est mesurable.

En effet, s’il en est ainsi, pour tout $b \in \bar{\mathbf{R}}$, l’ensemble des $x$ tels que $f(x) \geq b$ est mesurable, comme intersection des ensembles (formant une famille dénombrable) des $x$ tels que $f(x) \geq a$, lorsque $a$ parcourt l’ensemble des points de D qui sont $\leq b$. L’ensemble des $x$ tels que $f(x) < b$ est mesurable, comme complémentaire d’un ensemble mesurable. Enfin, si $b$ est fini, l’ensemble des $x$ tels que $f(x) \leq b$ est mesurable, comme intersection des ensembles des $x$ tels que $f(x) < b + 1/n$; et $f^{-1}(-\infty)$ est mesurable comme intersection des ensembles des $x$ tels que $f(x) < n$, où $n$ parcourt $\mathbf{Z}$. Finalement, l’image réciproque par $f$ de tout intervalle fermé de $\bar{\mathbf{R}}$ est mesurable, comme intersection de deux ensembles mesurables, et le th. 4 s’applique.

On montrerait de même qu’il suffit que pour tout $a \in D$, l’ensemble des $x$ tels que $f(x) > a$ soit mesurable.

En effet, si $f$ est semi-continue inférieurement, l’ensemble des $x \in X^-$ tels que $f(\bar{x}) \leq a$ est fermé pour tout $a \in \bar{\mathbf{R}}$.

La prop. 7 permet de préciser comme suit le th. 3 lorsque F est métrisable et compact :

Soit $d$ une distance compatible avec la topologie de F. Pour tout entier $n$, il existe un nombre fini de points $a_k \in F$ tels que les boules fermées $B_k$ de centre $a_k$ et de rayon $1/n$ forment un recouvrement de F ; les ensembles $A_k = f^{-1}(B_k)$ sont donc mesurables (prop. 7), et forment un recouvrement de X. Il existe par suite (§ 4, n° 9, lemme 1) une partition $(C_i)$ de X en un nombre fini d’ensembles mesurables telle que chacun des $A_h$ soit réunion d’un nombre fini des $C_i$. Soient $c_i$ un point de $C_i$, et $g_n$ la fonction étagée mesurable égale à $f(c_i)$ dans $C_i$ (pour chaque indice i). Il est clair que $d(f(x), g_n(x)) \leq 2/n$ pour tout $x \in X$.

La condition étant évidemment nécessaire (n° 3, th. 1), prouvons qu’elle est suffisante ; il suffit de vérifier la condition a) du th. 4, et pour cela, en vertu du principe de localisation, il suffit de prouver que pour toute partie compacte K de X et toute boule fermée B $\subset F$, de centre $a$ et de rayon $r$, l’ensemble $A = K \cap f^{-1}(B)$ est mesurable; or, pour tout $z \in F$, on a

A est donc l’intersection de $K$ et des ensembles définis par comme ces ensembles sont mesurables par hypothèse, A est mesurable.

La nécessité des conditions résulte du n° 3, th. 1 et du th. 4. Pour prouver que les conditions sont suffisantes, il suffit encore de vérifier la condition a) du th. 4. Avec les mêmes notations que dans la démonstration de la prop. 10, on peut (en vertu de b)) supposer, en modifiant au besoin $f$ dans un ensemble négligeable, que l’on a $f(K) \subset \overline{H}$, où $H$ est une partie dénombrable de F. Si V est le sous-espace vectoriel fermé de F engendré par l’ensemble $H \cup \{a\}$, V est un espace de Banach de type dénombrable et toute forme linéaire continue dans V est la restriction d’une forme $a' \in F'$; le même raisonnement que dans la prop. 10 montre alors que $K \cap f^{-1}(B)$ est mesurable.

En effet, F peut être considéré comme un sous-espace d’un produit dénombrable $\prod_n E_n$ d’espaces de Banach (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 4, n° 3), et l’on peut supposer que $\mathrm{pr}_n(F)$ est dense dans $E_n$, qui est donc de type dénombrable. Pour tout $n$, l’application $\mathrm{pr}_n \circ f$ est alors mesurable en vertu de la prop. 10, donc $f$ est mesurable en vertu du n° 3, th. 1.

La condition est nécessaire en vertu du n° 3, th. 1 ; prouvons qu’elle est suffisante. Supposons d’abord que F soit métrisable et de type dénombrable, et soit D un ensemble dénombrable dense dans F. Soit $(V_n)$ une suite fondamentale décroissante de voisinages ouverts convexes équilibrés de 0 dans F ; les ensembles polaires $V_n^o$ sont équicontinu et leur réunion est $F'$ tout entier. Soit $X_n = f^{-1}(V_n^o)$; la suite $(X_n)$ est croissante et $X = \bigcup_n X_n$; montrons que chacun des $X_n$ est $\mu$-mesurable. En effet, $D \cap V_n$ est dense dans $V_n$; pour tout $y \in D \cap V_n$, soit $S_y$ l’ensemble des $x \in X$ tels que $|\langle y, f(x) \rangle| \leq 1$; l’hypothèse entraîne que chacun des $S_y$ est mesurable, et $X_n$ est l’intersection de la famille dénombrable des $S_y$ pour $y \in D \cap V_n$. Cela étant, pour toute partie compacte K de X et tout $\varepsilon > 0$, il existe un entier $n$ tel que $|\mu|(K - (K \cap X_n)) \leq \varepsilon/4$, puis une partie compacte $K_1$ de $K \cap X_n$ telle que $|\mu|((K \cap X_n) - K_1) \leq \varepsilon/4$; enfin, il existe une partie compacte $K_2$ de $K_1$ telle que $|\mu|(K_1 - K_2) \leq \varepsilon/2$ et que les restrictions à $K_2$ de toutes les fonctions $\langle y, f \rangle$, où $y \in D$, soient continues (n° 1, prop. 2). Comme l’ensemble $f(K_2) \subset f(X_n) \subset V_n^o$ est équicontinu, la topologie induite par $\sigma(F', F)$ sur $f(K_2)$ est identique à la topologie de la convergence simple dans D (Top. gén., chap. X, 2e éd., § 2, n° 4, th. 1); par suite, la restriction de f à $K_2$ est continue, d’où notre assertion dans ce premier cas.

Passons au cas général. Si $z'$ est une forme linéaire continue sur F, sa restriction $z'_n$ à $F_n$ est continue; comme $F = \bigcup_n F_n$, le dual $F'$ de F peut être identifié (algébriquement) à un sous-espace vectoriel du produit $\prod_n F'_n$, et l’on a $\mathrm{pr}_n(z') = z'_n$. En outre, toute partie finie de F étant contenue dans l’un des $F_n$, la topologie $\sigma(F', F)$ n’est autre que la topologie induite par la topologie produit des topologies $\sigma(F'_n, F_n)$. Cela étant, si $\langle a, f \rangle$ est mesurable pour tout $a \in F$, il en est de même de $\langle a_n, \mathrm{pr}_n \circ f \rangle$ pour tout $n$ et tout $a_n \in F_n$, puisque $\langle a_n, \mathrm{pr}_n \circ f \rangle = \langle a_n, f \rangle$; la première partie de la démonstration montre donc que $\mathrm{pr}_n \circ f$ est mesurable pour tout $n$, et il en est donc de même de $f$ (n° 3, th. 1).