§ 1. Các không gian riesz và các không gian có thứ tự dàn đầy đủ

1. Định nghĩa các không gian Riesz

Nhắc lại rằng, trên một tập hợp E, một cấu trúc không gian vectơ trên trường $\mathbf{R}$ và một cấu trúc thứ tự được gọi là tương thích nếu chúng thỏa mãn hai tiên đề sau:

(OVS_I) Quan hệ $x \leq y$ suy ra $x + z \leq y + z$ với mọi $z \in E$ .

(OVS_{II}) Quan hệ $x \geq 0$ suy ra $\lambda x \geq 0$ với mọi vô hướng $\lambda > 0$ .

Không gian E, được trang bị hai cấu trúc ấy, được gọi là một không gian vectơ có thứ tự (TVS, II, §2, No. 5).

Tiên đề (OVS_I) có nghĩa rằng cấu trúc thứ tự và cấu trúc nhóm cộng trên E là tương thích, nói cách khác rằng E, được trang bị hai cấu trúc ấy, là một nhóm có thứ tự (A, VI, §1, No. 1).

Tiên đề (OVS_I) kéo theo rằng các quan hệ $x \leq y$ và $x + z \leq y + z$ là tương đương. Tương tự, từ (OVS_{II}) suy ra rằng, với mọi vô hướng $\lambda > 0$ , các quan hệ $x \leq y$ và $\lambda x \leq \lambda y$ là tương đương, vì $\lambda^{-1} > 0$ và do đó quan hệ $\lambda x \leq \lambda y$ suy ra $\lambda^{-1}(\lambda x) \leq \lambda^{-1}(\lambda y)$ . Vậy có thể nói rằng, trong một không gian vectơ có thứ tự, các phép tịnh tiến và các phép vị tự có tỷ số $> 0$ là các tự đẳng cấu của cấu trúc thứ tự; sự kiện này cũng được diễn đạt bằng cách nói rằng thứ tự là bất biến dưới mọi phép tịnh tiến và mọi phép vị tự có tỷ số $> 0$ . Hơn nữa, phép đối xứng $x \mapsto -x$ là một đẳng cấu từ cấu trúc thứ tự của E lên cấu trúc thứ tự đối.

Định nghĩa 1

Một không gian vectơ có thứ tự được gọi là một không gian Riesz (hay không gian vectơ có thứ tự dàn)* $^1$ nếu cấu trúc thứ tự của nó là một thứ tự dàn (nghĩa là, nếu mọi cặp phần tử $x, y$ của E đều có một cận trên đúng $\sup(x, y)$ và một cận dưới lớn nhất $\inf(x, y)$ ). $^2$

(1) Cũng được gọi là một "dàn vectơ".

(2) Borne supérieure (supremum) cũng được dịch là "least upper bound" (S, R, §6, 7). Tương tự, borne inférieure (infimum) cũng được dịch là "greatest lower bound".

Ví dụ

Không gian $\mathbf{R}^A$ của mọi hàm thực xác định trên một tập hợp bất kỳ $A$ là một không gian Riesz (đối với quan hệ thứ tự $\langle x(t) \leq y(t) \text{ với mọi } t \in A \rangle$ ); vì, mọi cặp hàm thực $x, y$ xác định trên $A$ đều có một cận trên đúng (resp. một cận dưới lớn nhất) bằng ánh xạ $t \mapsto \sup(x(t), y(t))$ (resp. $t \mapsto \inf(x(t), y(t))$ ).

Cũng có thể nói rằng một không gian Riesz là một không gian vectơ $E$ được trang bị một cấu trúc thứ tự sao cho, một mặt, cấu trúc này và cấu trúc nhóm cộng của $E$ xác định trên $E$ một cấu trúc nhóm có thứ tự dàn (A, VI, §1, No. 9), và mặt khác tiên đề (OVS $_{\mathrm{II}}$ ) được thỏa mãn.

Vì vậy, mọi tính chất của các nhóm có thứ tự dàn đều áp dụng được cho các không gian Riesz; ở đây chúng tôi sẽ nhắc lại những tính chất chính (xem A, VI, §1, Nos. 9 to 12), đồng thời chỉ ra các hệ quả rút ra từ tiên đề (OVS $_{\mathrm{II}}$ ).

Trước hết nhắc lại rằng người ta viết $x^+ = \sup(x, 0)$ (phần dương của $x$ ), $x^- = (-x)^+ = \sup(-x, 0)$ (phần âm của $x$ ), $|x| = \sup(x, -x)$ (giá trị tuyệt đối của $x$ ); khi đó $x = x^+ - x^-$ và $|x| = x^+ + x^-$ ; ở đây, hai quan hệ này tương đương với

x^+ = \frac{1}{2}(|x| + x), \quad x^- = \frac{1}{2}(|x| - x).

Quan hệ $x \leq y$ tương đương với $\langle x^+ \leq y^+ \text{ và } x^- \geq y^- \rangle$ . Với mọi $x$ và $y$ , bất đẳng thức tam giác được thỏa mãn:

(1)

|x + y| \leq |x| + |y|.

Do tính bất biến của thứ tự dưới mọi phép vị tự có tỷ số $> 0$ ,

(2)

\sup(\lambda x, \lambda y) = \lambda \sup(x, y) \quad \text{với mọi } \lambda \geq 0.

Đặc biệt,

(3)

(\lambda x)^+ = \lambda x^+, \quad (\lambda x)^- = \lambda x^- \quad \text{với mọi } \lambda \geq 0.

Mặt khác, với $\lambda < 0$ ta có $(\lambda x)^+ = (-\lambda x)^- = |\lambda| x^-$ và $(\lambda x)^- = (-\lambda x)^+ = |\lambda| x^+$ ; suy ra rằng, với mọi $\lambda \in \mathbf{R}$ và mọi $x \in E$ ,

(4)

|\lambda x| = |\lambda| \cdot |x|.

Tính bất biến của thứ tự dưới phép tịnh tiến cho thấy rằng với mọi $z \in E$ ,

(5)

\sup(x + z, y + z) = z + \sup(x, y),

do đó, đặc biệt,

(6)

\sup(x, y) = x + (y - x)^+ = \frac{1}{2}(x + y + |x - y|).

Ta có các quan hệ

(7) $\inf(x, y) = -\sup(-x, -y) ,$

(8) $\sup(x, y) + \inf(x, y) = x + y .$

Nếu $x, y, z$ là $\geq 0$ thì (A, VI, §1, No. 12, Mệnh đề 11)

(9) $\inf(x + y, z) \leq \inf(x, z) + \inf(y, z) .$

Nếu A và B là hai tập con của E mà mỗi tập đều có supremum, thì A + B cũng có supremum và

(10) $\sup(A + B) = \sup A + \sup B .$

Hai phần tử $x, y$ của E được gọi là alien $^3$ (đối với nhau) nếu $\inf(|x|, |y|) = 0$ ; theo (8), quan hệ này tương đương với $\sup(|x|, |y|) = |x| + |y|$ , và cũng, theo (6), tương đương với $||x| - |y|| = |x| + |y|$ ; 0 là phần tử duy nhất alien với chính nó; với mọi $x \in E$ , $x^+$ và $x^-$ là alien với nhau và có thể được đặc trưng như những phần tử alien duy nhất $y \geq 0, z \geq 0$ sao cho $x = y - z$ . Nếu $y$ alien với $x$ , thì mọi $z \in E$ sao cho $|z| \leq |y|$ cũng alien với $x$ . Nếu $y$ và $z$ alien với $x$ , thì $|y| + |z|$ cũng vậy, theo bất đẳng thức (9); đặc biệt, $n|y|$ alien với $x$ với mọi số nguyên $n > 0$ , từ đó suy ra rằng $\lambda y$ alien với $x$ với mọi vô hướng $\lambda$ , vì tồn tại một số nguyên $n$ sao cho $|\lambda| \leq n$ , do đó $|\lambda y| \leq n|y|$ . Nếu một tập con A của E gồm những phần tử alien với $x$ và nếu A có một supremum, thì supremum đó cũng alien với $x$ (A, VI, §1, No. 12, Hệ quả của Mệnh đề 13).

Cuối cùng, ta có bổ đề phân tích (A, VI, §1, No. 10, Định lý 1):

Nếu* $(x_i)_{i \in I}, (y_j)_{j \in J}$ là hai dãy hữu hạn các phần tử $\geq 0$ của E sao cho $\sum_{i \in I} x_i = \sum_{j \in J} y_j$ , thì tồn tại một dãy hữu hạn $(z_{ij})_{(i,j) \in I \times J}$ các phần tử $\geq 0$ của E sao cho $x_i = \sum_{j \in J} z_{ij}$ với mọi $i \in I$ , và $y_j = \sum_{i \in I} z_{ij}$ với mọi $j \in J$ .

2. Sinh một không gian Riesz bởi các phần tử dương của nó

Cho E là một không gian vectơ có thứ tự; tập hợp P các phần tử $\geq 0$ của E là một nón lồi có đỉnh 0, nghĩa là (TVS, II, §2, No. 4), một tập hợp sao cho

$^3$ Nguyên bản là étrangers, cũng được dịch là "coprime" (A, VI, §1, No. 12); các thuật ngữ "orthogonal", "disjoint" và "mutually singular" cũng được dùng.

P + P ⊂ P và λP ⊂ P với mọi λ > 0. Ngược lại, nếu, trong một không gian vectơ E trên $\mathbf{R}$ , P là một nón lồi có đỉnh 0, sao cho $P \cap (-P) = \{0\}$ (nói cách khác, một nón lồi nhọn và thực sự), thì ta biết (loc. cit.) rằng quan hệ $y - x \in P$ là một quan hệ thứ tự (ký hiệu là $x \leq y$ ) tương thích với cấu trúc không gian vectơ của E. Để cấu trúc thứ tự này xác định một cấu trúc không gian Riesz trên E, điều kiện cần và đủ là:

$1^\circ$ P sinh ra E, nghĩa là, mọi $z \in E$ đều có dạng $y - x$ , trong đó x và y thuộc P;

$2^\circ$ P thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: a) mọi cặp phần tử của P đều có một supremum trong P; b) mọi cặp phần tử của P đều có một infimum trong P (A, VI, §1, No. 9, Mệnh đề 8).

3. Các không gian được sắp dàn đầy đủ

Định nghĩa 2

Một không gian Riesz E được gọi là được sắp dàn đầy đủ nếu mọi tập con khác rỗng của E bị chặn trên đều có một supremum trong E.

Ngay lập tức suy ra rằng trong một không gian được sắp dàn đầy đủ E, mọi tập con khác rỗng bị chặn dưới đều có một infimum trong E.

Ví dụ

— 1) Nếu A là một tập hợp bất kỳ, không gian $\mathbf{R}^A$ các hàm thực xác định trên A là được sắp dàn đầy đủ, supremum trong $\mathbf{R}^A$ của một họ bị chặn trên là bao trên của nó (GT, IV, §5, No. 5).

2) Cho F là một tập hợp bất kỳ; không gian $\mathscr{B}(F)$ các hàm thực bị chặn trên F, được trang bị cấu trúc thứ tự cảm sinh bởi cấu trúc của $\mathbf{R}^F$ , là một không gian được sắp thứ tự dàn đầy đủ. Tuy nhiên, nếu F là một không gian tôpô, thì không gian $\mathscr{C}(F)$ các hàm thực liên tục trên F (được trang bị cấu trúc thứ tự cảm sinh bởi cấu trúc của $\mathbf{R}^F$ ) là một không gian Riesz mà nói chung không được sắp thứ tự dàn đầy đủ (x. Bài tập 13). Chẳng hạn xét trường hợp $F = \mathbf{R}$ ; đặt I là khoảng ]0, 1[, $\varphi_I$ là hàm đặc trưng của I, và H là tập hợp các hàm liên tục $x(t)$ sao cho $x \leq \varphi_I$ ; hiển nhiên H bị chặn trên trong $\mathscr{C}(F)$ . Hàm $\varphi_I$ là bao trên của các $x \in H$ , nhưng nó không phải là cận trên bé nhất của chúng trong $\mathscr{C}(F)$ , vì $\varphi_I$ là nửa liên tục dưới nhưng không liên tục. Ta hãy chỉ ra rằng thật ra H không có cận trên bé nhất trong $\mathscr{C}(F)$ ; chỉ cần chứng minh rằng nếu $u$ là một hàm liên tục sao cho $u \geq \varphi_I$ , thì tồn tại một hàm liên tục $v \neq u$ sao cho $u \geq v \geq \varphi_I$ . Thật vậy, $u(0) \geq 1$ , do đó tồn tại một số $\alpha > 0$ sao cho $u(t) > 0$ với $-\alpha \leq t \leq 0$ ; nếu w là một hàm liên tục bằng không ở ngoài khoảng ] $-\alpha, 0$ và sao cho $0 < w(t) < u(t)$ trên khoảng này, thì hàm $v = u - w$ thỏa mãn các yêu cầu.

Mệnh đề 1

Để một không gian vectơ có thứ tự E được sắp thứ tự dàn đầy đủ, điều kiện cần và đủ là E là một không gian Riesz và thỏa mãn một trong hai điều kiện sau đây:

a) mọi tập con khác rỗng A, gồm các phần tử $\geq 0$ của E, bị chặn trên và có hướng đối với quan hệ $\leq$ , đều có cận trên bé nhất trong E;

b) mọi tập con khác rỗng $A$ , gồm các phần tử $\geqslant 0$ của $E$ và có hướng đối với quan hệ $\geqslant$ , đều có cận dưới lớn nhất trong $E$ .

Các điều kiện ấy hiển nhiên là cần thiết. Ngược lại, giả sử rằng $E$ là một không gian Riesz thỏa mãn điều kiện a). Cho $B$ là một tập con khác rỗng của $E$ bị chặn trên; tập $C$ gồm các cận trên bé nhất của các tập con hữu hạn của $B$ là có hướng đối với quan hệ $\leqslant$ ; cho $a$ là một phần tử của nó và $C_a$ là tập các $x \in C$ sao cho $x \geqslant a$ ; nếu ta chứng minh rằng $C_a$ có một cận trên bé nhất thì đó cũng sẽ là cận trên bé nhất của $B$ . Bây giờ, $C_a - a$ là một tập các phần tử $\geqslant 0$ , bị chặn trên và có hướng đối với quan hệ $\leqslant$ ; vì vậy nó có một cận trên bé nhất $b$ , do đó $a + b$ là cận trên bé nhất của $C_a$ .

Mặt khác, điều kiện b) kéo theo a): thật vậy, nếu $F$ là một tập khác rỗng gồm các phần tử $\geqslant 0$ của $E$ , bị chặn trên và có hướng đối với $\leqslant$ , và nếu $c$ là một cận trên của $F$ , thì $c - F$ là một tập các phần tử $\geqslant 0$ có hướng đối với $\geqslant$ ; nếu nó có cận dưới đúng $m$ , thì $c - m$ là cận trên đúng của $F$ .

Mệnh đề 2

— Cho $E$ là một không gian Riesz được trang bị một tôpô Hausdorff tương thích với cấu trúc không gian vectơ có thứ tự của nó (TVS, II, §2, No. 7). Nếu, với mọi tập $H \subset E$ bị chặn trên và có hướng đối với quan hệ $\leqslant$ , bộ lọc tiết diện của $H$ là hội tụ, thì $E$ được sắp thứ tự dàn đầy đủ.

Thật vậy, người ta biết rằng giới hạn của bộ lọc tiết diện của $H$ là cận trên đúng của $H$ trong $E$ (TVS, II, §2, No. 7, Mệnh đề 18).

4. Các không gian con và không gian tích của các không gian được sắp thứ tự dàn đầy đủ

Cho $E$ là một không gian được sắp thứ tự dàn đầy đủ, $H$ là một không gian con tuyến tính của $E$ . Cấu trúc thứ tự cảm sinh trên $H$ bởi cấu trúc thứ tự của $E$ là tương thích với cấu trúc không gian vectơ của $H$ , nhưng không gian vectơ có thứ tự $H$ được xác định như vậy không nhất thiết là một không gian được sắp thứ tự dàn đầy đủ.

Chính xác hơn, có thể xảy ra việc $H$ không phải là một không gian Riesz (Bài tập 2), hoặc $H$ là một không gian Riesz nhưng không được sắp thứ tự dàn đầy đủ: trường hợp sau xảy ra với không gian con $\mathscr{C}(\mathbf{R})$ của không gian $\mathscr{B}(\mathbf{R})$ (No. 3, Ví dụ 2).

Hơn nữa, nếu $H$ là một không gian Riesz (được sắp thứ tự dàn đầy đủ hay không) thì có thể xảy ra việc cận trên đúng trong $H$ của hai phần tử của $H$ khác với cận trên đúng của chúng trong $E$ (Bài tập 3 b). Sau cùng, có thể xảy ra việc $H$ được sắp thứ tự dàn đầy đủ, cận trên đúng của mỗi tập con hữu hạn của $H$ là như nhau trong $E$ và trong $H$ , nhưng lại tồn tại các tập con vô hạn của $H$ , bị chặn trên trong $H$ , mà các cận trên đúng trong $E$ và trong $H$ là khác nhau (Bài tập 13 f)).

Cho $(E_\iota)_{\iota \in I}$ là một họ bất kỳ các không gian vectơ có thứ tự. Nhắc lại rằng, trong không gian tích $E = \prod_{\iota \in I} E_\iota$ , quan hệ thứ tự tích của các quan hệ thứ tự của các không gian nhân tử là quan hệ $« x_\iota \leqslant y_\iota \text{ với mọi } \iota \in I »$ (S, III, §1, No. 4). Người ta kiểm tra ngay lập tức rằng quan hệ này tương thích với cấu trúc không gian vectơ của E; E, được trang bị cấu trúc này, được gọi là không gian tích của các không gian có thứ tự $E_\iota$ .

Mệnh đề 3

Cho $(E_\iota)_{\iota \in I}$ là một họ các không gian vectơ có thứ tự. Điều kiện cần và đủ để không gian tích $E = \prod_{\iota \in I} E_\iota$ là một không gian Riesz (tương ứng, một không gian được sắp thứ tự dàn đầy đủ) là mỗi không gian $E_\iota$ đều là một không gian Riesz (tương ứng, một không gian được sắp thứ tự dàn đầy đủ).

Ta chỉ xét trường hợp các không gian có thứ tự dàn đầy đủ. Giả sử rằng mọi $E_\iota$ đều có thứ tự dàn đầy đủ; gọi $A$ là một tập con khác rỗng của $E$ bị chặn trên và gọi $a = (a_\iota)$ là một cận trên của $A$ . Với mỗi $\iota \in I$ , $\operatorname{pr}_\iota A$ bị chặn trên bởi $a_\iota$ , nên có một cận trên đúng $b_\iota$ trong $E_\iota$ ; hiển nhiên $b = (b_\iota)$ là cận trên đúng của $A$ trong $E$ .

Ngược lại, giả sử $E$ có thứ tự dàn đầy đủ. Cho $A_\kappa$ là một tập con của $E_\kappa$ bị chặn trên, $A'_\kappa$ là tập con của $E$ gồm các $x = (x_\iota)$ sao cho $x_\kappa \in A_\kappa$ và $x_\iota = 0$ với $\iota \neq \kappa$ . Ngay lập tức thấy rằng $A'_\kappa$ bị chặn trên trong $E$ , nên có một cận trên đúng $b = (b_\iota)$ ; theo định nghĩa của quan hệ thứ tự tích, tất yếu $b_\iota = 0$ với $\iota \neq \kappa$ , và $b_\kappa$ là cận trên đúng của $A_\kappa$ , điều này hoàn tất chứng minh.

Định nghĩa 3

Cho $E$ là một không gian vectơ có thứ tự, $V$ và $W$ là hai không gian con tuyến tính bù nhau của $E$ . Người ta nói rằng $E$ là tổng trực tiếp có thứ tự của $V$ và $W$ nếu ánh xạ chính tắc $(x, y) \mapsto x + y$ từ không gian vectơ có thứ tự $V \times W$ lên không gian vectơ có thứ tự $E$ là một đẳng cấu.

Mệnh đề 4

Để một không gian vectơ có thứ tự $E$ là tổng trực tiếp có thứ tự của hai không gian con tuyến tính bù nhau $V, W$ , điều kiện cần và đủ là các quan hệ $x \in V, y \in W, x + y \geq 0$ kéo theo $x \geq 0$ và $y \geq 0$ .

Vì $x \geq 0$ và $y \geq 0$ kéo theo $x + y \geq 0$ trong $E$ , điều kiện trong mệnh đề nói rằng ánh xạ $(x, y) \mapsto x + y$ biến tập hợp các phần tử $\geq 0$ của $V \times W$ thành tập hợp các phần tử $\geq 0$ của $E$ .

5. Các dải trong một không gian có thứ tự dàn đầy đủ

Định nghĩa 4

Trong một không gian dàn có thứ tự đầy đủ $E$ , một không gian con tuyến tính $B$ của $E$ được gọi là một dải nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: 1) các quan hệ $x \in B, y \in E$ và $|y| \leq |x|$ kéo theo $y \in B$ ; 2) với mọi tập con khác rỗng $X$ của $B$ bị chặn trên trong $E$ , cận trên đúng $\sup X$ của $X$ trong $E$ thuộc về $B$ .

Ví dụ

Trong không gian $\mathbf{R}^A$ các hàm thực xác định trên một tập hợp $A$ , tập hợp các hàm bằng không tại mọi điểm của một tập con $M$ của $A$ là một dải.

Nhận xét

Trong không gian $\mathbf{R}^A$ , không gian con $\mathscr{B}(A)$ các hàm thực bị chặn trên $A$ thỏa mãn điều kiện 1) của Định nghĩa 4; hơn nữa, với mọi tập con $X$ của $\mathscr{B}(A)$ bị chặn trên trong $\mathscr{B}(A)$ , bao trên của $X$ thuộc về $\mathscr{B}(A)$ . Tuy nhiên, nếu $A$ là vô hạn, một tập con của $\mathscr{B}(A)$ có thể bị chặn trên trong $\mathbf{R}^A$ mà không bị chặn trên trong $\mathscr{B}(A)$ ; trong trường hợp đó $\mathscr{B}(A)$ không phải là một dải trong $\mathbf{R}^A$ .

Suy ra ngay từ Định nghĩa 4 rằng nếu $B$ là một dải trong $E$ thì, với mọi tập con khác rỗng $X$ của $B$ bị chặn dưới trong $E$ , $\inf X$ thuộc về $B$ . Mọi dải $B$ trong $E$ , khi được trang bị cấu trúc không gian vectơ có thứ tự cảm sinh bởi cấu trúc của $E$ , là một không gian dàn có thứ tự đầy đủ và, với mọi tập con $X \subset B$ bị chặn trên trong $B$ , cận trên đúng của $X$ trong $B$ đồng nhất với cận trên đúng của nó trong $E$ .

Giao của một họ bất kỳ các dải trong một không gian dàn có thứ tự đầy đủ $E$ cũng là một dải. Với mọi tập con $M \subset E$ , tồn tại một dải nhỏ nhất chứa $M$ (vì chính $E$ là một dải); dải này sẽ được gọi là dải sinh bởi $M$ .

Các tính chất của các dải trong một không gian dàn có thứ tự đầy đủ dựa trên mệnh đề sau:

Mệnh đề 5

— *Cho $E$ là một không gian có thứ tự dàn đầy đủ, $A$ là một tập con không rỗng của $E$ gồm các phần tử $\geqslant 0$ , sao cho: 1) $A + A \subset A$ , và 2) các quan hệ $x \in A,\ 0 \leqslant y \leqslant x$ kéo theo $y \in A$ . Gọi $M$ là tập các cận trên đúng trong $E$ của những tập con của $A$ bị chặn trên trong $E$ . Với các điều kiện đó, mọi phần tử $x \geqslant 0$ của $E$ đều có thể viết dưới dạng $y + z$ , trong đó $y \in M$ là cận trên đúng của các phần tử $v \in A$ sao cho $v \leqslant x$ , và $z$ là một phần tử $\geqslant 0$ rời với mọi phần tử của $M$ .

Dù sao thì $y \leqslant x$ , nên việc còn lại chỉ là chỉ ra rằng $z = x - y$ rời với mọi phần tử $t \in A$ (No. 1), nói cách khác, $u = \inf(z, t)$ bằng không. Theo giả thiết, $u \in A$ và $u \leqslant x - y$ , do đó $u + y \leqslant x$ ; với mọi $v \in A$ sao cho $v \leqslant x$ , theo định nghĩa ta có $v \leqslant y$ , do đó $u + v \leqslant u + y \leqslant x$ ; vì $u + v \in A$ theo giả thiết, nên cũng có $u + v \leqslant y$ theo định nghĩa của $y$ ; sau hết, vì $u + y$ là cận trên đúng trong $E$ của các phần tử $u + v$ sao cho $v \in A$ và $v \leqslant x$ , nên ta có $u + y \leqslant y$ , do đó $u \leqslant 0$ , điều này hoàn tất chứng minh.

Định lý 1 (F. Riesz)

— *Cho $A$ là một tập con của một không gian có thứ tự dàn đầy đủ $E$ . Tập $A'$ gồm các phần tử rời với mọi phần tử của $A$ là một dải; dải $A''$ gồm các phần tử rời với mọi phần tử của $A'$ là đồng nhất với dải sinh bởi $A$ , và $E$ là tổng trực tiếp có thứ tự của các dải $A'$ và $A''$ .

Các tính chất của các phần tử xa lạ, đã được xét lại trong No. 1, và định nghĩa của một dải, cho thấy ngay rằng $A'$ là một dải, do đó $A''$ cũng vậy. Theo Mệnh đề 5 và định nghĩa của một dải, mọi phần tử $x \geqslant 0$ của $E$ có thể viết thành $x = y + z$ , với $y \in A'$ và $z \in A''$ , $y$ và $z$ đều $\geqslant 0$ ; vì mọi phần tử của $E$ là hiệu của hai phần tử $\geqslant 0$ , ta có $E = A' + A''$ ; mặt khác, vì $0$ là phần tử duy nhất xa lạ với chính nó, ta có $A' \cap A'' = \{0\}$ , điều đó chứng minh rằng $E$ là tổng trực tiếp của $A'$ và $A''$ ; sau cùng, vì các thành phần trong $A'$ và $A''$ của một phần tử $\geqslant 0$ của $E$ đều $\geqslant 0$ , $E$ là tổng trực tiếp có thứ tự của $A'$ và $A''$ (No. 4, Prop. 4).

Còn phải chỉ ra rằng $A''$ đồng nhất với dải $B$ sinh bởi $A$ . Thật vậy, $E$ là tổng trực tiếp của $B$ và dải $B'$ gồm các phần tử xa lạ với mọi phần tử của $B$ ; vì $A \subset B$ , ta có $B' \subset A'$ ; mặt khác $B \subset A''$ và $E$ cũng là tổng trực tiếp của $A'$ và $A''$ ; do đó tất yếu $B = A''$ , $B' = A'$ .

Định lý 1 và Mệnh đề 5 cho phép đưa ra một định nghĩa khác của dải sinh bởi một tập hợp các phần tử của $E$ :

Mệnh đề 6

— *Cho $E$ là một không gian dàn đầy đủ, $M$ là một tập con của $E$ , và $B$ là dải sinh bởi $M$ . Gọi $M_1$ là tập hợp các phần tử $\geqslant 0$ của $E$ mà mỗi phần tử đều $\leqslant$ một phần tử nào đó có dạng $\sum_i |x_i|$ , với $x_i \in M$ ; gọi $M_2$ là tập hợp các cận trên đúng của những tập con của $M_1$ bị chặn trên; khi đó tập hợp $M_2$ đồng nhất với tập hợp các phần tử $\geqslant 0$ của $B$ .

Rõ ràng $M_2 \subset B$ theo định nghĩa của một dải; mặt khác, nếu $B'$ là dải các phần tử rời với mọi phần tử của $M_1$ , Định lý 1 cho thấy rằng $E$ là tổng trực tiếp có thứ tự của $B$ và $B'$ . Nhưng Mệnh đề 5 cho thấy rằng mọi phần tử $\geqslant 0$ của $E$ đều là tổng của một phần tử của $M_2$ và một phần tử của $B'$ , do đó mệnh đề được chứng minh.

Hệ quả

— *Cho $a$ là một phần tử của một không gian có thứ tự dàn đầy đủ $E$ , $B_a$ là dải sinh bởi $a$ , $B'_a$ là dải các phần tử rời với $a$ . Với mọi phần tử $x \geqslant 0$ của $E$ , thành phần của $x$ trong $B_a$ (đối với phân tích của $E$ thành tổng trực tiếp có thứ tự của $B_a$ và $B'_a$ ) bằng $\sup_{n \in \mathbf{N}} (\inf(n|a|, x))$ .

Điều này suy ra từ Mệnh đề 6, áp dụng cho $M = \{a\}$ , và Mệnh đề 5.

Chú ý rằng các dải sinh bởi $a$ và $|a|$ là đồng nhất. Nếu $a$ và $b$ là hai phần tử của $E$ rời nhau, và nếu $A$ và $B$ lần lượt là các dải sinh bởi $a$ và $b$ , thì mọi phần tử của $A$ đều rời với mọi phần tử của $B$ ; thật vậy, $b$ thuộc dải $A'$ gồm các phần tử rời với $a$ , do đó $B \subset A'$ , và, theo Định lý 1, mọi phần tử của $A$ đều rời với mọi phần tử của $A'$ .

Bài tập

Xem các bài tập của § 1.