§ 2. Formes linéaires sur un espace de Riesz

1. Formes linéaires positives sur un espace de Riesz

Rappelons la définition suivante (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 2, n° 5):

Définition 1

Etant donné un espace vectoriel ordonné E, on dit qu’une forme linéaire L sur E est positive si, pour tout x $\geqslant 0$ dans E, on a $L(x) \geqslant 0$ .

Comme $L(y) - L(x) = L(y - x)$ , il revient au même de dire que la relation $x \leqslant y$ entraîne $L(x) \leqslant L(y)$ , ou encore que $L$ est une fonction croissante dans E.

Exemple 1

Soient A un ensemble quelconque, E un sous-espace de l’espace $\mathbf{R}^A$ de toutes les fonctions numériques définies dans A. Pour tout élément $a \in A$ , l’application $x \mapsto x(a)$ est une forme linéaire positive sur E.

Exemple 2

Soit $I = [a, b]$ un intervalle compact de $\mathbf{R}$ , E l’espace de Riesz formé des fonctions numériques réglées dans I (Fonct. var. réelle, chap. II, §1, n° 3); l’application $x \mapsto \int_a^b x(t)\, dt$ est une forme linéaire positive sur E.

Exemple 3

Soient F un ensemble quelconque, $\mathscr{U}$ un ultrafiltre sur F (Top. gén., chap. I, 3e éd., § 6, n° 4), E l’espace de Riesz $\mathscr{B}(F)$ des fonctions numériques bornées dans F. Pour tout $x \in E$ , $\lim_{\mathscr{U}} x(t)$ existe, car $x(\mathscr{U})$ est une base d’ultrafiltre sur l’ensemble relativement compact $x(F)$ , et par suite est convergente. En outre, si $x \geqslant 0$ , on a $\lim_{\mathscr{U}} x(t) \geqslant 0$ en vertu du principe de prolongement des inégalités; l’application $x \mapsto \lim_{\mathscr{U}} x$ est donc une forme linéaire positive sur E. Si on prend pour $\mathscr{U}$ l’ultrafiltre formé des ensembles contenant un élément $a \in F$ , on retrouve la forme linéaire positive $x \mapsto x(a)$ (exemple 1).

Proposition 1

Soient E un espace vectoriel ordonné, L une application de E dans $\mathbf{R}$ telle que $L(x + y) = L(x) + L(y)$ et que la relation $x \geqslant 0$ entraîne $L(x) \geqslant 0$ ; alors, pour tout scalaire $\lambda$ et tout $x \geqslant 0$ , on a $L(\lambda x) = \lambda L(x)$ .

Comme $L(-x) = -L(x)$ (L étant une représentation du groupe additif E dans $\mathbf{R}$ ), on peut se borner au cas où $\lambda \geqslant 0$ . Pour tout entier $n \geqslant 0$ , on a $L(nx) = nL(x)$ , d’où $L((1/n)x) = (1/n)L(x)$ et par suite $L(rx) = rL(x)$ pour tout nombre rationnel $r \geqslant 0$ . D’autre part $L$ est croissante dans E; si $r$ et $r'$ sont deux nombres rationnels tels que $r \leqslant \lambda \leqslant r'$ , on a donc $rL(x) \leqslant L(\lambda x) \leqslant r'L(x)$ ; comme $rL(x)$ et $r'L(x)$ diffèrent d’aussi peu qu’on veut de $\lambda L(x)$ , on a $L(\lambda x) = \lambda L(x)$ .

Proposition 2

Soient E un espace vectoriel réel, C un cône convexe de sommet 0 dans E tel que $E = C - C$ , $x \mapsto M(x)$ une application de C dans $\mathbf{R}$ telle que, pour $x \in C$ , $y \in C$ , $\lambda \geqslant 0$ , $\mu \geqslant 0$ , on ait $M(\lambda x + \mu y) = \lambda M(x) + \mu M(y)$ . Alors il existe une forme linéaire et une seule $L$ qui prolonge $M$ à $E$ .

En effet, par hypothèse, tout $z \in E$ peut s’écrire $z = y - x$ , où $x, y$ appartiennent à $C$ ; en outre, si $z = y' - x'$ avec $x' \in C, y' \in C$ , on a $M(y) - M(x) = M(y') - M(x')$ ; en effet, de la relation $y - x = y' - x'$ , on tire $y + x' = x + y'$ , et par suite $M(y) + M(x') = M(x) + M(y')$ . Désignons par $L(z)$ la valeur commune de $M(y) - M(x)$ pour toute expression de $z$ comme différence $y - x$ de deux éléments de $C$ ; on vérifie immédiatement que $L$ est une forme linéaire sur $E$ prolongeant $M$ ; l’unicité de $L$ résulte de ce que $C$ engendre l’espace $E$ .

Proposition 3

Soient $E$ un espace vectoriel ordonné filtrant, $P$ l’ensemble des éléments $\geqslant 0$ de $E$ , $x \mapsto M(x)$ une application de $P$ dans $\mathbf{R}$ , à valeurs $\geqslant 0$ et telle que $M(x + y) = M(x) + M(y)$ quels que soient $x, y$ dans $P$ . Il existe alors une forme linéaire positive et une seule $L$ qui prolonge $M$ à $E$ .

Comme $E = P - P$ , le même raisonnement que dans la prop. 2 prouve d’abord l’existence et l’unicité d’une application additive $L$ de $E$ dans $\mathbf{R}$ prolongeant $M$ . La prop. 1 montre alors que, pour $\lambda \geqslant 0$ et pour tout $x \in P$ , on a $L(\lambda x) = \lambda L(x)$ , d’où résulte aussitôt que $L$ est une forme linéaire.

2. Formes linéaires relativement bornées

Soit $E$ un espace vectoriel ordonné filtrant. Soit $Q$ l’ensemble des formes linéaires positives sur $E$ ; c’est une partie du dual algébrique $E^*$ de $E$ (espace de toutes les formes linéaires sur $E$ ). Il est immédiat que $Q + Q \subset Q$ et $\lambda Q \subset Q$ pour tout scalaire $\lambda > 0$ (en d’autres termes, $Q$ est un cône convexe dans $E^*$ ). En outre, on a $Q \cap (-Q) = \{0\}$ , car si $L$ et $-L$ sont toutes deux des formes linéaires positives, on a $L(x) \geqslant 0$ et $L(x) \leqslant 0$ pour tout $x \geqslant 0$ , d’où $L(x) = 0$ pour tout $x \geqslant 0$ , et par suite $L = 0$ (n° 1, prop. 3). L’ensemble $Q$ définit donc sur $E^*$ une relation d’ordre $L \leqslant M$ , équivalente à « $M - L$ est une forme linéaire positive sur $E$ », ou encore à « pour tout $x \geqslant 0$ , $L(x) \leqslant M(x)$ »; les éléments $\geqslant 0$ dans $E^*$ pour cette structure d’ordre sont les formes linéaires positives (ce qui justifie la terminologie introduite). Soit $\Omega$ le sous-espace vectoriel de $E^*$ engendré par $Q$ , c’est-à-dire l’ensemble des formes linéaires sur $E$ qui sont différences de deux formes linéaires positives; nous allons donner une autre caractérisation des éléments de $\Omega$ lorsque E est un espace de Riesz.

Définition 2

Etant donné un espace de Riesz E, on dit qu’une forme linéaire L sur E est relativement bornée si, pour tout $x \geqslant 0$ dans E, L est bornée dans l’ensemble des $y \in E$ tels que $|y| \leqslant x$ .

Théorème 1

1° Pour qu’une forme linéaire L sur un espace de Riesz E soit relativement bornée, il faut et il suffit qu’elle soit la différence de deux formes linéaires positives.

2° L’espace vectoriel ordonné $\Omega$ des formes linéaires relativement bornées sur E est un espace de Riesz complètement réticulé.

Si $L = U - V$ , où U et V sont deux formes linéaires positives sur E, la relation $-x \leqslant y \leqslant x$ entraîne $-U(x) \leqslant U(y) \leqslant U(x)$ et $-V(x) \leqslant V(y) \leqslant V(x)$ d’où aussitôt $|L(y)| \leqslant U(x) + V(x)$ ; L est donc relativement bornée. Supposons inversement que L soit relativement bornée; tout revient à prouver qu’il existe une forme linéaire positive N telle que, pour tout $x \geqslant 0$ , on ait $N(x) \geqslant L(x)$ , car alors $N - L$ sera une forme linéaire positive.

Or, si une forme linéaire positive N a cette propriété, on a, pour tout $x \geqslant 0$ et pour $0 \leqslant y \leqslant x$ , $N(x) \geqslant N(y) \geqslant L(y)$ , et par suite $N(x) \geqslant \sup_{0 \leqslant y \leqslant x} L(y)$ ; si nous prouvons que la fonction numérique $x \mapsto M(x) = \sup_{0 \leqslant y \leqslant x} L(y)$ , définie dans l’ensemble P des éléments $\geqslant 0$ de E, se prolonge en une forme linéaire positive sur E (qu’on notera encore M), nous aurons démontré la première partie du théorème, et prouvé en outre que M est la borne supérieure de 0 et L dans $\Omega$ . Comme $M(x) \geqslant 0$ dans P, tout revient à prouver que, pour deux éléments quelconques $x \geqslant 0$ , $x' \geqslant 0$ de E, on a $M(x + x') = M(x) + M(x')$ (n° 1, prop. 3). D’après la définition, on a

M(x) + M(x') = \sup_{0 \leqslant y \leqslant x} L(y) + \sup_{0 \leqslant y' \leqslant x'} L(y') = \sup_{0 \leqslant y \leqslant x,\ 0 \leqslant y' \leqslant x'} L(y + y') \leqslant M(x + x').

D’autre part, pour tout z tel que $0 \leqslant z \leqslant x + x'$ , on a $x + x' = z + u$ avec $u \geqslant 0$ ; en vertu du lemme de décomposition (§ 1, n° 1), il existe donc deux éléments y, $y'$ tels que $0 \leqslant y \leqslant x$ , $0 \leqslant y' \leqslant x'$ et que $z = y + y'$ , $u = (x - y) + (x' - y')$ ; d’où

L(z) = L(y) + L(y') \leqslant M(x) + M(x'),

et par suite $M(x + x') = \sup_{0 \leq z \leq x + x'} L(z) \leq M(x) + M(x')$ , ce qui achève de démontrer la première partie du théorème. De plus, nous avons montré ainsi que $\Omega$ est un espace de Riesz, et que, pour toute forme linéaire relativement bornée $L$ sur $E$ , et pour tout $x \geq 0$ , on a

(1)

L^+(x) = \sup_{0 \leq y \leq x} L(y).

Reste à voir que $\Omega$ est complètement réticulé ; pour cela il suffit de montrer qu’un ensemble $H$ de formes linéaires positives, majoré et filtrant pour la relation $\leq$ , a une borne supérieure dans $\Omega$ .

Or, on a plus généralement le lemme suivant :

Lemme 1

Soient $E$ un espace vectoriel ordonné filtrant, $E^*$ son dual, ordonné en prenant pour éléments positifs les formes linéaires positives. Soit $(u_\alpha)$ une famille filtrante croissante d’éléments de $E^*$ . Si, pour tout $x \geq 0$ dans $E$ , on a $\sup u_\alpha(x) < +\infty$ , alors la famille $(u_\alpha)$ admet une borne supérieure $u$ dans $E^*$ , et pour tout $x \geq 0$ dans $E$ , on a

(2)

u(x) = \sup_\alpha u_\alpha(x).

Dans l’ensemble $P$ des $x \geq 0$ dans $E$ , définissons en effet l’application $u$ par la formule (2); il est immédiat que pour $\lambda \geq 0$ et $x \in P$ , on a $u(\lambda x) = \lambda u(x)$ ; pour prouver le lemme, il suffit donc, en vertu de la prop. 2 du n° 1, de montrer que l’on a

u(x + y) = u(x) + u(y)

pour

x, y

dans

P

. Or cela est immédiat si l’on remarque que l’on a

u(x) = \lim u_\alpha(x)

suivant l’ensemble filtrant des indices (théorème de la limite monotone).

De la formule (1) on déduit aussitôt que si $L$ et $M$ sont deux formes linéaires relativement bornées sur $E$ , on a, pour tout $x \geq 0$

(3)

\begin{cases} \sup (L, M)(x) = \sup_{y \geq 0, z \geq 0, y + z = x} (L(y) + M(z)) \\ \inf (L, M)(x) = \inf_{y \geq 0, z \geq 0, y + z = x} (L(y) + M(z)). \end{cases}

En particulier, si dans la première de ces formules, on remplace $M$ par $-L$ , il vient

|L|(x) = \sup_{y \geq 0, z \geq 0, y + z = x} L(y - z).

Or, si $x = y + z, y \geq 0$ et $z \geq 0$ , on a $-x \leq y - z \leq x$ ; inversement, la relation $|u| \leq x$ entraîne $L(u) \leq |L|(|u|) \leq |L|(x)$ . On en déduit la formule

(4)

|L|(x) = \sup_{|y| \leq x} L(y) \quad \text{pour } x \geq 0,

d’où en particulier (5)

|L(x)| \leq |L|(|x|)

pour tout

x \in \mathbf{E}

Proposition 4

Pour que deux formes linéaires positives $L, M$ sur un espace de Riesz $\mathbf{E}$ soient étrangères dans l’espace $\Omega$ , il faut et il suffit que, pour tout nombre $\varepsilon > 0$ et pour tout $x \geq 0$ dans $\mathbf{E}$ , il existe deux éléments $y \geq 0, z \geq 0$ de $\mathbf{E}$ tels que $x = y + z$ et $L(y) + M(z) \leq \varepsilon$ .

En effet, d’après la seconde formule (3), cette condition exprime que $\inf (L, M) = 0$ .

Proposition 5

Soit $L$ une forme linéaire positive sur un espace de Riesz $\mathbf{E}$ . Pour qu’une forme linéaire positive $M$ sur $\mathbf{E}$ appartienne à la bande engendrée par $L$ dans $\Omega$ , il faut et il suffit que, pour tout $x \geq 0$ dans $\mathbf{E}$ et tout nombre $\varepsilon > 0$ , il existe un nombre $\delta > 0$ tel que les relations $0 \leq y \leq x$ et $L(y) \leq \delta$ entraînent $M(y) \leq \varepsilon$ .

Montrons d’abord que la condition est nécessaire. Si $M \geq 0$ appartient à la bande engendrée par $L$ dans $\Omega$ , on a (§ 1, n° 5, cor. de la prop. 6) $M = \sup_n (\inf (nL, M))$ . Si on pose

U_n = M - \inf (nL, M),

U_n

est donc une forme linéaire positive sur

\mathbf{E}

et on a

\inf_n U_n = 0

dans

\Omega

; par suite (lemme 1)

U_n(x)

tend vers 0 lorsque

n

croît indéfiniment, et il existe

n

tel que

U_n(x) \leq \varepsilon/2

. Le nombre

n

étant ainsi fixé, on a

U_n(y) \leq \varepsilon/2

pour tout

y

tel que

0 \leq y \leq x

, donc la relation

0 \leq y \leq x

entraîne

M(y) \leq \frac{\varepsilon}{2} + \inf (nL, M)(y) \leq \frac{\varepsilon}{2} + nL(y);

si $y$ est tel que $L(y) \leq \varepsilon/2n$ , on a donc $M(y) \leq \varepsilon$ , ce qui établit notre assertion.

Montrons maintenant que la condition est suffisante. Pour toute forme linéaire positive $M$ sur $E$ , on peut écrire $M = U + V$ , où $U$ appartient à la bande engendrée par $L$ dans $\Omega$ et où $V$ est étrangère à $L$ , $U$ et $V$ étant positives ( $§ 1$ , n° 5, th. 1). Si $M$ satisfait à la condition de l’énoncé, il en est de même de $V = M - U$ , puisque $0 \leq V \leq M$ . Nous allons en déduire que $V = 0$ . En effet, pour tout $x \geq 0$ dans $E$ et tout nombre $\eta > 0$ , il existe deux éléments $y \geq 0, z \geq 0$ de $E$ tels que $x = y + z$ et $L(y) + V(z) \leq \eta$ (prop. 4); donnons-nous arbitrairement un nombre $\varepsilon > 0$ , et choisissons $\eta \leq \varepsilon$ tel que les relations $0 \leq u \leq x$ et $L(u) \leq \eta$ entraînent $V(u) \leq \varepsilon$ ; $y$ et $z$ étant alors déterminés comme ci-dessus, on a $L(y) \leq \eta$ , donc $V(y) \leq \varepsilon$ et par suite

V(x) = V(y) + V(z) \leq \varepsilon + \eta \leq 2\varepsilon;

$\varepsilon$ étant arbitraire, on a $V(x) = 0$ pour tout $x \geq 0$ , c’est-à-dire $V = 0$ .

Exemple

Soit $E$ un espace de Riesz, muni d’une topologie localement convexe, compatible avec sa structure d’espace vectoriel ordonné (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 2, n° 7). Soit $E'$ le dual topologique de $E$ , et supposons en outre que le cône $P$ des éléments $\geq 0$ de $E$ soit complet pour la topologie affaiblie $\sigma(E, E')$ . Alors toute forme linéaire continue $x' \in E'$ est relativement bornée, car on sait (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 6, n° 8, cor. 2 de la prop. 1) que dans ces conditions, pour tout $x \geq 0$ dans $E$ , l’ensemble des $y \in E$ tels que $|y| \leq x$ est compact pour $\sigma(E, E')$ . On en déduit que $E$ est alors complètement réticulé; en effet ( $§ 1$ , n° 3, prop. 2) il suffit de montrer que pour tout ensemble $H \subset E$ majoré et filtrant pour $\leq$ , le filtre des sections $\mathfrak{F}$ de $H$ est convergent dans E pour la topologie $\sigma(E, E')$ (cette dernière étant compatible avec la structure d’espace vectoriel ordonné de $E$ ). Par translation, on peut supposer que $H \subset P$ , et il suffit donc de montrer que $\mathfrak{F}$ est un filtre de Cauchy pour $\sigma(E, E')$ , ou encore que toute forme linéaire continue $x' \in E'$ a une limite suivant $\mathfrak{F}$ . Mais cela résulte aussitôt du th. de la limite monotone si $x'$ est une forme linéaire positive; et comme toute forme linéaire $x' \in E'$ est différence de deux formes linéaires positives (th. 1), notre assertion est démontrée.

Exercices

See the exercises for § 2.