Vì Y là hợp của một dãy tăng $(U_n)$ các tập mở tương đối compact sao cho $\overline{U}_n \subset U_{n+1}$ với mọi $n$ (GT, I, §9, No. 9, Mệnh đề 15); không gian $\mathscr{H}(Y)$ là hợp của dãy tăng các không gian Banach $\mathscr{H}(Y, \overline{U}_n)$, và mỗi không gian sau cùng này được biết là tách được (GT, Ch. X, §3, No. 3, Định lý 1). Cho $S'_n$ là một tập con trù mật đếm được trong $\mathscr{H}(Y, \overline{U}_n)$, $S_n$ là tập hợp các hàm $\varphi^+$ đối với $\varphi \in S'_n$, và $u_n$ là một hàm trong $\mathscr{H}(Y, \overline{U}_{n+1})$, có các giá trị trong $[0, 1]$ và bằng 1 trên $U_n$. Ta lấy cho S hợp của các $S_n$ và tập hợp các $m u_n$ với $m$ và $n$ là các số nguyên $\geq 0$. Đối với mọi hàm $f \geq 0$ của $\mathscr{H}(Y)$, $f$ có giá chứa được trong một trong các $U_n$, do đó là giới hạn đều của một dãy các hàm $f_p \in S_n$ ($p \geq 1$). Các hàm $f_p$ này bị chặn đều bởi một số nguyên dương $m$, và chỉ cần lấy $f_0 = m u_n$.*

Bổ đề này không gì khác hơn là Hệ quả của Định lý 1 của GT, X, §3, No. 3. Ta có thể nhận xét rằng nó cũng suy ra từ Bổ đề 1 và sự kiện rằng tôpô của sự hội tụ đều trên $\mathscr{K}(Y)$ thô hơn tôpô giới hạn trực tiếp của các tôpô của các không gian con $\mathscr{K}(Y, \overline{U}_n)$.

Vì, Bổ đề 1, áp dụng cho $\mathscr{K}(X)$, chỉ ra rằng ánh xạ $t \mapsto \lambda_t$ là đo được theo nghĩa mơ hồ đối với $\mu$ ($§ 1$, No. 5, Mệnh đề 13).

a) $\| \lambda_b \| = 1$ với mọi $b \in p(T)$;

b) $\lambda_b$ tập trung trên tập hợp $\overline{p}^{-1}(b)$ (Ch. V, §5, No. 7, Định nghĩa 4) với mọi $b \in B$; đặc biệt, $\lambda_b = 0$ với $b \notin p(T)$;

c) $\mu = \int \lambda_b d\nu(b)$.

Hơn nữa, nếu $b \mapsto \lambda'_b$ ($b \in B$) là một họ $\nu$-thích hợp thứ hai các độ đo dương trên T có các tính chất b) và c), thì $\lambda'_b = \lambda_b$ hầu khắp nơi trong B đối với độ đo $\nu$.

1) Tính duy nhất. Với mọi hàm $f \in \mathscr{K}(B)$, $f \circ p$ là $\mu$-khả tích vì p là $\mu$-thực sự (Ch. V, §6, No. 2, Định lý 1); với mọi hàm $g \in \mathscr{K}(T)$, hàm $t \mapsto g(t)f(p(t))$ do đó là $\mu$-khả tích. Suy ra (Ch. V, §3, No. 3, Định lý 1) rằng với hầu hết mọi $b \in B$, hàm $t \mapsto g(t)f(p(t))$ là $\lambda_b$-khả tích và

Nhưng vì $\lambda_b$ tập trung trên $\overline{p}^{-1}(b)$, ta có, với mọi $b \in B$, $f(p(t)) = f(b)$ hầu khắp nơi đối với $\lambda_b$, do đó vế thứ hai của (1) bằng $\int f(b)\langle g, \lambda_b \rangle d\nu(b)$. Công thức tương tự đối với $\lambda'_b$ cũng đúng; do đó $\int f(b)\langle g, \lambda_b \rangle d\nu(b) = \int f(b)\langle g, \lambda'_b \rangle d\nu(b)$ với mọi $f \in \mathscr{K}(B)$ và $g \in \mathscr{K}(T)$. Nói cách khác, hai ánh xạ $b \mapsto \lambda_b$ và $b \mapsto \lambda'_b$ của B vào $\mathscr{M}(T)$ bằng nhau vô hướng hầu khắp nơi địa phương đối với $\nu$, do đó bằng nhau hầu khắp nơi đối với $\nu$ (Bổ đề 1 và §1, No. 1, Nhận xét 2).

2) Định nghĩa tạm thời của họ $b \mapsto \lambda_b$. Với mọi hàm $f \in \mathscr{L}^1(\nu)$, $f \circ p$ là $\mu$-khả tích (Ch. V, §6, No. 2, Định lý 1), do đó $(f \circ p) \cdot \mu$ là một độ đo bị chặn trên T, và

(Ch. IV, §4, No. 7, Prop. 12; Ch. V, §5, No. 3, Th. 1 và §6, No. 2, Th. 1). Suy ra rằng $(f \circ p) \cdot \mu$ chỉ phụ thuộc vào lớp $\tilde{f}$ của $f$ trong $L^1(\nu)$ và rằng $\tilde{f} \mapsto (f \circ p) \cdot \mu$ là một ánh xạ tuyến tính đẳng cự từ $L^1(\nu)$ vào không gian Banach $\mathscr{M}^1(T)$ của các độ đo bị chặn trên T, đối ngẫu mạnh của không gian Banach $\mathscr{K}(T)$, là tách được (Bổ đề 2). Theo định lý Dunford–Pettis (§2, No. 5, Hệ quả 2 của Th. 1), tồn tại một ánh xạ $b \mapsto \lambda_b$ của B vào quả cầu đơn vị của $\mathscr{M}^1(T)$, đo được vô hướng theo $\nu$ (đối với tôpô $\sigma(\mathscr{M}^1(T), \overline{\mathscr{K}(T)})$) và sao cho, với mọi hàm $f \in \mathscr{L}^1(\nu)$,

cũng có thể được viết, với mọi hàm $g \in \overline{\mathscr{K}(T)}$

Nếu $f \geq 0$ và $g \geq 0$, vế thứ nhất của (3) là $\geq 0$, điều này chứng minh rằng với mọi hàm $g \geq 0$ trong $\mathscr{K}(T)$, độ đo $(\int g(t) \, d\lambda_b(t)) \cdot \nu$ là $\geq 0$, do đó $\int g(t) \, d\lambda_b(t) \geq 0$ ngoại trừ với $b$ thuộc một tập hợp $\nu$-không đáng kể $N(g)$ (Ch. V, §5, No. 3, Hệ quả 3 của Prop. 3). Bây giờ, tồn tại một dãy trù mật $(g_n)$ trong không gian $\mathscr{K}_+(T)$ của các hàm $\geq 0$ của $\mathscr{K}(T)$ (Bổ đề 1). Hợp N của các $N(g_n)$ là $\nu$-không đáng kể và, với $b \notin N$, ta có $\int g_n(t) \, d\lambda_b(t) \geq 0$ với mọi $n$, do đó $\int g(t) \, d\lambda_b(t) \geq 0$ với mọi hàm $g \in \mathscr{K}_+(T)$, nói cách khác $\lambda_b \geq 0$.

Vì vậy, ta có thể thay thế $\lambda_b$ bởi 0 với mọi $b \in N$ mà không làm thay đổi tính đúng đắn của (3); do đó ta có thể giả sử rằng sự thay đổi này đã được thực hiện, sao cho $\lambda_b \geq 0$ với mọi $b \in B$.

3) Mở rộng của công thức (3).

$\alpha)$ Với mọi hàm $f \in \mathscr{L}^1(\nu)$, suy ra từ (3) rằng ánh xạ $b \mapsto \lambda_b$ của B vào $\mathscr{M}(T)$ là khả tích vô hướng đối với độ đo $|f \cdot \nu|$ và tôpô $\sigma(\mathscr{M}(T), \mathscr{K}(T))$, do đó (Bổ đề 3) họ $b \mapsto \lambda_b$ là $|f \cdot \nu|$-*thích hợp*. Bây giờ cho $g$ là một hàm số được xác định trên T, khả tích đối với độ đo $|(f \circ p) \cdot \mu|$, nghĩa là (Ch. V, §5, No. 3, Th. 1), sao cho $t \mapsto g(t)f((p(t)))$ là $\mu$-khả tích; khi đó suy ra từ (2), từ Th. 1 của Ch. V, §3, No. 3 và từ Th. 1 của Ch. V, §5, No. 3 rằng, với hầu hết mọi $b \in B$, $g$ khả tích đối với $\lambda_b$, rằng hàm (được xác định hầu khắp nơi) $b \mapsto \int g(t)\, d\lambda_b(t)$ là khả tích đối với $|f \cdot \nu|$, và rằng công thức (3) lại đúng.

$\beta)$ Với mọi hàm $g \in \overline{\mathscr{K}(T)}$, suy ra từ (3), áp dụng cho $f \in \mathscr{K}(B)$, rằng ánh xạ $p$ là thực sự đối với độ đo $|g \cdot \mu|$ (Ch. V, §6, No. 1, Định nghĩa 1) và ảnh qua $p$ của độ đo $g \cdot \mu$ là độ đo có mật độ $b \mapsto \int g(t)\, d\lambda_b(t)$ đối với $\nu$. Nếu khi đó lấy $f$ là một hàm sao cho $f \circ p$ là khả tích đối với độ đo $|g \cdot \mu|$, tức là sao cho $t \mapsto g(t)f(p(t))$ là $\mu$-khả tích (Ch. V, §5, No. 3, Định lý 1), thì công thức (3) lại đúng (Ch. V, §6, No. 2, Định lý 1).

4) Các tính chất của họ $b \mapsto \lambda_b$. Theo tính chất $\beta)$, ta có thể áp dụng công thức (3) bằng cách lấy $f = 1,\ g \in \mathscr{K}(T)$; điều này chứng tỏ rằng $b \mapsto \lambda_b$ là khả tích vô hướng theo $\nu$ (đối với tôpô $\sigma(\mathscr{M}(T), \mathscr{K}(T))$), do đó là $\nu$-*thích hợp* (Bổ đề 3), và rằng $\mu = \int \lambda_b\, d\nu(b)$.

Bây giờ cho $\psi$ là bất kỳ hàm nào trong $\mathscr{K}(B)$; các điều kiện của tính chất $\alpha)$ được thỏa mãn bằng cách lấy $f \in \mathscr{K}(B)$ và $g = \psi \circ p$, vì hàm $\psi(p(t))f(p(t))$ là $\mu$-khả tích do $f\psi$ thuộc $\mathscr{K}(B)$ và $p$ là $\mu$-thực sự. Khi đó $\psi \circ p$ là $\lambda_b$-khả tích với hầu hết mọi $b \in B$, và

nhưng vế thứ nhất theo định nghĩa là $\int f(b)\psi(b)\, d\nu(b)$. Do đó ta thấy rằng với mọi hàm $\psi \in \mathscr{K}(B)$, độ đo $\psi \cdot \nu$ và độ đo có mật độ $b \mapsto \int \psi(p(t))\, d\lambda_b(t)$ là trùng nhau. Do đó (Ch. V, §5, No. 3, Hệ quả 2 của Mệnh đề 3) tồn tại một tập hợp bỏ qua được theo $\nu$ $N'(\psi)$ sao cho, với mọi $b \notin N'(\psi)$, hàm $\psi \circ p$ là $\lambda_b$-khả tích và $\psi(b) = \int \psi(p(t))\, d\lambda_b(t)$.

Cho $S$ là một tập con đếm được của $\mathscr{K}(B)$ thỏa mãn các tính chất đã nêu trong Bổ đề 1 (với $Y = B$), và cho $N'$ là tập không đáng kể theo $\nu$ là hợp của các $N'(\psi)$ với $\psi \in S$. Mọi hàm $\psi \geq 0$ của $\mathscr{K}(B)$ đều là giới hạn đều của một dãy $(\psi_n)$ gồm các phần tử của S với $\psi_n \leq \psi_0$. Do đó, với $b \notin N'$, định lý Lebesgue cho thấy, một mặt, rằng $\psi \circ p$ là khả tích theo $\lambda_b$, nói cách khác là $p$ là $\lambda_b$-thực sự, và mặt khác rằng $\psi(b) = \int \psi(p(t))\, d\lambda_b(t)$. Nói cách khác, các ánh xạ $b \mapsto \varepsilon_b$ và $b \mapsto p(\lambda_b)$ của B vào $\mathscr{M}(B)$ (ánh xạ sau được xác định hầu khắp nơi) là bằng nhau hầu khắp nơi theo vô hướng đối với $\nu$ (và đối với tôpô $\sigma(\mathscr{M}(B), \mathscr{K}(B))$); suy ra rằng các ánh xạ này bằng nhau hầu khắp nơi đối với $\nu$ (Bổ đề 1 và §1, No. 1, Nhận xét 2). Cuối cùng, nếu $p(\lambda_b) = \varepsilon_b$, thì tập $B - \{b\}$ là $\varepsilon_b$-không đáng kể, do đó tập $T - \bar{p}^{-1}(B)$ là $\lambda_b$-không đáng kể (Ch. V, §6, No. 2, Hệ quả 2 của Mệnh đề 2), nói cách khác $\lambda_b$ tập trung trên $\overline{p}^{-1}(b)$; và, mặt khác, $\| \lambda_b \| = \int d\lambda_b = \int d((p(\lambda_b))) = \| \varepsilon_b \| = 1$ (Ch. V, §6, No. 2, Định lý 1).

5) Sự biến đổi của họ $b \mapsto \lambda_b$. Như vậy ta đã định nghĩa một họ $\nu$-thích hợp $b \mapsto \lambda_b$ các độ đo $\geqslant 0$ trên T, thỏa mãn điều kiện c) của mệnh đề và sao cho, với hầu hết mọi $b \in B$, $p$ là $\lambda_b$-thực sự, và $\lambda_b$ tập trung trên $\overline{p}^{-1}(b)$ và có chuẩn 1. Gọi $N''$ là tập không đáng kể theo $\nu$ gồm các điểm $b \in B$ tại đó một trong ba tính chất cuối cùng không được thỏa mãn; khi đó ta có thể sửa đổi $\lambda_b$ theo cách sau. Nếu $b \in B - p(T)$, đặt $\lambda_b = 0$; nếu $b \in p(T) \cap N''$, đặt $\lambda_b = \varepsilon_{\xi(b)}$, trong đó $\xi(b)$ là một điểm bất kỳ của $\overline{p}^{-1}(b)$. Vì $B - p(T)$ là tập không đáng kể theo $\nu$ (Ch. V, §6, No. 2, Hệ quả 3 của Mệnh đề 2), ta chỉ mới sửa đổi $\lambda_b$ tại các điểm của một tập không đáng kể, do đó họ $b \mapsto \lambda_b$ vẫn là $\nu$-thích hợp và có tính chất c); hơn nữa, nó nay thỏa mãn a) và b), điều đó hoàn tất chứng minh.

Mọi họ $\nu$-thích hợp $b \mapsto \lambda_b$ các độ đo dương trên T, có các tính chất b) và c) của Định lý 1, được gọi là một phân rã của độ đo $\mu$, tương ứng với ánh xạ $p$ $\mu$-thực sự.

Vì tồn tại một độ đo bị chặn $\mu'$ trên T tương đương với $\mu$ (Ch. V, §5, No. 6, Mệnh đề 11); khi đó $p$ là $\mu'$-thực sự.

— *Cho T và B là hai không gian compact địa phương có cơ sở đếm được, $\mu$ là một độ đo dương trên T, $p$ là một ánh xạ $\mu$-đo được từ T vào B, và $\nu$ là một độ đo giả-ảnh của $\mu$ theo $p$. Khi đó tồn tại một họ $\nu$-thích hợp $b \mapsto \lambda_b$ ($b \in B$) các độ đo dương trên T, có các tính chất sau: a) $\lambda_b \neq 0$ với $b \in p(T)$; b) $\lambda_b$ tập trung trên tập hợp $\overline{p^{-1}}(b)$ với mọi $b \in B$; đặc biệt, $\lambda_b = 0$ với $b \notin p(T)$; c) $\mu = \int \lambda_b \, d\nu(b)$.

Hơn nữa, nếu $\nu' = r \cdot \nu$ là một độ đo giả-ảnh thứ hai của $\mu$ theo $p$, và nếu $b \mapsto \lambda'_b$ là một họ $\nu'$-thích hợp các độ đo dương trên T có các tính chất b) và c) đối với $\nu'$, thì $\lambda_b = r(b)\lambda'_b$ hầu khắp nơi trong B (đối với $\nu$ hoặc $\nu'$).

Tồn tại một hàm số liên tục và hữu hạn $f$ xác định trên T, sao cho $f(t) > 0$ với mọi $t \in T$ và sao cho $\mu'' = f \cdot \mu$ bị chặn (Ch. V, §5, No. 6, Mệnh đề 11). Gọi $\nu'' = p(\mu'')$, nó tương đương với $\nu$, và viết $\nu'' = g \cdot \nu$, với $g$ hữu hạn và $\nu$-khả tích địa phương; hơn nữa có thể giả sử rằng $g(b) > 0$ với mọi $b \in B$ (Ch. V, §5, No. 6, Mệnh đề 10). Định lý 1 của No. 1, áp dụng cho $\mu''$ và $\nu''$, chỉ ra rằng tồn tại một họ $\nu''$-thích hợp $b \mapsto \lambda''_b$ ($b \in B$) các độ đo dương trên T, sao cho:

1) $\| \lambda''_b \| = 1$ với $b \in p(T)$; 2) $\lambda''_b$ tập trung trên $\overline{p^{-1}}(b)$ với mọi $b \in B$; 3) $\mu'' = \int \lambda''_b \, d\nu''(b)$.

Với mỗi $b \in B$, ta định nghĩa một độ đo dương $\lambda_b$ trên T bởi công thức $\lambda_b = (1/f) \cdot (g(b)\lambda''_b)$. Hiển nhiên rằng họ $b \mapsto \lambda_b$ có các tính chất a) và b) của mệnh đề. Mặt khác, với mọi hàm $h \in \mathscr{K}(T)$, $h/f$ thuộc $\mathscr{K}(T)$, do đó

Nhưng vì hàm $b \mapsto \int (h(t)/f(t)) \, d\lambda''_b(t)$ là $\nu''$-khả tích, hàm $b \mapsto g(b) \int (h(t)/f(t)) \, d\lambda''_b(t)$ là $\nu$-khả tích (Ch. V, §5, No. 3, Định lý 1).*

Theo định nghĩa của $\lambda_b$, hàm này là $b \mapsto \int h(t) d\lambda_b(t)$, do đó (loc. cit.) $\int h(t) d\mu(t) = \int d\nu(b) \int h(t) d\lambda_b(t)$, điều này chứng minh rằng $\mu = \int \lambda_b d\nu(b)$.

Để thiết lập phần thứ hai của mệnh đề, ta nhận xét rằng có thể giả sử rằng $r(b) > 0$ với mọi $b \in B$ (Ch. V, §5, No. 6, Prop. 10); đặt $\lambda'''_b = f \cdot \left( (r(b)/g(b)) \lambda'_b \right)$; ta chỉ ra, như trên, rằng với mọi hàm $h \in \mathscr{K}(T)$, quan hệ

suy ra

Do đó Đl. 1 của No. 1, áp dụng cho $\mu''$ và $\nu''$, suy ra rằng với hầu hết mọi $b \in B$, $\lambda'''_b = \lambda''_b$, do đó $\lambda_b = r(b)\lambda'_b$.

Vì T là đếm được tại vô hạn, tồn tại một dãy tăng $(K_n)_{n \geq 1}$ các tập con compact của T sao cho T là hợp của các $K_n$ và một tập hợp $\mu$-không đáng kể N, và sao cho mỗi quan hệ $R_{K_n}$ là Hausdorff. Gọi $B_n$ là không gian thương $K_n / R_{K_n}$, là compact, và gọi $B'_n$ là không gian compact là tổng tôpô của $B_n$ và một điểm $a_n$. Gọi $q_n$ là ánh xạ chính tắc của $K_n$ lên $B_n$; ta mở rộng $q_n$ thành một ánh xạ $p_n$ của T vào $B'_n$ theo cách sau: nếu $x \in T$ tương đương mod R với một phần tử $y \in K_n$, đặt $p_n(x) = q_n(y)$; trong trường hợp ngược lại, đặt $p_n(x) = a_n$.

Gọi $B'$ là không gian tích $\prod_{n=1}^{\infty} B'_n$, là compact, và gọi $p'$ là ánh xạ $x \mapsto (p_n(x))$ của T vào B'. Ta hãy chứng minh rằng $p'$ là $\mu$-đo được: chỉ cần (Ch. IV, §5, No. 3, Th. 1) chứng minh rằng mỗi ánh xạ $p_n$ là đo được, và để làm điều này chỉ cần chứng minh rằng hạn chế của $p_n$ trên mỗi $K_m$ là đo được. Bây giờ, điều này là hiển nhiên nếu $m \leq n$; nếu ngược lại, $m > n$, gọi $K_{nm}$ là bão hòa của $K_n$ đối với $R_{K_m}$, là một tập con compact của $K_m$ (GT, I, §9, No. 4, Th. 2); vì $p_n$ là hằng trên $K_m - K_{nm}$, chỉ cần chứng minh rằng hạn chế của $p_n$ trên $K_{nm}$ là liên tục, điều này là hiển nhiên do đẳng cấu chính tắc giữa $K_{nm}/R_{K_{nm}}$ và $K_n/R_{K_n}$ (GT, I, §9, No. 4, Cor. 4 of Th. 2).

Let A là sự bão hòa của $\bigcup_n K_n$ đối với quan hệ R, và đặt $N' = T - A \subset N$. Ta sẽ thấy rằng quan hệ $p'(x) = p'(y)$ tương đương với quan hệ «$R\{x, y\}$ hoặc $(x, y) \in N' \times N'$ ». Thật vậy, nếu $R\{x, y\}$ thì $p_n(x) = p_n(y)$ với mọi $n$, do đó $p'(x) = p'(y)$; và nếu $x \in N'$, $y \in N'$ thì $p_n(x) = p_n(y) = a_n$ với mọi $n$, do đó $p'(x) = p'(y)$. Mặt khác, nếu $x$ và $y$ ở trong A và không tương đương mod R, thì tồn tại một số nguyên $n$, một phần tử $x' \in K_n$ (tương ứng $y' \in K_n$) tương đương mod R với $x$ (tương ứng $y$) sao cho $x'$ không tương đương với $y'$ mod $R_{K_n}$; do đó $p_n(x) \neq p_n(y)$, suy ra $p'(x) \neq p'(y)$. Cuối cùng, nếu $x \in N'$ và $y \in A$, thì $p_n(y) \in B_n$ với $n$ đủ lớn và $p_n(x) = a_n$ với mọi $n$, do đó $p'(x) \neq p'(y)$, điều này thiết lập mệnh đề của chúng ta.

Xét tập thương $B_0 = N'/R_{N'}$; gọi $q_0$ là ánh xạ chính tắc của $N'$ lên $B_0$, $s_0$ một tiết diện của $q_0$. Đặt $p_0(x) = s_0(q_0(x))$ với $x \in N'$ và mở rộng $p_0$ lên T bằng cách cho $p_0$ là hằng trên A, bằng một phần tử của T. Khi đó $p = (p', p_0)$ là một ánh xạ $\mu$-đo được của T vào không gian địa phương compact $B = B' \times T$; hiển nhiên nếu $x \in N'$, $y \in N'$, quan hệ $p_0(x) = p_0(y)$ suy ra $R\{x, y\}$; do đó $p$ thỏa mãn các yêu cầu. Hơn nữa, nếu T thừa nhận một cơ sở đếm được, thì mỗi không gian thương $B_n$ cũng vậy (GT, IX, §2, No. 10, Prop. 17), do đó $B'$ thừa nhận một cơ sở đếm được, suy ra $B$ cũng thế.

a) $R$ là $\mu$-đo được.

b) Tồn tại một dãy các ánh xạ $p_n : T \to F_n$ vào các không gian tôpô Hausdorff, sao cho mỗi $p_n$ là $\mu$-đo được và sao cho quan hệ $R\{x, y\}$ tương đương với «với mọi $n$, $p_n(x) = p_n(y)$».

c) Tồn tại một dãy $(A_n)$ các tập hợp $\mu$-đo được, bão hòa đối với R, sao cho với mọi $x \in T$ lớp của x đối với R là giao của những $A_n$ chứa x.

Với ký hiệu như trong phát biểu b), đặt $p(x) = (p_n(x))$; tính chất b) có nghĩa là ánh xạ $p$ từ T vào không gian tích $\prod F_n$ là đo được (Chương IV, §5, No. 3, Định lý 1) và quan hệ $R\{x, y\}$ tương đương với $p(x) = p(y)$; do đó b) suy ra a).

Tiếp theo ta hãy chứng minh rằng c) suy ra b). Giả sử c) được thỏa mãn; khi đó các hàm đặc trưng $\varphi_{A_n}$ là $\mu$-đo được, và giả thiết c) có nghĩa là quan hệ $R\{x, y\}$ tương đương với «với mọi $n$, $\varphi_{A_n}(x) = \varphi_{A_n}(y)$».

Cuối cùng, ta hãy chứng minh rằng a) suy ra c). Theo Mệnh đề 2, tồn tại một không gian compact địa phương B có một cơ sở đếm được, và một ánh xạ $\mu$-đo được $p$ của T vào B, sao cho quan hệ $R\{x, y\}$ tương đương với $p(x) = p(y)$. Hãy lấy $(U_n)$ là một cơ sở đếm được cho tôpô của B. Các tập hợp $A_n = \overline{p^{-1}(U_n)}$ là $\mu$-đo được (Chương IV, §5, No. 5, Mệnh đề 7) và bão hòa đối với R; và nếu $x, y$ là các điểm của T sao cho $p(x) \neq p(y)$, thì tồn tại một chỉ số $n$ sao cho $p(x) \in U_n$ và $p(y) \notin U_n$, nghĩa là $x \in A_n$ và $y \notin A_n$.

Ta có thể rõ ràng giả sử rằng độ đo $\mu$ bị chặn và rằng $\mu(T) \leq 1$ (Chương V, §5, No. 6, Mệnh đề 11). Ta sẽ định nghĩa một dãy $(S_n)$ các tập hợp con Borel (GT, IX, §6, No. 3) sao cho mỗi lớp tương đương theo R cắt hợp $S'$ của các $S_n$ nhiều nhất tại một điểm, sao cho với mọi n sự bão hòa $T_n$ của hợp các $S_p$ với chỉ số $p \leq n$ là $\mu$-đo được, và sao cho $\mu(T - T_n) \leq 1/2^n$. Do đó sự bão hòa $T'$ của $S'$ sẽ là $\mu$-đo được và $N = T - T'$ sẽ có độ đo bằng không. Nếu $S''$ là bất kỳ một tiết diện nào của N đối với quan hệ $R_N$, thì $S = S' \cup S''$ sẽ thỏa các yêu cầu, vì $S'$, là một tập Borel, là $\mu$-đo được (Chương IV, §5, No. 4, Hệ quả 3 của Định lý 2), và $S''$ có độ đo bằng không.

Theo Mệnh đề 2, $R\{x, y\}$ tương đương với quan hệ $p(x) = p(y)$, trong đó $p$ là một ánh xạ $\mu$-đo được từ T vào một không gian địa phương compact F. Giả sử các $S_k$ đã được xác định với $k \leq n$. Vì $T - T_n$ là $\mu$-đo được và có độ đo $\leq 1/2^n$, nên tồn tại một tập con compact K của $T - T_n$ sao cho $\mu(T - (T_n \cup K)) \leq 1/2^{n+1}$ và sao cho hạn chế của $p$ lên K là liên tục. Vì quan hệ cảm sinh $R_K$ là đóng và K là khả metrizable, ta biết rằng tồn tại một tập con Borel $S_{n+1}$ của K sao cho, trong K, mỗi điểm tương đương (mod R) với một và chỉ một điểm của $S_{n+1}$ (GT, IX, §6, No. 8, Định lý 4). Do đó $p(S_{n+1}) = p(K)$, là một tập compact trong F; bao đóng bão hòa của $S_{n+1}$ đối với R là ảnh ngược $\overline{p^{-1}(p(K))}$, vì thế là $\mu$-đo được (Ch. IV, §5, No. 5, Mệnh đề 7); rõ ràng tập này chứa K, do đó hợp $T_{n+1}$ của $T_n$ và $\overline{p}^{-1}(p(K))$ là $\mu$-đo được, bão hòa đối với R, và thỏa mãn $\mu(T - T_{n+1}) \leq 1/2^{n+1}$, điều này hoàn tất chứng minh.