Exemple

L’espace $\mathbf{R}^A$ de toutes les fonctions numériques (finies) définies dans un ensemble quelconque $A$ est un espace de Riesz (pour la relation d’ordre « quel que soit $t \in A, x(t) \leq y(t) »$); en effet, deux fonctions numériques quelconques $x, y$ définies dans $A$ admettent une borne supérieure (resp. inférieure) égale à l’application $t \mapsto \sup(x(t), y(t))$ (resp. à l’application $t \mapsto \inf(x(t), y(t))$).

On peut encore dire qu’un espace de Riesz est un espace vectoriel $E$ muni d’une structure d’ordre telle que, d’une part, cette structure et la structure de groupe additif de $E$ définissent sur $E$ une structure de groupe réticulé (Alg., chap. VI, § 1, n° 9), et que d’autre part l’axiome (EO$_{\text{II}}$) soit vérifié.

Toutes les propriétés des groupes réticulés sont donc applicables aux espaces de Riesz; nous allons rappeler les principales (cf. Alg., chap. VI, § 1, n°s 9 à 12) en indiquant aussi les conséquences qui découlent de l’axiome (EO$_{\text{II}}$).

Rappelons d’abord qu’on pose $x^+ = \sup(x, 0)$ (partie positive de $x$), $x^- = (-x)^+ = \sup(-x, 0)$ (partie négative de $x$), $|x| = \sup(x, -x)$ (valeur absolue de $x$); on a $x = x^+ - x^-$ et $|x| = x^+ + x^-$; ces deux relations équivalent ici à

La relation $x \leq y$ équivaut à « $x^+ \leq y^+$ et $x^- \geq y^-$ ». Quels que soient $x$ et $y$, on a l’inégalité du triangle

En raison de l’invariance de l’ordre par toute homothétie de rapport $> 0$, on a

En particulier Au contraire, pour $\lambda < 0$, on a $(\lambda x)^+ = (-\lambda x)^- = |\lambda| x^-$ et $(\lambda x)^- = (-\lambda x)^+ = |\lambda| x^+$; on en conclut que, pour tout $\lambda \in \mathbf{R}$ et tout $x \in E$, on a L’invariance de l’ordre par translation montre que pour tout $z \in E$ (5) $\sup(x + z, y + z) = z + \sup(x, y)$ d’où en particulier (6) $\sup(x, y) = x + (y - x)^+ = \frac{1}{2}(x + y + |x - y|)$.

On a les relations (7) $\inf(x, y) = -\sup(-x, -y)$ (8) $\sup(x, y) + \inf(x, y) = x + y.$

Si $x, y, z$ sont $\geqslant 0$, on a (Alg., chap. VI, 2e éd., § 1, n° 12, prop. 11) (9) $\inf(x + y, z) \leqslant \inf(x, z) + \inf(y, z).$

Si A et B sont deux parties de E ayant chacune une borne supérieure, A + B admet également une borne supérieure, et on a (10) $\sup(A + B) = \sup A + \sup B.$

Deux éléments $x, y$ de E sont dits étrangers si $\inf(|x|, |y|) = 0$; d’après (8), cette relation équivaut à $\sup(|x|, |y|) = |x| + |y|$, et aussi, d’après (6), à $||x| - |y|| = |x| + |y|$; 0 est le seul élément étranger à lui-même; pour tout $x \in E$, $x^+$ et $x^-$ sont étrangers et peuvent être caractérisés comme les seuls éléments étrangers $y \geqslant 0, z \geqslant 0$ tels que $x = y - z$. Si $y$ est étranger à $x$, tout $z \in E$ tel que $|z| \leqslant |y|$ est étranger à $x$. Si $y$ et $z$ sont étrangers à $x$, il en est de même de $|y| + |z|$, en vertu de l’inégalité (9); en particulier, $n|y|$ est étranger à $x$ pour tout entier $n > 0$, d’où on déduit que $\lambda y$ est étranger à $x$ pour tout scalaire $\lambda$, puisqu’il existe un entier $n$ tel que $|\lambda| \leqslant n$, d’où $|\lambda y| \leqslant n|y|$. Si une partie A de E est formée d’éléments étrangers à $x$, et si A admet une borne supérieure, cette borne supérieure est encore étrangère à $x$ (Alg., chap. VI, § 1, n° 12, cor. de la prop. 13).

Enfin, on a le lemme de décomposition (Alg., chap. VI, § 1, n° 10, th. 1): Si $(x_i)_{i \in I}, (y_j)_{j \in J}$ sont deux suites finies d’éléments $\geqslant 0$ de E, telles que $\sum_{i \in I} x_i = \sum_{j \in J} y_j$, il existe une suite finie $(z_{ij})_{(i,j) \in I \times J}$ d’éléments $\geqslant 0$ de E telle que $x_i = \sum_{j \in J} z_{ij}$ pour tout $i \in I$ et $y_j = \sum_{i \in I} z_{ij}$ pour tout $j \in J$.

Exemple 1

Si A est un ensemble quelconque, l’espace $\mathbf{R}^A$ des fonctions numériques définies dans A est complètement réticulé, la borne supérieure dans $\mathbf{R}^A$ d’une famille majorée étant son enveloppe supérieure (Top. gén., chap. IV, § 5, n° 5).

Exemple 2

Soit F un ensemble quelconque; l’espace $\mathscr{B}(F)$ des fonctions numériques bornées dans F, muni de la structure d’ordre induite par celle de $\mathbf{R}^F$, est complètement réticulé. Par contre, si F est un espace topologique, l’espace $\mathscr{C}(F)$ des fonctions numériques continues dans F (muni de la structure d’ordre induite par celle de $\mathbf{R}^F$) est un espace de Riesz qui en général n’est pas complètement réticulé (cf. exerc. 13). Considérons par exemple le cas où $F = \mathbf{R}$; soient I l’intervalle ]0, 1[, $\varphi_I$ la fonction caractéristique de I, et soit H l’ensemble des fonctions continues $x(t)$ telles que $x \leqslant \varphi_I$; il est clair que H est majoré dans $\mathscr{C}(F)$. La fonction $\varphi_I$ est l’enveloppe supérieure des $x \in H$, mais non leur borne supérieure dans $C(F)$, puisque $\varphi_1$ est semi-continue inférieurement et non continue. Montrons qu’en fait $H$ n’a pas de borne supérieure dans $C(F)$; il suffit de prouver que, si $u$ est une fonction continue telle que $u \geq \varphi_1$, il existe une fonction continue $v \neq u$ telle que $u \geq v \geq \varphi_1$. Or, on a $u(0) \geq 1$, donc il existe un nombre $\alpha > 0$ tel que $u(t) > 0$ pour $-\alpha \leq t \leq 0$; si $w$ est une fonction continue nulle hors de l’intervalle $]-\alpha, 0[$, et telle que $0 < w(t) < u(t)$ dans cet intervalle, la fonction $v = u - w$ répond à la question.

Exemple

Dans l’espace $\mathbf{R}^A$ des fonctions numériques finies définies dans un ensemble A, l’ensemble des fonctions nulles en tous les points d’une partie M de A est une bande.