Si on désigne cette application par $\Phi$, il est immédiat que $\Phi(\lambda z') = \lambda \Phi(z')$ pour tout $\lambda \in \mathbf{R}$. Tout revient à voir que $\Phi(y' + z') = \Phi(y') + \Phi(z')$. Posons $\mu = |y' \circ m| + |z' \circ m|$; en vertu du th. de Lebesgue-Nikodym, on peut alors écrire $y' \circ m = g \cdot \mu$ et $z' \circ m = h \cdot \mu$, où $g$ et $h$ sont deux fonctions numériques localement $\mu$-intégrables et bornées (chap. V, § 5, no 5, th. 2); en outre, on a $(y' \circ m)^+ = g^+ \cdot \mu$ et $(y' \circ m)^- = g^- \cdot \mu$, et les relations analogues lorsque $y'$ est remplacé par $z'$ (resp. $y' + z'$) et $g$ par $h$ (resp. $g + h$). Cela étant, il est immédiat que $f$ est essentiellement $\mu$-intégrable (chap. V, § 3, no 5, cor. 1 de la prop. 6), et la relation à démontrer se réduit à $(g + h)^+ - (g + h)^- = (g^+ - g^-) + (h^+ - h^-)$, qui est évidente.

En général, si $f \in \mathscr{L}(m)$, l’intégrale $\int f d\mathbf{m}$ appartient à ${F'}^*$ mais non à $F$ (voir Exemple ci-dessus). Cependant :

Soit $A$ l’ensemble des $f \in \mathscr{L}(m)$ telles que $\sup_{t \in T} |f(t)| \leq 1$, et soit $B = A \cap \mathscr{K}(T)$ : par hypothèse, $m(B)$ est faiblement relativement compact dans $F$, et il suffit donc de montrer que $m(A)$ est contenu dans l’adhérence (dans $F' \ast$) de $m(B)$ pour la topologie $\sigma(F'^*, F')$; comme $m(B)$ est convexe et équilibré, il suffit de prouver que le polaire de $m(B)$ dans $F'$ est contenu dans celui de $m(A)$ (Esp. vect. top., chap. IV, § 1, n° 3, prop. 3). Or, pour qu’une forme linéaire $z' \in F'$ appartienne à $(m(B))^0$, il faut et il suffit que

qui signifie que la mesure scalaire $|z' \circ m|$ est bornée et de norme $\leq 1$ (chap. III, § 2, no 6, prop. 3) ; mais d’après (2) cette dernière condition entraîne $|\langle z', m(f) \rangle| \leq 1$ pour toute fonction $f \in A$, d’où $z' \in (m(A))^0$.

La première assertion se déduit immédiatement de la prop. 3 : si $f$ est bornée et à support compact, et si $U$ est un voisinage ouvert relativement compact du support de $f$, la restriction de $m$ au sous-espace $\mathscr{K}(U)$ est une mesure $m_u$ sur $U$ qui vérifie les conditions de la prop. 3, et on a $\int f d\mathbf{m}_u = \int f d\mathbf{m}$ (chap. V, § 7, no 1, th. 1), donc $\int f d\mathbf{m} \in F$.

Soit maintenant $f$ quelconque dans $\mathscr{L}(m)$; pour toute partie compacte $K$ de $T$ et tout entier $n > 0$, soit $f_{n, K}$ la fonction numérique sur $T$ définie comme suit : si $t \notin K$, $f_{n, K}(t) = 0$; si $t \in K$ et $|f(t)| \leq n$, $f_{n, K}(t) = f(t)$; enfin, si $t \in K$ et $|f(t)| > n$, $f_{n, K}(t) = nf(t)/|f(t)|$. Il est clair que pour tout $t \in T$, $f(t)$ est limite de $f_{n, K}(t)$ suivant le filtre produit du filtre de Fréchet par le filtre des sections de l’ensemble ordonné (filtrant croissant) des parties compactes de $T$. Comme $|f_{n, K}| \leq |f|$, il résulte du th. de Lebesgue et de la prop. 8 du chap. V, § 2, no 2, appliqués à chaque mesure scalaire $|\mathbf{z}' \circ m|$, que $f_{n, K}$ converge vers $f$ dans $\mathscr{L}(m)$ suivant le filtre précédent. Par suite, l’intégrale $\int f d\mathbf{m}$ est adhérente dans $F' *$ (pour la topologie $\sigma(F', F')$) à l’ensemble $M$ des $m(f_{n, K})$. Mais la première partie du corollaire montre que $M \subset F$, et d’autre part, pour tout $\mathbf{z}' \in F'$, on a $|\langle \mathbf{z}', m(f_{n, K}) \rangle| \leq \int |f| d|\mathbf{z}' \circ m|$, ce qui montre que $M$ est borné dans $F_\sigma$, et par suite dans $F$ (Esp. vect. top., chap. IV, § 2, no 4, th. 3). Le lemme 1 du § 1, no 2 montre donc que $\int f d\mathbf{m} \in F''$.

En effet, le dual $F'$ s'identifie à $\prod_{i=1}^n F_i'$, de façon que si $x = (x_i) \in F$, $z' = (z_i') \in F'$, on ait $\langle x, z' \rangle = \sum_{i=1}^n \langle x_i, z_i' \rangle$. Si $|\langle x, z' \rangle| \leq q(x)$ pour tout $x \in F$, on a en particulier $|\langle x_i, z_i' \rangle| \leq q_i(x_i)$ pour $1 \leq i \leq n$, et la réciproque est évidente, ce qui montre que l'ensemble $A_q'$ est le produit des $A_{q_i}'$. Comme par hypothèse on a $|z_i' \circ m_i| \leq q_i(m_i)$ pour $z_i' \in A_{q_i}'$, on en conclut que

pour tout $z' \in A_q'$, ce qui démontre la proposition.

Nous utiliserons le résultat auxiliaire suivant. Soit $(\mu_i)_{i \in I}$ une famille filtrante croissante de mesures positives sur T. Désignons par $\mathscr{L}^1((\mu_i)_{i \in I})$ l’espace vectoriel des fonctions numériques finies sur T, essentiellement $\mu_i$-intégrables pour tout $i \in I$, muni de la topologie définie par les semi-normes $f \to \mu_i(|f|)$ ($i \in I$). Soit $\mathscr{L}_0$ le sous-espace vectoriel de $\mathscr{L}^1((\mu_i)_{i \in I})$ engendré par les produits $g \varphi_K$ où g parcourt l’ensemble des fonctions numériques finies continues dans T et K l’ensemble des parties compactes de T.

b) tout élément de $\mathscr{L}^1((\mu_i)_{i \in I})$ est adhérent à une partie bornée de $\mathscr{L}_0$.

Pour démontrer a), on peut se restreindre au cas d’un élément de la forme $f = g \varphi_K$ ($g \in C(T)$, K compact dans T). Il est immédiat (en vertu du th. d’Urysohn) que $f$ est adhérente à l’ensemble B des fonctions de la forme $gh$, où $h$ décrit l’ensemble des applications continues de T dans $[0, 1]$, égale à 1 dans K et à 0 dans le complémentaire d’un voisinage compact fixe H de K. De plus, l’ensemble B est borné, car $\mu_i(|gh|) \leq \mu_i(|g \varphi_H|)$ pour toute fonction $h$ ayant les propriétés précédentes.

Démontrons maintenant b) : on peut se restreindre au cas d’un élément $f \geq 0$ de $\mathscr{L}^1((\mu_i)_{i \in I})$. Pour tout $i \in I$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe une partie compacte $K(i, \varepsilon)$ de T telle que la restriction de $f$ à $K(i, \varepsilon)$ soit continue et que $\mu_i(|f - f \varphi_{K(i, \varepsilon)}|) \leq \varepsilon$. Il est clair que $f$ est adhérente à l’ensemble C des $f \varphi_{K(i, \varepsilon)}$ (où $i \in I, \varepsilon > 0$). En vertu du th. d’Urysohn, l’ensemble C est contenu dans $\mathscr{L}_0$; de plus, il est borné, car on a $\mu_x(f \varphi_{K(i, \varepsilon)}) \leq \mu_x(f)$ quels que soient $i \in I, x \in I$ et $\varepsilon > 0$.

Démontrons maintenant la prop. 6 : pour toute fonction $g \in \mathscr{J}(T)$ et toute semi-norme continue $q$ sur F, on a

ce qui entraîne que l’application $g \to \int g d\mathbf{m}$ de $\mathscr{J}(T)$ dans F est continue lorsqu’on munit $\mathscr{J}(T)$ de la topologie induite par celle de $\mathscr{L}^1((q(\mathbf{m})))_{q \in Q}$ (Q ensemble des semi-normes continues sur F). Par suite, d’après le lemme précédent, et la prop. 8 de Esp. vect. top., chap. III, § 2, no 5, cette application se prolonge par continuité, tout d’abord en une application linéaire continue $\varphi_0$ de $\mathscr{L}_0$ dans F, puis en une application linéaire continue $\varphi$ de $\mathscr{L}^1((q(\mathbf{m})))_{q \in Q}$ dans F. En outre, pour tout $z' \in F'$, la relation $\langle z', \varphi(f) \rangle = \int f d(z' \circ \mathbf{m})$ est vraie par définition de $\varphi$ pour toute $f \in \mathscr{J}(T)$; comme $|z' \circ \mathbf{m}| \leq q(\mathbf{m})$ pour $q(z) = |\langle z', z \rangle|$, l’application $f \to \int f d(z' \circ \mathbf{m})$ est continue dans $\mathscr{L}^1((q(\mathbf{m})))_{q \in Q}$, donc on a encore par continuité, la relation

En effet (no 1, Remarque 3), il suffit de montrer que, si on pose $\mathbf{m}(g) = \int g \mathbf{f} d\mu$, $\mathbf{z}' \circ \mathbf{m}$ est une mesure scalaire pour tout $\mathbf{z}' \in F'$. Mais comme $\mathbf{z}'(\mathbf{m}(g)) = \int g \langle \mathbf{z}', \mathbf{f} \rangle d\mu$, on a $\mathbf{z}' \circ \mathbf{m} = \langle \mathbf{z}', \mathbf{f} \rangle \cdot \mu$, d'où notre assertion.

a) Si, pour toute partie compacte $K$ de $T$, l'intégrale supérieure $\int_K^{*} (q \circ f) d\mu$ est finie, alors $m$ est $q$-majorable.

b) Si $m$ est $q$-majorable, alors $q(m)$ est de base $\mu$; si de plus $f$ est $\mu$-mesurable en tant qu'application de $T$ dans $F_{\sigma}$, alors $q \circ f$ est localement $\mu$-intégrable, et on a $q(m) = (q \circ f) \cdot \mu$.

a) Pour toute partie finie $J$ de $A'_q$, désignons par $\lambda_J$ la borne supérieure des mesures $|z' \circ m|$ où $z'$ parcourt $J$; si $g_J = \sup_{z' \in J} |\langle z', f \rangle|$ on a $\lambda_J = g_J \cdot \mu$ (chap. V, § 5, no 4, prop. 5).

Pour toute partie ouverte relativement compacte $U$ de $T$, soit $\lambda_{J, U}$ la restriction de $\lambda_J$ à $U$; montrons d'abord que lorsque $J$ parcourt l'ensemble filtrant $\mathfrak{F}$ des parties finies de $A'_q$, la famille $(\lambda_{J, U})$ est majorée dans $\mathscr{M}(U)$. En effet, pour toute fonction $h \geq 0$ de $\mathscr{H}(U)$, on a

d'où notre assertion (chap. II, § 2, no 2). Soit $\nu_U$ la borne supérieure de cette famille de mesures dans $\mathscr{M}(U)$. Si $U'$ est une seconde partie ouverte relativement compacte de $T$ telle que $U \subset U'$, $\nu_U$ est la restriction de $\nu_{U'}$ à $U$, comme il résulte aussitôt de l'expression de la borne supérieure d'un ensemble filtrant croissant de mesures (chap. II, § 2, no 2) et du fait que $\lambda_{J, U}$ est la restriction à $U$ de $\lambda_{J, U'}$. Il y a donc une mesure positive $\nu$ et une seule dont la restriction à chacun des $U$ soit $\nu_U$ (chap. III, § 3, no 1, prop. 1), et il est clair que $\nu = q(m)$.

b) Comme les mesures $\lambda_J$ sont de base $\mu$, il en est de même de leur borne supérieure $q(m)$ (chap. V, § 5, no 5, th. 2). Si $f$ est $\mu$-mesurable pour la topologie $\sigma(F, F')$ sur $F$, il résulte aussitôt des définitions que l'application $t \to (g_J(t))_{J \in \mathfrak{F}}$ de $T$ dans l'espace produit $\mathbf{R}^{\mathfrak{F}}$ est $\mu$-mesurable ; comme la famille $(g_J)$ est filtrante croissante, $q \circ f = \sup_{J \in \mathfrak{F}} g_J$ est $\mu$-mesurable, et pour toute partie compacte $K$ de $T$, on a

(chap. V, § 2, no 2, prop. 9). Mais cela prouve que $q \circ f$ est localement $\mu$-intégrable et que $\lambda_J \leq (q \circ f) \cdot \mu \leq q(m)$ pour tout $J \in \mathscr{F}$; d’où, par définition, $q(m) = (q \circ f) \cdot \mu$.

Soient $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ une base de $F$ et $(e'_i)_{1 \leq i \leq n}$ la base duale de $F'$. Pour tout indice $i$, on a $|e'_i \circ m| \leq |m|$, donc (chap. V, § 5, no 5, th. 2) $e'_i \circ m = h_i.|m|$, où $h_i$ est bornée et $|m|$-mesurable. Si on pose $h = \sum_{i=1}^n h_i e_i$, on a donc $m = h.|m|$. Si $m = f.|m|$, la prop. 8 montre que $|m| = |f|.|m|$, d’où $|f(t)| = 1$ localement presque partout pour $|m|$ (chap. V, § 5, no 4, cor. 2 de la prop. 5). La dernière assertion résulte aussitôt de la prop. 8.