En effet, Y est réunion d'une suite croissante $(U_n)$ d'ensembles ouverts relativement compacts tels que $\overline{U}_n \subset U_{n+1}$ pour tout $n$ (Top. gén., chap. I, 2e éd., § 10, no 11, prop. 19); l'espace $\mathscr{K}(Y)$ est réunion de la suite croissante des espaces de Banach $\mathscr{K}(Y, \overline{U}_n)$, et on sait que chacun de ces derniers est de type dénombrable (Top. gén., chap. X, 2e éd., § 3, no 4, th. 1). Soient $S'_n$ un ensemble dénombrable dense dans $\mathscr{K}(Y, \overline{U}_n)$, $S_n$ l'ensemble des fonctions $\varphi^+$ pour $\varphi \in S'_n$, $u_n$ une fonction de $\mathscr{K}(Y, \overline{U}_{n+1})$, à valeurs dans $\{0,1\}$ et égale à 1 dans $U_n$. Nous prendrons pour S la réunion des $S_n$ et de l'ensemble des $m u_n$ pour $m$ et $n$ entiers $\geqslant 0$. Pour toute fonction $f \geqslant 0$ de $\mathscr{K}(Y)$, $f$ a son support dans l'un des $U_n$, donc est limite uniforme d'une suite de fonctions $f_p \in S_n$ ($p \geqslant 1$). Ces fonctions $f_p$ sont uniformément majorées par un entier positif $m$, et il suffit de prendre $f_0 = m u_n$.

Ce lemme n'est autre que le cor. du th. 1 de Top. gén., chap. X, 2e éd., § 3, no 4. On peut observer qu'il résulte aussi du lemme 1 et du fait que la topologie de la convergence uniforme sur $\mathscr{K}(Y)$ est moins fine que la topologie limite inductive des topologies des sous-espaces $\mathscr{K}(Y, \overline{U}_n)$.

En effet, le lemme 1, appliqué à $\mathscr{K}(X)$, montre que l'application $t \to \lambda_t$ est vaguement $\mu$-mesurable (§ 1, no 5, prop. 13).

a) $\| \lambda_b \| = 1$ pour tout $b \in p(T)$ ; b) $\lambda_b$ est concentrée sur l’ensemble $p^{-1}(b)$ (chap. V, § 5, no 7, déf. 4) pour tout $b \in B$; en particulier, $\lambda_b = 0$ pour $b \notin p(T)$ ; c) on a $\mu = \int \lambda_b d\nu(b)$.

En outre, si $b \to \lambda'_b$ ($b \in B$) est une seconde famille $\nu$-adéquate de mesures positives sur T ayant les propriétés b) et c), on a $\lambda'_b = \lambda_b$ presque partout dans B pour la mesure $\nu$.

1) Unicité. Pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(B)$, $f \circ p$ est $\mu$-intégrable puisque $p$ est $\mu$-propre (chap. V, § 6, no 2, th. 1); pour toute fonction $g \in \mathscr{K}(T)$, la fonction $t \to g(t)f(p(t))$ est donc $\mu$-intégrable. Il en résulte (chap. V, § 3, no 4, th. 1) que, pour presque tout $b \in B$, la fonction $t \to g(t)f(p(t))$ est $\lambda_b$-intégrable et que l’on a

Mais puisque $\lambda_b$ est concentrée sur $p^{-1}(b)$, on a, pour tout $b \in B$, $f(p(t)) = f(b)$ presque partout pour $\lambda_b$, donc le second membre de (1) est égal à $\int f(b)\langle g, \lambda_b \rangle d\nu(b)$. On a une formule analogue pour $\lambda'_b$; par suite $\int f(b)\langle g, \lambda_b \rangle d\nu(b) = \int f(b)\langle g, \lambda'_b \rangle d\nu(b)$ pour toute $f \in \mathscr{K}(B)$ et toute $g \in \mathscr{K}(T)$. Autrement dit, les deux applications $b \to \lambda_b$ et $b \to \lambda'_b$ de B dans $\mathscr{M}(T)$ sont égales scalairement localement presque partout pour $\nu$, donc égales presque partout pour $\nu$ (lemme 1 et § 1, no 1, Remarque 2).

2. Définition provisoire de la famille $b \to \lambda_b$. Pour toute fonction $f \in \mathscr{L}^1(\nu)$, $f \circ p$ est $\mu$-intégrable (chap. V, § 6, no 2, th. 1), donc $(f \circ p)_\mu$ est une mesure bornée sur T et l’on a

(chap. IV, § 4, n° 7, prop. 12 ; chap. V, § 5, n° 3, th. 1 et § 6, n° 2, th. 1). Il en résulte que $(f \circ p) . \mu$ ne dépend que de la classe $\tilde{f}$ de $f$ dans $L^1(\nu)$ et que $\tilde{f} \to (f \circ p) . \mu$ est une application linéaire isométrique de $L^1(\nu)$ dans l’espace de Banach $\mathscr{M}^1(T)$ des mesures bornées sur $T$, dual fort de l’espace de Banach $\overline{\mathscr{K}(T)}$, qui est de type dénombrable (lemme 2). D’après le th. de Dunford-Pettis ($§ 2$, n° 5, cor. 2 du th. 1) il existe une application $b \to \lambda_b$ de $B$ dans la boule unité de $\mathscr{M}^1(T)$, scalairement $\nu$-mesurable (pour la topologie $\sigma(\mathscr{M}^1(T), \overline{\mathscr{K}(T)})$ et telle que, pour toute fonction $f \in L^1(\nu)$, on ait

ce qui s’écrit encore, pour toute fonction $g \in \overline{\mathscr{K}(T)}$

Si $f \geqslant 0$ et $g \geqslant 0$, le premier membre de (3) est $\geqslant 0$, ce qui prouve que pour toute fonction $g \geqslant 0$ de $\mathscr{K}(T)$, la mesure $\left( \int g(t) d\lambda_b(t) \right)_\nu$ est $\geqslant 0$, donc que $\int g(t) d\lambda_b(t) \geqslant 0$ sauf lorsque $b$ appartient à un ensemble $\nu$-négligeable $N(g)$ (chap. V, § 5, n° 4, cor. 3 de la prop. 4). Or, il existe une suite partout dense $(g_n)$ dans l’espace $\mathscr{K}_+(T)$ des fonctions $\geqslant 0$ de $\mathscr{K}(T)$ (lemme 1). La réunion $N$ des $N(g_n)$ est $\nu$-négligeable et pour $b \notin N$ on a $\int g_n(t) d\lambda_b(t) \geqslant 0$ pour tout $n$, donc $\int g(t) d\lambda_b(t) \geqslant 0$ pour toute fonction $g \in \mathscr{K}_+(T)$, autrement dit $\lambda_b \geqslant 0$.

Cela étant, on peut remplacer $\lambda_b$ par 0 pour tout $b \in N$ sans modifier la validité de (3) ; nous pouvons donc supposer cette modification faite, autrement dit que l’on a $\lambda_b \geqslant 0$ pour tout $b \in B$.

3) Extensions de la formule (3).

a) Pour toute fonction $f \in L^1(\nu)$, il résulte de (3) que l’application $b \to \lambda_b$ de $B$ dans $\mathscr{M}(T)$ est scalairement intégrable pour la mesure $|f . \nu|$ et pour la topologie $\sigma(\mathscr{M}(T), \mathscr{K}(T))$, donc (lemme 3) la famille $b \to \lambda_b$ est $|f . \nu|$-*adéquate*. Soit alors $g$ une fonction numérique définie dans T, intégrable pour la mesure $|(f \circ p) \cdot \mu|$, c'est-à-dire (chap. V, § 5, no 3, th. 1) telle que $t \to g(t)f(p(t))$ soit $\mu$-intégrable ; il résulte alors de (2), du th. 1 du chap. V, § 3, no 4 et du th. 1 du chap. V, § 5, no 3 que, pour presque tout $b \in B$, $g$ est intégrable pour $\lambda_b$, que la fonction (définie presque partout)

est intégrable pour $|f \cdot \nu|$ et que la formule (3) est encore valable.

$\beta)$ Pour toute fonction $g \in \mathscr{J}_i(T)$, il résulte de (3), appliquée à $f \in \mathscr{J}_i(B)$, que l’application $p$ est propre pour la mesure $|g \cdot \mu|$ (chap. V, § 6, no 1, déf. 1) et que l’image par $p$ de la mesure $g \cdot \mu$ est la mesure de densité $b \to \int g(t)d\lambda_b(t)$ par rapport à $\nu$. Si alors on prend pour $f$ une fonction telle que $f \circ p$ soit intégrable pour la mesure $|g \cdot \mu|$, c’est-à-dire telle que $t \to g(t)f(p(t))$ soit $\mu$-intégrable (chap. V, § 5, no 3, th. 1), la formule (3) est encore valable (chap. V, § 6, no 2, th. 1).

4) Propriétés de la famille $b \to \lambda_b$. D’après la propriété $\beta)$, on peut appliquer la formule (3) en prenant $f = 1$, $g \in \mathscr{J}_i(T)$; cela prouve que $b \to \lambda_b$ est scalairement $\nu$-intégrable (pour la topologie $\sigma(\mathscr{M}(T), \mathscr{J}_i(T))$), donc $\nu$-*adéquate* (lemme 3) et que l’on a

Soit maintenant $\psi$ une fonction quelconque de $\mathscr{K}(B)$; les conditions de la propriété $\alpha)$ sont remplies en prenant $f \in \mathscr{K}(B)$ et $g = \psi \circ p$, car la fonction $\psi(p(t))f(p(t))$ est $\mu$-intégrable puisque $f \psi$ appartient à $\mathscr{J}_i(B)$ et que $p$ est $\mu$-propre. Alors, $\psi \circ p$ est $\lambda_b$-intégrable pour presque tout $b \in B$ et on a

mais le premier membre est par définition $\int f(b)\psi(b)d\nu(b)$. On voit donc que, pour toute fonction $\psi \in \mathscr{K}(B)$, la mesure $\psi \cdot \nu$ et la mesure de densité $b \to \int \psi(p(t))d\lambda_b(t)$ sont identiques. Par suite (chap. V, § 5, n° 4, cor. de la prop. 4), il existe un ensemble ν-négligeable N'(ψ) tel que, pour tout b ∈ N'(ψ), la fonction ψ ∘ p soit λ_b-intégrable et que ψ(b) = $\int \psi(p(t)) d\lambda_b(t)$.

Soit S un ensemble dénombrable de $\mathscr{K}(B)$ possédant les propriétés énoncées au lemme 1 (avec Y = B), et soit N' l'ensemble ν-négligeable réunion des N'(ψ) pour ψ ∈ S. Toute fonction ψ ≥ 0 de $\mathscr{K}(B)$ est limite uniforme d'une suite ($\psi_n$) d'éléments de S avec $\psi_n \leq \psi_0$. Par suite, pour b ∈ N', le th. de Lebesgue montre que, d'une part ψ ∘ p est λ_b-intégrable, autrement dit que p est λ_b-propre, et d'autre part que ψ(b) = $\int \psi(p(t)) d\lambda_b(t)$. En d'autres termes, les applications $b \to \varepsilon_b$ et $b \to p(\lambda_b)$ de B dans $\mathscr{M}(B)$ (cette dernière définie presque partout) sont scalairement presque partout égales pour ν (et pour la topologie $\sigma(\mathscr{M}(B), \mathscr{K}(B))$) ; on en conclut que ces applications sont égales presque partout pour ν (lemme 1 et § 1, n° 1, Remarque 2). Enfin, si $p(\lambda_b) = \varepsilon_b$, l'ensemble B − {b} est $\varepsilon_b$-négligeable, donc l'ensemble T − $p^{-1}(b)$ est $\lambda_b$-négligeable (chap. V, § 6, n° 2, cor. de la prop. 2), autrement dit $\lambda_b$ est concentrée sur $p^{-1}(b)$; et d'autre part on a $\| \lambda_b \| = \int d\lambda_b = \int d(p(\lambda_b)) = \| \varepsilon_b \| = 1$ (chap. V, § 6, n° 2, th. 1).

5) Modifications finales de la famille $b \to \lambda_b$. Nous avons donc défini une famille ν-adéquate $b \to \lambda_b$ de mesures ≥ 0 sur T, vérifiant la condition c) de l'énoncé et telle que, pour presque tout b ∈ B, p soit λ_b-propre, $\lambda_b$ soit concentrée sur $p^{-1}(b)$ et de norme 1. Soit N'' l'ensemble ν-négligeable des points b ∈ B où l'une des trois dernières propriétés n'est pas vérifiée ; on peut alors modifier $\lambda_b$ de la façon suivante. Si $b \in B - p(T)$, on prend $\lambda_b = 0$; si $b \in p(T) \cap N''$, on prend $\lambda_b = \varepsilon_{\xi(b)}$, où $\xi(b)$ est un point quelconque de $p^{-1}(b)$. Comme B − p(T) est ν-négligeable (chap. V, § 6, n° 2, cor. 3 de la prop. 2), on n'a modifié $\lambda_b$ qu'aux points d'un ensemble négligeable et par suite la famille $b \to \lambda_b$ est encore ν-adéquate et vérifie la propriété c) ; en outre, elle vérifie maintenant a) et b), ce qui termine la démonstration.

On dit que toute famille ν-adéquate $b \to \lambda_b$ de mesures positives sur T, ayant les propriétés b) et c) du th. 1, est une désintégration de la mesure $\mu$, relative à l’application $\mu$-propre $p$.

En effet, il existe sur T une mesure bornée $\mu’$ équivalente à $\mu$ (chap. V, § 6, no 5, prop. 11) ; $p$ est alors $\mu’$-propre.

a) $\lambda_b \neq 0$ pour $b \in p(T)$ ; b) $\lambda_b$ est concentrée sur l'ensemble $p^{-1}(b)$ pour tout $b \in B$; en particulier $\lambda_b = 0$ pour $b \notin p(T)$ ; c) on a $\mu = \int \lambda_b d\nu(b)$.

En outre, si $\nu' = r.\nu$ est une seconde mesure pseudo-image de $\mu$ par $p$, et si $b \to \lambda'_b$ est une famille $\nu'$-adéquate de mesures positives sur $T$, ayant les propriétés b) et c) par rapport à $\nu'$, on a, presque partout dans $B$ (pour $\nu$ ou $\nu'$), $\lambda_b = r(b)\lambda'_b$.

En effet, il existe une fonction numérique continue et finie $f$ définie dans $T$, telle que $f(t) > 0$ pour tout $t \in T$ et que $\mu'' = f.\mu$ soit bornée (chap. V, § 5, no 6, prop. 11). Soit $\nu'' = p(\mu'')$, qui est équivalente à $\nu$, et posons $\nu'' = g.\nu$, $g$ étant finie et localement $\nu$-intégrable ; on peut en outre supposer $g(b) > 0$ pour tout $b \in B$ (chap. V, § 5, no 6, prop. 10). Le th. 1 du no 1, appliqué à $\mu''$ et $\nu''$, montre qu'il existe une famille $\nu''$-adéquate $b \to \lambda''_b$ ($b \in B$) de mesures positives sur $T$, telles que : 1) $\| \lambda''_b \| = 1$ pour $b \in p(T)$ ; 2) $\lambda''_b$ est concentrée sur $p^{-1}(b)$ pour tout $b \in B$ ; 3) $\mu'' = \int \lambda''_b d\nu''(b)$.

Pour tout $b \in B$, définissons une mesure positive $\lambda_b$ sur $T$ par la formule $\lambda_b = (1/f).(g(b)\lambda'_b)$. Il est clair que la famille $b \to \lambda_b$ possède les propriétés a) et b) de l'énoncé. D'autre part, pour toute fonction $h \in \mathscr{K}(T)$, $h/f$ appartient à $\mathscr{K}(T)$, donc on a

Mais comme la fonction $b \to \int (h(t)/f(t))d\lambda''_b(t)$ est $\nu''$-intégrable, la fonction $b \to g(b) \int (h(t)/f(t))d\lambda''_b(t)$ est $\nu$-intégrable (chap. V, § 5, n° 3, th. 1). Par définition de $\lambda_b$, cette fonction est $b \to \int h(t)d\lambda_b(t)$, d’où $\int h(t)d\mu(t) = \int dv(b) \int h(t)d\lambda_b(t)$ (loc. cit.) ce qui prouve que $\mu = \int \lambda_b dv(b)$.

Pour établir la seconde partie de l’énoncé, remarquons qu’on peut supposer $r(b) > 0$ pour tout $b \in B$ (chap. V, § 5, n° 6, prop. 10); posons $\lambda_b''' = f . ((r(b)/g(b))\lambda_b')$; comme ci-dessus, on montre que, pour toute fonction $h \in \mathscr{K}(T)$, la relation

entraîne

Le th. 1 du n° 1, appliqué à $\mu''$ et $v''$, entraîne donc, pour presque tout $b \in B$, $\lambda_b''' = \lambda_b''$, d’où $\lambda_b = r(b)\lambda_b'$.

1) Pour toute relation d'équivalence $\mu$-mesurable R sur T, il existe un espace localement compact B et une application $\mu$-mesurable p de T dans B telle que R soit équivalente à la relation $p(x) = p(y)$.

2) Si en outre T admet une base dénombrable, on peut supposer que B admet une base dénombrable.

Comme T est dénombrable à l'infini, il existe une suite croissante $(K_n)_{n \geq 1}$ de parties compactes de T telles que T soit réunion des $K_n$ et d'un ensemble $\mu$-négligeable N, et que chacune des relations $R_{K_n}$ soit séparée. Soit $B_n$ l'espace quotient $K_n / R_{K_n}$, qui est compact, et soit $B'_n$ l'espace compact somme topologique de $B_n$ et d'un point $a_n$. Soit $q_n$ l'application canonique de $K_n$ sur $B_n$; on prolonge $q_n$ en une application $p_n$ de T dans $B'_n$ de la façon suivante : si $x \in T$ est congru mod. R à un élément $y \in K_n$, on pose $p_n(x) = q_n(y)$; dans le cas contraire, on pose $p_n(x) = a_n$. Soit $B'$ l'espace produit $\prod_{n=1}^\infty B'_n$, qui est compact, et soit $p'$ l'application $x \to (p_n(x))$ de T dans $B'$. Montrons que $p'$ est $\mu$-*mesurable* : il suffit (chap. IV, § 5, no 3, th. 1) de prouver que chacune des applications $p_n$ est mesurable, et pour cela il suffit que la restriction de $p_n$ à chaque $K_m$ soit mesurable. Or cela est évident si $m \leq n$; si au contraire $m > n$, soit $K_{nm}$ le saturé de $K_n$ pour $R_{K_m}$, qui est une partie compacte de $K_m$ (Top. gén., chap. I, 2e éd., § 10, no 4, th. 2); comme $p_n$ est constant dans $K_m - K_{nm}$, il suffit de prouver que la restriction de $p_n$ à $K_{nm}$ est continue, ce qui est évident à cause de l'isomorphisme canonique entre $K_{nm}/R_{K_{nm}}$ et $K_n/R_{K_n}$ (Top. gén., chap. I, § 10, no 6, cor. 2 de la prop. 8).

Soit A le saturé de $\bigcup_n K_n$ pour la relation R, et soit

N' = T - A ⊂ N. Nous allons voir que la relation $p'(x) = p'(y)$ est équivalente à la relation « R $\{ x, y \}$ ou $(x, y) \in N' \times N'$ ». En effet, si on a R $\{ x, y \}$, on a $p_n(x) = p_n(y)$ quel que soit $n$, donc $p'(x) = p'(y)$; et si $x \in N'$, $y \in N'$, on a $p_n(x) = p_n(y) = a_n$ quel que soit $n$, donc $p'(x) = p'(y)$. Si d'autre part $x$ et $y$ sont dans A et ne sont pas congrus mod. R, il existe un entier $n$, un élément $x' \in K_n$ (resp. $y' \in K_n$) congru mod. R à $x$ (resp. $y$) tels que $x'$ ne soit pas congru à $y'$ mod. $R_{K_n}$; on a donc $p_n(x) \neq p_n(y)$ et par suite $p'(x) \neq p'(y)$. Enfin, si $x \in N'$ et $y \in A$, on a $p_n(y) \in B_n$ pour $n$ assez grand et $p_n(x) = a_n$ pour tout $n$, donc $p'(x) \neq p'(y)$, ce qui établit notre assertion.

Considérons alors l’ensemble quotient $B_0 = N'/R_x$; soient $q_0$ l’application canonique de $N'$ sur $B_0$, $s_0$ une section associée à $q_0$. Posons $p_0(x) = s_0(q_0(x))$ pour $x \in N'$ et prolongeons $p_0$ à T en prenant $p_0$ constante dans A et égale à un élément de T. Alors $p = (p', p_0)$ est une application $\mu$-mesurable de T dans l’espace localement compact $B = B' \times T$; il est immédiat que si $x \in N'$, $y \in N'$, la relation $p_0(x) = p_0(y)$ entraîne R $\{ x, y \}$; donc $p$ répond à la question. En outre, si T admet une base dénombrable, il en est de même de chacun des espaces quotients $B_n$ (Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 2, no 10, prop. 17), donc B' admet une base dénombrable, et par suite aussi B.

a) R est $\mu$-mesurable.

b) Il existe une suite d’applications $p_n : T \to F_n$ dans des espaces topologiques séparés, telle que chaque $p_n$ soit $\mu$-mesurable et que la relation R $\{ x, y \}$ soit équivalente à « quel que soit $n$, $p_n(x) = p_n(y)$ ».

c) Il existe une suite $(A_n)$ d’ensembles $\mu$-mesurables, saturés pour R, et tels que, pour tout $x \in T$, la classe de x suivant R soit l’intersection de ceux des $A_n$ qui contiennent x.

Avec les notations de l’énoncé de b), posons $p(x) = (p_n(x))$; la propriété b) signifie que l’application p de T dans l’espace produit $\prod F_n$ est mesurable (chap. IV, § 5, no 3, th. 1) et que la relation $\bigwedge^n R \{ x, y \}$ est équivalente à $p(x) = p(y)$; donc b) entraîne a).

Montrons ensuite que c) entraîne b). Supposons c) vérifiée ; alors les fonctions caractéristiques $\varphi_{A_n}$ sont $\mu$-mesurables, et l’hypothèse c) signifie que la relation $R \{ x, y \}$ est équivalente à « quel que soit $n$, $\varphi_{A_n}(x) = \varphi_{A_n}(y)$ ».

Enfin, montrons que a) entraîne c). En vertu de la prop. 2, il existe un espace localement compact à base dénombrable B et une application $\mu$-mesurable $p$ de T dans B telle que la relation $R \{ x, y \}$ soit équivalente à $p(x) = p(y)$. Soit $(U_n)$ une base dénombrable de la topologie de B. Les ensembles $A_n = p^{-1}(U_n)$ sont $\mu$-mesurables (chap. IV, § 5, no 5, prop. 8) et saturés pour R ; et si $x, y$ sont des points de T tels que $p(x) \neq p(y)$, il existe un indice $n$ tel que $p(x) \in U_n$ et $p(y) \notin U_n$, ce qui signifie que $x \in A_n$ et $y \notin A_n$.

On peut évidemment supposer que la mesure $\mu$ est bornée et que $\mu(T) \leq 1$ (chap. V, § 5, no 6, prop. 11). Nous allons définir une suite $(S_n)$ de parties boréliennes (Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 6, no 3) telles que toute classe d’équivalence suivant R rencontre la réunion S’ des $S_n$ en un point au plus, que pour tout $n$ le saturé $T_n$ de la réunion des $S_p$ d’indice $p \leq n$ soit $\mu$-mesurable, et que l’on ait $\mu(T - T_n) \leq 1/2^n$. Le saturé $T'$ de S’ sera donc $\mu$-mesurable et $N = T - T'$ de mesure nulle. Si $S''$ est une section quelconque de N pour la relation $R_N$, $S = S' \cup S''$ répondra à la question, car $S'$, étant borélien, est $\mu$-mesurable (Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 6, no 9, th. 5, et no 3, prop. 11), et $S''$ est de mesure nulle.

En vertu de la prop. 2, $R \{ x, y \}$ est équivalente à la relation $p(x) = p(y)$, où $p$ est une application $\mu$-mesurable de T dans un espace localement compact F. Supposons les $S_k$ définis pour $k \leq n$. Comme $T - T_n$ est $\mu$-mesurable et de mesure $\leq 1/2^n$, il existe dans

T – T_n une partie compacte K telle que $\mu(T - (T_n \cup K)) \leq 1/2^{n+1}$ et que la restriction de $p$ à K soit continue. Comme la relation induite $R_K$ est fermée et que K est métrisable, on sait qu’il existe une partie borélienne $S_{n+1}$ de K telle que, dans K, tout point soit congru (mod. R) à un point et un seul de $S_{n+1}$ (Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 6, no 8, th. 4). On a donc $p(S_{n+1}) = p(K)$, ensemble qui est compact dans F ; le saturé de $S_{n+1}$ pour R est l’image réciproque $^{-1}p(p(K))$, qui est donc $\mu$-mesurable (chap. IV, § 5, no 5, prop. 8) ; il est clair que cet ensemble contient K, donc la réunion $T_{n+1}$ de $T_n$ et de $^{-1}p(p(K))$ est $\mu$-mesurable, saturée pour R et telle que $\mu(T - T_{n+1}) \leq 1/2^{n+1}$, ce qui achève la démonstration.