Phụ lục

Bổ sung về các không gian vectơ tôpô

1. Các dạng song tuyến tính và các ánh xạ tuyến tính

Cho $(F_1, G_1), (F_2, G_2)$ là hai cặp không gian vectơ (thực hoặc phức) trong đối ngẫu tách biệt (TVS, II, §6, No. 1); giả sử mỗi không gian này được trang bị tôpô yếu tương ứng (loc. cit., No. 2); nếu A và B là bất kỳ hai không gian nào trong các không gian này, như thường lệ ta ký hiệu $\mathscr{L}(A; B)$ là không gian vectơ các ánh xạ tuyến tính liên tục của A vào B, và $\mathfrak{B}(A, B)$ là không gian vectơ các dạng song tuyến tính liên tục riêng rẽ trên $A \times B$ .

Với mọi dạng song tuyến tính liên tục riêng rẽ $\Phi$ trên $F_1 \times F_2$ , $x_1 \mapsto \Phi(x_1, x_2)$ là một dạng tuyến tính liên tục trên $F_1$ , do đó tồn tại một và chỉ một phần tử ${}^r\Phi(x_2) \in G_1$ sao cho

\Phi(x_1, x_2) = \langle x_1, {}^r\Phi(x_2) \rangle

với $x_1 \in F_1, x_2 \in F_2$ (TVS, III, §5, No. 1, (1)). Hơn nữa, công thức này cho thấy ánh xạ $x_2 \mapsto {}^r\Phi(x_2)$ là tuyến tính và liên tục đối với các tôpô (yếu) của $F_2$ và $G_1$ . Ngược lại, với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục $u$ từ $F_2$ vào $G_1$ , $(x_1, x_2) \mapsto \Phi(x_1, x_2) = \langle x_1, u(x_2) \rangle$ là một dạng song tuyến tính liên tục riêng rẽ trên $F_1 \times F_2$ , và ${}^r\Phi = u$ . Do đó ta định nghĩa một đẳng cấu $r : \Phi \mapsto {}^r\Phi$ của $\mathfrak{B}(F_1, F_2)$ lên $\mathscr{L}(F_2; G_1)$ , được gọi là chính tắc.

Tương tự, công thức

\Phi(x_1, x_2) = \langle {}^l\Phi(x_1), x_2 \rangle

xác định một đẳng cấu chính tắc $l : \Phi \mapsto {}^l\Phi$ của $\mathfrak{B}(F_1, F_2)$ lên $\mathscr{L}(F_1; G_2)$ ; và hiển nhiên ta có biểu đồ giao hoán

\begin{array}{ccc} \mathscr{B}(F_1, F_2) & & \\ l & l^{-1} & r^{-1} \\ & & \\ \mathscr{L}(F_1; G_2) & \xleftarrow{t} & \mathscr{L}(F_2; G_1) \end{array}

trong đó $t$ là đẳng cấu chuyển vị $u \mapsto {}^t u$ . Xét theo định nghĩa các tôpô yếu trên $G_1$ và $G_2$ , hơn nữa hiển nhiên rằng khi $\mathscr{B}(F_1, F_2)$ , $\mathscr{L}(F_1; G_2)$ và $\mathscr{L}(F_2; G_1)$ được trang bị tôpô hội tụ điểm, các đẳng cấu trong biểu đồ trên là các đẳng cấu của cấu trúc không gian vectơ tôpô.

Bây giờ cho $E, F$ là hai không gian lồi địa phương Hausdorff, $E', F'$ là các không gian đối ngẫu tương ứng của chúng; ta ký hiệu $E_\sigma, F_\sigma$ là các không gian $E, F$ được trang bị các tôpô yếu hóa $\sigma(E, E')$ , $\sigma(F, F')$ , và $E'_s, F'_s$ là các không gian $E', F'$ được trang bị các tôpô yếu $\sigma(E', E)$ , $\sigma(F', F)$ . Vì thế, các nhận xét trên thiết lập các đẳng cấu chính tắc giữa ba không gian $\mathscr{B}(E_\sigma, F'_s)$ , $\mathscr{L}(E_\sigma; F_\sigma)$ và $\mathscr{L}(F'_s; E'_s)$ , và cũng giữa ba không gian $\mathscr{B}(E_\sigma, F_\sigma)$ , $\mathscr{L}(E_\sigma; F'_s)$ và $\mathscr{L}(F_\sigma; E'_s)$ . Ta sẽ nhận thấy rằng $\mathscr{B}(E_\sigma, F_\sigma)$ cũng bằng không gian $\mathscr{B}(E, F)$ các dạng song tuyến tính liên tục riêng rẽ trên $E \times F$ ( $E$ và $F$ được trang bị các tôpô ban đầu của chúng), vì mọi dạng tuyến tính liên tục trên $E$ (resp. $F$ ) đều liên tục trên $E_\sigma$ (resp. $F_\sigma$ ) và ngược lại (TVS, II, §6, No. 1 and No. 2, Mệnh đề 3).

Cho $\mathscr{B}(E, F)$ là không gian các dạng song tuyến tính liên tục trên $E \times F$ ( $E$ và $F$ được trang bị với các tôpô ban đầu của chúng); thì $\mathscr{B}(E, F) \subset \mathscr{B}(E, F)$ .

Mệnh đề 1

Để một dạng song tuyến tính $\Phi \in \mathscr{B}(E, F)$ thuộc $\mathscr{B}(E, F)$ , điều cần và đủ là tồn tại một lân cận của 0 trong $E$ mà ảnh của nó qua ${}^l \Phi$ là một tập con đều liên tục của $F'$ .

Thật vậy, nói rằng $\Phi$ liên tục có nghĩa là tồn tại một lân cận lồi cân bằng $V$ (resp. $W$ ) của 0 trong $E$ (resp. $F$ ) sao cho $|\Phi(x, y)| \leq 1$ với $x \in V$ , $y \in W$ ; điều này có thể viết là $|\langle {}^l \Phi(x), y \rangle| \leq 1$ với $x \in V$ , $y \in W$ , hoặc cũng có thể là ${}^l \Phi(V) \subset W^\circ$ ; do đó suy ra mệnh đề, lưu ý rằng mọi tập con đều liên tục của $F'$ đều được chứa trong đối cực của một lân cận của 0 trong $F$ .

Hệ quả

Nếu $\Phi$ là một dạng song tuyến tính liên tục trên $E \times F$ , thì ${}^l \Phi$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục của $E$ vào đối ngẫu mạnh $F'_b$ của $F$ . Nếu, hơn nữa, $E$ và $F$ là các không gian chuẩn, thì $\|{}^l \Phi\| = \|\Phi\|$ .

Khẳng định thứ nhất suy ra từ Mđ. 1 và thực tế rằng mọi lân cận của 0 trong $F'_b$ đều hấp thụ mọi tập con đều liên tục của $F'$ . Nếu $E$ và $F$ là các không gian chuẩn, thì

\|\Phi\| = \sup_{\|x\| \leq 1, \|y\| \leq 1} |\Phi(x, y)| = \sup_{\|x\| \leq 1} \left( \sup_{\|y\| \leq 1} |\langle l \Phi(x), y \rangle| \right) = \sup_{\|x\| \leq 1} \|l \Phi(x)\| = \|l \Phi\|,

do đó khẳng định thứ hai.

Đổi chỗ vai trò của $E$ và $F$ , ta thu được các kết quả tương tự với Mđ. 1 và hệ quả của nó cho các ánh xạ tuyến tính $r \Phi$ ; chúng tôi để cho bạn đọc nêu ra chúng.

2. Một số kiểu không gian có tính chất (GDF)

Ta đã biết rằng mọi không gian Fréchet đều có tính chất (GDF) (TVS, I, §3, No. 3, Hệ quả 5 của Định lý 1).

Mệnh đề 2

— Cho E là một không gian vectơ, $(F_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ các không gian địa phương compact có tính chất (GDF), và với mỗi $\alpha \in A$ cho $h_\alpha$ là một ánh xạ tuyến tính của $F_\alpha$ vào E. Nếu E được trang bị tôpô lồi địa phương mạnh nhất làm cho các $h_\alpha$ liên tục, thì E có tính chất (GDF).

Cho $u$ là một ánh xạ tuyến tính từ E vào một không gian Banach B, sao cho mọi giới hạn trong $E \times B$ của mọi dãy hội tụ các điểm của đồ thị $\Gamma$ của $u$ cũng thuộc $\Gamma$ . Chỉ cần chứng minh rằng, với mọi $\alpha \in A$ , $u \circ h_\alpha$ liên tục trên $F_\alpha$ (TVS, II, §4, No. 4, Mệnh đề 5). Bây giờ, cho $(x_n)$ là một dãy các phần tử của $F_\alpha$ có giới hạn $a$ và sao cho dãy $\left(u(h_\alpha(x_n))\right)$ có giới hạn $b \in B$ . Vì $h_\alpha$ liên tục, $h_\alpha(a)$ là một giới hạn của dãy $(h_\alpha(x_n))$ trong E; do đó theo giả thiết $b = u(h_\alpha(a))$ và, vì $F_\alpha$ có tính chất (GDF), $u \circ h_\alpha$ liên tục.

Hệ quả

— Mọi không gian thương của một không gian lồi địa phương có tính chất (GDF) đều có tính chất (GDF).

Mệnh đề 3

— Đối ngẫu mạnh của một không gian Fréchet phản xạ có tính chất (GDF).

Đây là hệ quả của Mệnh đề 2 và bổ đề sau (hoặc TVS, IV, §3, No. 4, Mệnh đề 4):

Bổ đề

Cho F là một không gian Fréchet, $F'$ là đối ngẫu mạnh của nó, $F''$ là đối ngẫu kép của nó. Nếu mọi tập con của $F''$ , bị chặn đối với $\sigma(F'', F')$ , đều được chứa trong bao đóng (theo $\sigma(F'', F')$ ) của một tập con bị chặn của F, thì $F'$ là giới hạn trực tiếp của một dãy các không gian Banach.

Thật vậy, cho $(V_n)$ là một dãy cơ sở giảm gồm các lân cận lồi, cân bằng và đóng của 0 trong F. Với mọi số nguyên $n$ , đặt $G_n$ là không gian con tuyến tính của $F'$ do cực $V_n^\circ$ của $V_n$ sinh ra. Trong $G_n$ , $V_n^\circ$ là một tập hợp lồi hấp thụ, do đó hàm gauge $p_n$ của nó là một chuẩn trên $G_n$ ; hơn nữa, $V_n^\circ$ là một tập con đầy đủ của đối ngẫu mạnh $F'$ (TVS, III, §3, No. 8, Mệnh đề 11); vì thế $G_n$ , được trang bị chuẩn $p_n$ , là một không gian Banach (GT, III, §3, No. 5, Hệ quả 2 của Mệnh đề 9). Ta sẽ chứng minh rằng tôpô mạnh trên $F'$ là giới hạn trực tiếp của các tôpô không gian Banach này trên các $G_n$ , hay nói cách khác, để một tập con đóng mạnh, cân bằng, lồi U của $F'$ là một lân cận mạnh của 0, điều kiện cần và đủ là U hấp thụ từng $V_n^\circ$ . Hiển nhiên điều kiện này là cần; để thấy rằng nó là đủ, chỉ cần chứng minh rằng U chứa một thùng của $F'$ . Thật vậy, khi đó cực $U^\circ$ của nó trong $F''$ sẽ bị chặn đối với $\sigma(F'', F')$ , do đó, theo giả thiết, sẽ được chứa trong bao đóng (theo $\sigma(F'', F')$ ) của một tập con bị chặn B của F, từ đó suy ra rằng U (vốn đóng đối với $\sigma(F', F'')$ ) chứa lân cận mạnh $B^\circ$ của 0 (TVS, II, §6, No. 3, Định lý 1 và §8, No. 4).

Theo giả thiết, với mọi số nguyên $n$ tồn tại một số $\lambda_n > 0$ sao cho $\lambda_n V_n^\circ \subset \frac{1}{2}U$ ; đặt $A_n$ là bao lồi của hợp các $\lambda_i V_i^\circ$ với $i \leq n$ . Khi đó $A_n \subset \frac{1}{2}U$ với mọi $n$ ; đặt W là hợp của các $A_n$ ; W là một tập lồi, cân bằng, hấp thụ được chứa trong $\frac{1}{2}U$ , và chỉ cần chứng minh rằng bao đóng mạnh của nó (là một thùng) được chứa trong U.

Khi đó, cho $x'$ là một điểm của $F'$ không thuộc U. Vì mỗi $V_n^\circ$ đều compact đối với $\sigma(F', F)$ , nên điều đó cũng đúng cho các $A_n$ (TVS, II, §2, No. 6, Mệnh đề 15), và vì $x' \notin 2A_n$ , tồn tại một phần tử $x_n$ thuộc polar của $A_n$ trong F sao cho $\langle x', x_n \rangle = 2$ (TVS, II, §5, No. 3, Mệnh đề 4). Dãy $(x_n)$ bị chặn trong F: thật vậy, mọi $y' \in F'$ thuộc về một $V_k^\circ$ nào đó, do đó $|\langle y', x_n \rangle| \leq \lambda_k^{-1}$ đối với $n \geq k$ , do đó có mệnh đề của chúng ta (TVS, IV, §1, No. 1, Mệnh đề 1). Cho C là một tập hợp lồi, cân bằng, bị chặn trong F chứa tất cả các $x_n$ ; khi đó $C^\circ$ là một lân cận của 0 trong $F'$ , và polar $C^{\circ\circ}$ của $C^\circ$ trong $F''$ là compact đối với $\sigma(F'', F')$ (TVS, III, §3, No. 4, Hệ quả 2 của Mệnh đề 4 và No. 5, Mệnh đề 7). Do đó thấy rằng dãy $(x_n)$ có một điểm tụ $x''$ trong $F''$ đối với $\sigma(F'', F')$ ; hiển nhiên $\langle x', x'' \rangle = 2$ và, mặt khác, $x''$ thuộc polar của $A_n$ trong $F''$ với mọi $n$ , nên thuộc polar $W^\circ$ của W trong $F''$ . Từ đó, suy ra rằng $x' \notin W^{\circ\circ}$ , do đó không thuộc bao đóng của W đối với $\sigma(F', F'')$ (TVS, II, §6, No. 3, Định lý 1 và §8, No. 4), do đó a fortiori đối với tôpô mạnh, điều này hoàn thành chứng minh.

Bài tập