Exercice 23, § 1

Soit $\mu$ une mesure positive sur $T$, portée par une réunion dénombrable d’ensembles compacts.

a) Soit $H$ un ensemble de fonctions numériques $\mu$-mesurables, tel que, pour tout $t \in T$, on ait $\sup_{f \in H} f(t) < +\infty$. Montrer qu’il existe une fonction $\mu$-mesurable finie $g$, telle que $f(t) \leq g(t)$ presque partout pour toute fonction $f \in H$. (Se ramener au cas où $\mu$ est bornée et où les fonctions de $H$ prennent leurs valeurs dans $(-1, +1)$, au moyen d’un homéomorphisme croissant de $\overline{\mathbf{R}}$ sur cet intervalle. Considérer alors la borne supérieure $\tilde{g}$ dans $L^1(\mu)$ de l’ensemble des classes des fonctions de $H$ (chap. IV, § 3, no 6, prop. 14) et remarquer qu’il existe une suite de fonctions de $H$ qui converge presque partout vers $g$.

b) Soit $f$ une application scalairement $\mu$-mesurable de $T$ dans un espace localement convexe séparé $F$. Pour toute partie $B'$ de $F'$, bornée pour $\sigma(F', F)$, montrer qu’il existe une fonction numérique mesurable et finie $g_{B'}$ telle que, pour tout $z' \in B'$, on ait $|\langle f(t), z' \rangle| \leq g_{B'}(t)$ presque partout.

c) Soient $F$ un espace de Fréchet, $f$ une application scalairement $\mu$-mesurable de $T$ dans $F$. Montrer que, pour toute partie compacte $K$ de $T$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe un ensemble compact $K' \subset K$ tel que $\mu(K - K') \leq \varepsilon$ et que la restriction de $f$ à $K'$ soit bornée (utiliser $b$).