En effet, pour tout $z' \in G'$, on a $\langle z', u \circ f \rangle = \langle 'u(z'), f \rangle$, d’où la première assertion ; la seconde résulte de la formule

En particulier si $f$ est scalairement essentiellement $\mu$-intégrable elle reste scalairement essentiellement $\mu$-intégrable lorsqu’on remplace la topologie de $F$ par une topologie moins fine.

C’est une conséquence immédiate de la formule $\langle z', gf \rangle = g \langle z', f \rangle$ pour tout $z' \in F'$ et de la formule $\int h d(g.\mu) = \int hg d\mu$ pour toute fonction scalaire $h$ essentiellement $\mu$-intégrable (chap. V, § 5, no 3, th. 1).

Un grand nombre de propositions sur les fonctions numériques essentiellement intégrables se transposent mot pour mot en propositions sur les fonctions vectorielles scalairement essentiellement intégrables. Signalons parmi les plus importantes les conditions pour qu’une fonction soit essentiellement intégrable par rapport à une mesure définie par une densité (chap. V, § 5, no 3, th. 1), ou par rapport à l’image d’une mesure (chap. V, § 6; no 2, th. 1), ou par rapport à une mesure induite (chap. V, § 7, no 1, th. 1), ou par rapport à la somme d’une famille sommable de mesures positives (chap. V, § 3, no 5, prop. 5). Nous laissons ces transcriptions au lecteur.

Par contre, pour obtenir des énoncés correspondant aux théorèmes sur les intégrales « doubles » (chap. V, § 3, no 4, th. 1 et § 8, no 1, th. 1 (th. de Lebesgue-Fubini)), il est nécessaire d’en renforcer les hypothèses (cf. exerc. 1) ; en appliquant les théorèmes précités à chacune des fonctions $\langle z', f \rangle$, où $z' \in F'$, on obtient ainsi les deux propositions suivantes :

(*) On rappelle que pour une mesure positive bornée $\mu$, les notions de fonction $\mu$-intégrable et de fonction essentiellement $\mu$-intégrable sont les mêmes (chap. V, § 2, no 1, cor. de la prop. 3).

loppe convexe fermée de $f(S)$ dans l’espace $F'$* muni de la topologie $\sigma(F', F')$. On a alors $\int f d\mu \in \mu(T)D$.

Comme D est l’intersection des demi-espaces fermés contenant $f(S)$ (Esp. vect. top., chap. II, § 3, n° 3, cor. 1 de la prop. 4), il suffit de démontrer que la relation $\langle f(t), z' \rangle \leq a$ pour tout $t \in S$ (où $z' \in F', a \in \mathbf{R}$) entraîne $\langle z', \int f d\mu \rangle \leq a . \mu(T)$; mais comme $\int f d\mu = \int_S f d\mu$, cela résulte de la prop. 1 du chap. IV, § 4, n° 2.

En effet, pour tout $z' \in F'$, $\langle z', f \rangle$ est $\mu$-mesurable et bornée dans S, donc intégrable, ce qui prouve que f est scalairement intégrable. En outre, comme A est compact dans $F_\tau$, il est fermé dans $F'$*, et l’enveloppe convexe fermée de $f(S)$ dans $F'$* est contenue dans A, d’où le corollaire.

Soit D l’ensemble des $z \in F$ tels que $q(z) \leq 1$; D est fermé et convexe et contient 0, donc on a $D = D^{00}$ (Esp. vect. top., chap. IV, § 2, n° 3, cor. 2 de la prop. 4). Il suffit donc de prouver que pour tout $z' \in D^0$ on a $|\langle z', \int f d\mu \rangle| \leq \int^{*} (q \circ f) d\mu$; mais cela résulte aussitôt de ce que l’on a, pour tout $t \in T$, $|\langle z', f(t) \rangle| \leq q(f(t))$.

On notera que la fonction numérique $q \circ f$ n’est pas nécessairement $\mu$-mesurable (exerc. 12).

Pour toute partie compacte $K$ de $T$, on a

on peut appliquer à la mesure bornée $\varphi_K \cdot \mu$ et à la fonction $f_{\varphi_K}$ le cor. de la prop. 5, et on a par suite $\int f_{\varphi_K} d\mu \in F$. Pour tout $z' \in F'$, $\langle z', f \rangle$ est essentiellement $\mu$-intégrable, et par suite (chap. V, § 2, no 2, prop. 8) on a $\int \langle z', f \rangle d\mu = \lim_K \int \langle z', f \rangle_{\varphi_K} d\mu$, la limite étant prise suivant l’ensemble filtrant croissant des parties compactes de $T$. On en conclut que, suivant cet ensemble, Or, on a ce qui prouve que l’ensemble des éléments $\int f_{\varphi_K} d\mu$ est une partie bornée de $F_\sigma$, donc aussi de $F$ (Esp. vect. top., chap. IV, § 2, no 4, th. 3). La prop. 7 est donc conséquence du lemme suivant :

En effet, une partie bornée de $F$ est contenue dans le polaire (dans $F''$) d’un voisinage de 0 dans le dual fort $F'$ de $F$, donc est relativement compacte dans $F''$ pour $\sigma(F'', F')$ (Esp. vect. top., chap. IV, § 2, no 2, prop. 1 et 2); comme $\sigma(F'', F')$ est induite par $\sigma({F'}^*, F')$ le lemme est démontré.

Toute partie bornée de F est en effet relativement faiblement compacte (Esp. vect. top., chap. IV, § 3, n° 3, th. 1), et on a $F = F''$.

Comme S est µ-intégrable, il existe une partition de S formée d’un ensemble µ-négligeable N et d’une suite (K_n) de parties compactes telles que la restriction de f à chacun des K_n soit continue (chap. IV, § 5, n° 1); f(K_n) est par suite une partie compacte de F. L’enveloppe convexe équilibrée fermée B_n de f(K_n) est alors précompacte (Esp. vect. top., chap. II, § 4, n° 1, prop. 2) et est contenue dans la partie complète B de F, donc elle est compacte, et a fortiori faiblement compacte. Par suite (cor. de la prop. 5), f_{φ_{K_n}} est scalairement µ-intégrable, et on a $z_n = \int f_{\varphi_{K_n}} d\mu \in \mu(K_n)B_n \subset \mu(K_n)B$. Pour toute semi-norme continue p sur F, on a par suite $p(z_n) \leq \mu(K_n) \sup_{x \in B} p(x)$; comme B est bornée et que la série de terme général $\mu(K_n)$ est convergente et a pour somme $\mu(T)$, on voit que la suite de terme général $s_n = z_1 + z_2 + \cdots + z_n$ est une suite de Cauchy dans la partie complète $\mu(T)B$ de F. Cette suite converge donc vers un élément s de $\mu(T)B$; comme on peut supposer f(t) = 0 dans T - S, le th. de Lebesgue appliqué à chacune des fonctions $\langle z', f \rangle$ ($z' \in F'$) prouve que $s = \int f d\mu$.

a) Pour tout x ∈ G, on a $\int (U(t).x)d\mu(t) \in H$.

b) Pour toute partie équicontinue B' de H', l'ensemble des formes linéaires $u_{y'} : x \to \int \langle U(t).x, y' \rangle d\mu(t)$, où y' parcourt B', est équicontinu.

Les conditions a) et b) sont nécessaires. En effet, pour tout x ∈ G, l'application $\tilde{x} : V \to V.x$ de $\mathscr{L}_s(G; H)$ dans H étant linéaire et continue, on voit (no 1, prop. 1) que $\tilde{x} \circ U : t \to U(t).x$ est scalairement essentiellement μ-intégrable et que l'on a

(1)

en posant $S = \int Ud\mu \in \mathscr{L}_s(G; H)$. Cela prouve a). De plus, (1) s'écrit aussi

(2)

autrement dit on a 'S.y' = $u_{y'}$. Comme S est continue, 'S transforme toute partie équicontinue de H' en une partie équicontinue de G', d'où b).

Inversement, supposons a) et b) vérifiées. En vertu de a), la formule (1) définit une application linéaire S de G dans H, et pour tout y' ∈ H', cette application vérifie (2) (no 1, prop. 1); mais alors la condition b) exprime que S est continue (Esp. vect. top., chap. IV, § 4, n° 1, prop. 1 et 2, et § 2, n° 2, prop. 1), donc $S \in \mathscr{L}_s(G; H)$. Enfin, la formule (2) prouve que $S = \int U d\mu$.

1° La mesure $\mu$ est bornée, et si S est son support, $U(S)$ est une partie équicontinue de $\mathscr{L}(G; H)$.

2° La condition a) de la prop. 9 est vérifiée, l’espace G est tonnelé, et pour toute partie compacte K de T, $U(K)$ est une partie bornée de $\mathscr{L}_s(G; H)$.

Plaçons-nous d’abord dans le cas 1°. On peut se borner au cas où $S = T$ (chap. V, § 7, n° 1, th. 1). Alors, pour toute partie équicontinue B′ de H′, il existe une partie équicontinue, convexe, équilibrée et faiblement fermée $A' \subset G'$ telle que $^tU(t) . y' \in A'$ pour tout $y' \in B'$ et tout $t \in T$ (Esp. vect. top., chap. IV, § 4, n° 1, prop. 2). Comme $U$ est scalairement $\mu$-intégrable, l’application $t \to ^tU(t) . y'$ de T dans le dual $G'$ de G muni de $\sigma(G', G)$, est scalairement $\mu$-intégrable, et on peut écrire

Comme $A'$ est convexe et compacte pour $\sigma(G', G)$, le cor. de la prop. 5 du n° 2 montre que, pour tout $y' \in B'$, on a $u_{y'} \in \mu(T)A'$, ce qui prouve notre assertion.

Plaçons-nous maintenant dans le cas 2°. Pour tout $y' \in H'$ et toute partie compacte K de T, posons

élément du dual algébrique $G^*$ de G. Comme G est tonnelé, toute partie bornée de $\mathscr{L}_s(G; H)$ est équicontinue (Esp. vect. top., chap. III, § 3, n° 6, th. 2); la première partie du raisonnement, appliquée à la fonction $\varphi_K U$ et à la mesure bornée $\varphi_K . \mu$, montre que l’on a $u_{K, y'} \in G'$. En outre, pour la topologie $\sigma(G^*, G)$, on a $u_{y'} = \lim_K u_{K, y'}$, la limite étant prise suivant l’ensemble filtrant croissant des parties compactes de T (chap. V, § 2, no 2, prop. 8). Pour vérifier la condition b) de la prop. 9, il suffit, d’après la prop. 9, de prouver que l’application linéaire S de G dans H définie par (1) est continue ; en outre, G est tonnelé, et il suffit donc de prouver que S est continue quand on munit G et H de leurs topologies affaiblies (Esp. vect. top., chap. IV, § 4, no 2, cor. de la prop. 7); finalement, en vertu de (2), on est ramené à montrer que pour tout y' ∈ H', on a u_{y'} ∈ G'. Comme u_{y'} est adhérent pour σ(G*, G) à l’ensemble M' des u_{K, y'}, où K parcourt l’ensemble des parties compactes de T, il suffit de prouver que M' est équicontinu ; et comme G est tonnelé, il revient au même de dire que pour tout x ∈ G, l’ensemble des ⟨x, u_{K, y'}⟩ est borné (Esp. vect. top., chap. III, § 3, no 6, th. 2). Mais cela résulte aussitôt des relations

a) H est quasi-complet, $\mu$ est bornée, et si S est son support, U est $\mu$-mesurable et U(S) est équicontinu.

b) H est semi-réflexif, $\mu$ est bornée, et si S est son support, U est scalairement $\mu$-mesurable et U(S) est équicontinu.

c) H est semi-réflexif, G est tonnelé, U est scalairement essentiellement $\mu$-intégrable, et pour toute partie compacte K de T, U(K) est borné.

Le fait que U est scalairement essentiellement intégrable est évident dans les trois cas ; en vertu de la prop. 9 et de son corollaire il suffit de vérifier dans chacun des cas la condition a) de la prop. 9. Or, cette condition résulte de la prop. 8 du no 2 dans le premier cas, du cor. de la prop. 7 du no 2 dans les deux autres cas.

Soient V un tonneau dans F, q sa jauge, qui est une semi-norme sur F ; soit H l’espace séparé associé à l’espace F muni de la topologie définie par cette seule semi-norme. Le complété $\widehat{H}$ de H est un espace de Banach ; soit $\pi$ l’application canonique de F dans $\widehat{H}$ ; nous allons montrer que $\pi$ est continue (pour la topologie initiale de F) ; cela établira la proposition, car V, image réciproque par $\pi$ de la boule unité de $\widehat{H}$, sera alors un voisinage de 0 dans F. Pour établir la continuité de $\pi$, il suffira, en vertu de (GDF), de montrer que le graphe de $\pi$ est fermé dans $F \times \widehat{H}$ ; en d’autres termes, nous devons voir que si $\mathscr{F}$ est un filtre sur F, convergent vers $x \in F$, et si son image $\pi(\mathscr{F})$ converge vers $y \in \widehat{H}$, on a $y = \pi(x)$. Or tout élément $x'$ du polaire $V^0$ de V dans $F'$ se prolonge d’une seule manière en une forme linéaire continue sur $\widehat{H}$ (notée encore $x'$), et l’ensemble de ces formes est la boule unité du dual de $\widehat{H}$ ; il suffit donc de montrer que $\langle y, x' \rangle = \langle \pi(x), x' \rangle$ pour tout $x' \in V^0$. Mais cela résulte des relations

Rappelons que le dual de $F'_s$ est F (Esp. vect. top., chap. IV, § 1, no 2, prop. 1). Pour tout $z \in F$, la fonction numérique $\langle z, f \rangle$ est donc essentiellement $\mu$-intégrable ; soit $\theta(z)$ sa classe dans $L^1(\mu)$.

Pour montrer que $\int f d\mu \in F'$, il faut établir que la forme linéaire $z \mapsto \langle z, \int f d\mu \rangle$ est continue dans $F$; en fait, nous allons démontrer le résultat plus fort suivant :

En vertu de la propriété (GDF), il suffit de montrer que pour toute suite $(z_n)$ d’éléments de $F$ convergente vers $z$ et telle que $(\theta(z_n))$ converge vers $u \in L^p(\mu)$, on a $u = \theta(z)$. Or, en remplaçant éventuellement la suite $(z_n)$ par une suite extraite, on peut supposer que la suite des fonctions $\langle z_n, f \rangle$ converge localement presque partout vers une fonction $h \in \mathscr{L}^p(\mu)$, de classe $u$ dans $L^p(\mu)$ (chap. IV, § 3, no 4, th. 3 et chap. V, § 2, no 2, prop. 6). Comme par hypothèse, pour tout $t \in T$, la suite $(\langle z_n, f(t) \rangle)$ converge vers $\langle z, f(t) \rangle$, on a $h(t) = \langle z, f(t) \rangle$ localement presque partout, et par suite $u = \theta(z)$.

L’espace $F$ est en dualité avec le produit tensoriel $\bigotimes_{i=1}^n G_i$, et la topologie de la convergence simple sur $F$ n’est autre que la topologie $\sigma(F, \bigotimes_{i=1}^n G_i)$. Le dual algébrique $F'$ est donc l’espace de toutes les formes multilinéaires sur $\prod_{i=1}^n G_i$. Soit $z = (z_1, \ldots, z_n)$ un élément de $\prod_{i=1}^n G_i$; pour toute forme multilinéaire $u \in F'$, l’application $x \to u(z_1, \ldots, z_{i-1}, x, z_{i+1}, \ldots, z_n)$ est une forme linéaire sur $G_i$ que nous noterons $\lambda_i(z)(u)$; on obtient ainsi une application linéaire $\lambda_i(z)$ de $F'{}^*$ dans le dual algébrique $G_i^*$ de $G_i$, continue pour les topologies $\sigma(F'{}^*, \bigotimes_{i=1}^n G_i)$ et $\sigma(G_i^*, G_i)$. Dire que $u \in F$ signifie que pour tout indice $i$ et tout $z \in \prod_{i=1}^n G_i$, on a $\lambda_i(z)(u) \in G_i'$. Or, d’après la prop. 1 du n° 1, l’application $\lambda_i(z) \circ f$ est une application scalairement essentiellement $\mu$-intégrable de $T$ dans $G_i'$ muni de la topologie $\sigma(G_i', G_i)$, et on a $\int (\lambda_i(z) \circ f)d\mu = \lambda_i(z)\left( \int f d\mu \right)$. D’après le th. 1, on a $\int (\lambda_i(z) \circ f)d\mu \in G_i'$ pour $1 \leq i \leq n$, donc $\int f d\mu \in F$.

Comme $G$ est tonnelé (prop. 11), on a $\mathscr{L}(G; H) = \mathscr{L}(G_\sigma; H_\sigma)$ (Esp. vect. top., chap. IV, § 4, n° 2, cor. de la prop. 7); en outre, on peut remplacer $F = \mathscr{L}_s(G; H)$ par l’espace $\mathscr{L}_s(G_\sigma; H_\sigma)$, les deux espaces ayant même dual $G \otimes H'$ (Esp. vect. top., chap. IV, § 2, n° 9, cor. de la prop. 11, et § 1, n° 2, prop. 1). Si pour tout $u \in \mathscr{L}(G; H) = \mathscr{L}(G_\sigma; H_\sigma)$, on pose $\tilde{u}(x, y') = \langle u(x), y' \rangle$ (pour $x \in G$, $y' \in H'$), l’application linéaire $u \to \tilde{u}$ est une bijection de $F$ sur l’espace $F_1$ des formes bilinéaires séparément continues sur $G_\sigma \times H'_\sigma$, où $H'_\sigma$ désigne le dual $H'$ muni de la topologie faible $\sigma(H', H)$ (App., n° 1); en outre cette application est un isomorphisme de $\mathscr{L}_s(G_\sigma; H_\sigma)$ sur $F_1$ muni de la topologie de la convergence simple (loc. cit.). Mais comme par hypothèse $H$ est le dual de $H_b'$, $F_1$ est aussi l’espace des formes bilinéaires séparément continues sur $G \times H_b'$. Le cor. 2 résulte donc du cor. 1.

On notera que le cor. 2 s’applique en particulier lorsque G est un espace de Banach et H un espace de Banach réflexif.

En effet, F peut être considéré comme un sous-espace d’un produit dénombrable $\prod_{n} E_n$ d’espaces de Banach (Esp. vect. top., chap. II, § 5, no 5, prop. 7), et on peut supposer que $pr_n(F)$ est dense dans $E_n$, qui est donc de type dénombrable. Pour tout n, l’application $pr_n \circ f$ est scalairement μ-mesurable, donc μ-mesurable (chap. IV, § 5, no 5, prop. 10), et par suite f est μ-mesurable (chap. IV, § 5, no 3, th. 1).

Supposons d’abord que F soit métrisable et de type dénombrable, et soit D un ensemble dénombrable dense dans F. Soit $(V_n)$ une suite fondamentale décroissante de voisinages ouverts convexes équilibrés de 0 dans F ; les ensembles polaires $V_n^0$ sont équicontinu et leur réunion est $F'$ tout entier. Soit $T_n = \overline{f}(V_n^0)$; la suite $(T_n)$ est croissante et $T = \bigcup_n T_n$; montrons que chacun des $T_n$ est μ-mesurable. En effet, $D \cap V_n$ est dense dans $V_n$; pour tout $y \in D \cap V_n$, soit $S_y$ l’ensemble des $t \in T$ tels que $|\langle y, f(t) \rangle| \leq 1$; l’hypothèse entraîne que chacun des $S_y$ est mesurable, et $T_n$ est l’intersection de la famille dénombrable des $S_y$ ($y \in D \cap V_n$). Cela étant, pour toute partie compacte K de T et tout $\varepsilon > 0$, il existe un entier n tel que $\mu(K - (K \cap T_n)) \leq \frac{\varepsilon}{4}$, puis une partie compacte $K_1$ de $K \cap T_n$ telle que $\mu((K \cap T_n) - K_1) \leq \frac{\varepsilon}{4}$; enfin, il existe une partie compacte $K_2$ de $K_1$ telle que $\mu(K_1 - K_2) \leq \frac{\varepsilon}{2}$, et que les restrictions à $K_2$ de toutes les fonctions $\langle y, f \rangle$, où $y \in D$, soient continues (chap. IV, § 5, no 1, prop. 2). Comme l’ensemble $f(K_2) \subset f(T_n) \subset V_n^0$ est équicontinu, la topologie induite par $\sigma(F', F)$ sur $f(K_2)$ est identique à la topologie de la convergence simple dans D (Top. gén., chap. X, 2e éd., § 2, no 4, th. 1); par suite, la restriction de $f$ à $K_2$ est continue, d’où notre assertion dans ce premier cas.

Passons au cas général. Si $z'$ est une forme linéaire continue sur $F$, sa restriction $z'_n$ à $F_n$ est continue; comme $F = \bigcup_n F_n$, le dual $F'$ de $F$ peut être identifié (algébriquement) à un sous-espace vectoriel du produit $\prod_n F'_n$, et on a $pr_n z' = z'_n$. En outre, toute partie finie de $F$ étant contenue dans l’un des $F_n$, la topologie $\sigma(F', F)$ n’est autre que la topologie induite par la topologie produit des topologies $\sigma(F'_n, F_n)$. Cela étant, si $f$ est scalairement $\mu$-mesurable, $pr_n \circ f$ est scalairement $\mu$-mesurable, puisque pour tout $t \in T$, $pr_n(f(t))$ est la restriction de $f(t)$ à $F_n$. La première partie de la démonstration montre que $pr_n \circ f$ est $\mu$-mesurable pour tout $n$, et il en est donc de même de $f$ (chap. IV, § 5, no 3, th. 1).

Pour établir l’unicité du prolongement, il suffit de voir que les mesures ponctuelles $\varepsilon_t$ forment un ensemble total dans $C'(T)$ : comme le dual de $C'(T)$ est $C(T)$ (Esp. vect. top., chap. IV, § 2, no 3, th. 2), il suffit de remarquer que toute fonction $g \in C(T)$ orthogonale à toutes les mesures $\varepsilon_t$ est égale à 0 par définition (Esp. vect. top., chap. IV, § 2, no 3, Remarque).

Montrons maintenant que $\lambda \to \int f d\lambda$ est continue. Soit V un voisinage convexe fermé équilibré de 0 dans F ; il suffit de prouver qu’il existe une partie relativement compacte L de $C(T)$ telle que les relations $\lambda \in L^0$ et $z' \in V^0$ entraînent $\left| \left( \int f d\lambda, z' \right) \right| \leq 1,$ ou encore $\left| \int \langle \mathbf{f}, \mathbf{z}' \rangle d\lambda \right| \leq 1$. Pour cela, on va montrer que lorsque $\mathbf{z}'$ parcourt $V^0$, l’ensemble $L$ des fonctions numériques $\langle \mathbf{f}, \mathbf{z}' \rangle$ est relativement compact dans $C(T)$. Comme $V^0$ est borné pour $\sigma(F', F)$, la borne supérieure des nombres $|\langle \mathbf{f}(t), \mathbf{z}' \rangle|$ pour $t \in T$ fixe, $\mathbf{z}'$ parcourant $V^0$, est finie ; en vertu du th. d’Ascoli (Top. gén., chap. X, 2e éd., § 2, no 5, cor. 2 du th. 2), il suffit donc de montrer que l’ensemble des $\langle \mathbf{f}, \mathbf{z}' \rangle$ ($\mathbf{z}' \in V^0$) est équicontinu. Mais, pour tout $t_0 \in T$ et tout $\delta > 0$, il existe par hypothèse un voisinage $W$ de $t_0$ dans $T$ tel que $\mathbf{f}(t) - \mathbf{f}(t_0) \in \delta V$ pour tout $t \in W$; on en conclut $|\langle \mathbf{f}(t), \mathbf{z}' \rangle - \langle \mathbf{f}(t_0), \mathbf{z}' \rangle| \leq \delta$ pour tout $t \in W$ et tout $\mathbf{z}' \in V^0$, ce qui achève la démonstration.