Ghi chú lịch sử

(Xin chú ý. — Các chữ số La Mã chỉ thư mục ở cuối ghi chú này.)

Cùng với sự phát triển của 'phép tính vectơ' trong thế kỷ 19, việc phải lấy tích phân các hàm nhận giá trị vectơ đã trở thành thông lệ; nhưng chừng nào chỉ còn là vấn đề các hàm nhận giá trị trong những không gian hữu hạn chiều, thì phép toán này không gây ra khó khăn nào. Chỉ đến lý thuyết phổ của Hilbert người ta mới gặp những phép toán tự nhiên dẫn tới một khái niệm tích phân tổng quát hơn: thực vậy, lý thuyết này dẫn đến việc gắn, với mọi dạng Hermit liên tục $\Phi(x, y)$ trên một không gian Hilbert $\mathbf{H}$, một họ $(E(\lambda))_{\lambda \in \mathbf{R}}$ các phép chiếu trực giao có tính chất là, với mọi cặp $(x, y)$ vectơ của $\mathbf{H}$, hàm $\lambda \mapsto (E(\lambda)x|y)$ là có biến thiên bị chặn và $\Phi(x, y) = \int \lambda d(E(\lambda)x|y)$; nếu gắn với $\Phi$ toán tử Hermit $A$ sao cho $\Phi(x, y) = (Ax|y)$, thì thật tự nhiên khi viết công thức trước dưới dạng $A = \int \lambda dE(\lambda)$. Nhưng chỉ từ khoảng năm 1935 trở đi, sau khi Bochner đưa vào phép lấy tích phân ('mạnh') của một hàm nhận giá trị trong một không gian Banach, người ta mới bắt đầu quan tâm đến việc định nghĩa tích phân của các hàm nhận giá trị vectơ (hay tích phân đối với một độ đo vectơ) sao cho có thể chính đáng viết những công thức như công thức trên. Sự mở rộng này về cơ bản được thực hiện bởi Gelfand (III), Dunford và Pettis (IV) và (V); các kết quả của họ được phát biểu cho các không gian Banach, nhưng mở rộng không khó khăn đến các không gian lồi địa phương tổng quát hơn.

Ý tưởng phân tích một thể tích thành các 'lát cắt' và quy một tích phân trên thể tích ấy về các tích phân trên từng lát cắt, rồi sau đó là một phép lấy tích phân duy nhất, đã được dùng trong Giải tích ngay từ thuở đầu của Phép tính vi tích phân (phép 'tính bằng các phần tử bất khả phân' của Cavalieri chẳng qua chỉ là một phác thảo đầu tiên của nguyên lý này, mà thậm chí còn có thể lần ngược về Archimedes (xem Ghi chú lịch sử của Quyển IV, Chs. I–III)). Nhưng trong các ứng dụng cổ điển, các 'lát cắt' luôn luôn có bản chất rất đặc biệt và rất chính quy (thường nhất là các tập con mở của các mặt giải tích, phụ thuộc giải tích vào một tham số); hầu như không thể khác được khi chưa có một lý thuyết tích phân tổng quát. Bài toán tổng quát về sự phân rã của một độ đo đã được von Neumann đặt ra và giải quyết vào năm 1932, trong mối liên hệ với lý thuyết ergodic (I); vào khoảng cùng thời gian ấy (và một cách độc lập), Kolmogoroff, trong khi đặt những nền tảng tiên đề cho Lý thuyết Xác suất, đã được dẫn tới việc định nghĩa một cách tổng quát khái niệm 'xác suất có điều kiện' và chứng minh sự tồn tại của nó, một bài toán về cơ bản tương đương với bài toán phân rã một độ đo (II).

(I) J. von NEUMANN, Về phương pháp toán tử trong cơ học cổ điển, Ann. of Math., (2), 33 (1932), pp. 587–642.

(II) A. KOLMOGOROFF, Các khái niệm cơ bản của phép tính xác suất, Berlin (Springer), 1933.

(III) I. GELFAND, Các hàm trừu tượng và các toán tử tuyến tính, Mat. Sborn., (N.S.), 4 (1938), pp. 235–284.

(IV) N. DUNFORD, Tính đều trong các không gian tuyến tính, Trans. Amer. Math. Soc., 44 (1938), pp. 305–356.

(V) N. DUNFORD AND B. PETTIS, Các phép toán tuyến tính trên các hàm khả tổng, Trans. Amer. Math. Soc., 47 (1940), pp. 323–392.

Bảng chỉ dẫn ký hiệu

Các số tham chiếu chỉ, theo thứ tự, chương, tiết diện và tiểu mục (hoặc, trong trường hợp ngoại lệ, bài tập).

Chương III :

$\mathscr{C}(X;E), \mathscr{C}(X), \mathscr{C}(X,A;E), \mathscr{K}(X;E), \mathscr{K}(X), \mathscr{K}(X,A;E), \mathscr{K}(X,A), \mathscr{K}_+(X)$ (X là một không gian địa phương compact, E một không gian vectơ tôpô) : III, 1, 1. Supp(f) (f một hàm nhận giá trị trong một không gian vectơ hoặc trong $\overline{\mathbf{R}}$) : III, 1, 1. $\mathscr{C}^b(X;E), \mathscr{C}^0(X;E)$ : III, 1, 2. $\|f\|$ (f một hàm nhận giá trị trong một không gian định chuẩn) : III, 1, 2. $\mu(f), \langle f, \mu \rangle, \int f d\mu, \int f \mu, \int f(x) d\mu(x), \int f(x)\mu(x)$ (f một hàm trong $\mathscr{K}(X;\mathbf{C})$, $\mu$ một độ đo (phức)) : III, 1, 3. $\mathscr{M}(X;\mathbf{C}), \mathscr{M}(X), \mathscr{M}_\sigma(X;\mathbf{C}), \mathscr{M}_\sigma(X)$ : III, 1, 3. $\varepsilon_a$ : III, 1, 3. g · $\mu$ (g một hàm trong $\mathscr{C}(X;\mathbf{C})$) : III, 1, 4. $\overline{\mu}, \Re \mu, \Im \mu$ : III, 1, 5. $\mathscr{M}(X;\mathbf{R}), \mathscr{M}(X), \mathscr{M}_+(X)$ : III, 1, 5. $\mu \leq \nu$ ($\mu, \nu$ các độ đo thực) : III, 1, 5. $\mu^+, \mu^-, |\mu|$ ($\mu$ một độ đo thực) : III, 1, 5. $|\mu|$ ($\mu$ một độ đo phức) : III, 1, 6. $\|\mu\|$ ($\mu$ một độ đo) : III, 1, 8. $\mathscr{M}^1(X,\mathbf{R}), \mathscr{M}^1(X)$ : III, 1, 8. $\mu|Y$ ($\mu$ một độ đo trên X, Y một không gian con mở của X) : III, 2, 1. Supp($\mu$) ($\mu$ một độ đo) : III, 2, 2. $\langle f, z' \rangle$ : III, 3, 1. $\widetilde{\mathscr{K}}(X;E)$ : III, 3, 1. $\int f d\mu, \int f \mu, \int f(x) d\mu(x), \int f(x)\mu(x)$ (f một hàm trong $\widetilde{\mathscr{K}}(X;E)$) : III, 3, 1. $\int d\mu(y) \int f(x,y) d\lambda(x)$ : III, 4, 1. $\iint f d\lambda d\mu, \iint f d\mu d\lambda, \iint f \lambda \mu, \iint f \mu \lambda, \iint f(x,y) d\lambda(x) d\mu(y), \iint f(x,y) d\mu(y) d\lambda(x), \iint f(x,y) \lambda(x) \mu(y), \iint f(x,y) \mu(y) \lambda(x)$ : III, 4, 1.

λ ⊗ μ (λ, μ các độ đo) : III, 4, 2. μ₁ ⊗ μ₂ ⊗ ⋯ ⊗ μₙ, $\bigotimes_{i=1}^{n} \mu_i$ : III, 4, 4. $\int f\ d\mu_1\ d\mu_2\ldots\ d\mu_n$, $\iint \ldots \int f\ d\mu_1\ d\mu_2\ldots\ d\mu_n$, $\int f(\mu_1 \otimes \mu_2 \otimes \cdots \otimes \mu_n)$, $\iint \ldots \int f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\ d\mu_1(x_1)\ d\mu_2(x_2)\ldots\ d\mu_n(x_n)$, $\iint \ldots \int f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\mu_1(x_1)\mu_2(x_2)\cdots\mu_n(x_n)$ : III, 4, 4. $\bigotimes_{\lambda \in L} \mu_\lambda$ : III, 4, 6.

Chương IV :

φ_A : IV, 1, 1. $\mathscr{H}$₊, $\mathscr{J}$₊(X), $\mathscr{J}$₊ : IV, 1, 1. μ*(f) (μ là một độ đo dương) : IV, 1, 1, IV, 1, 3 và IV, 4, Bài tập 5. ∫* f dμ, ∫* fμ, ∫* f(x) dμ(x), ∫* f(x)μ(x) (f là một hàm ≥ 0, μ là một độ đo dương) : IV, 1, 3. μ*(A) (A là một tập con của X, μ là một độ đo dương) : IV, 1, 2 và IV, 1, 4. f̃ : IV, 2, 4 và IV, 2, 5. φ((f̃ₙ)), f̃ + g̃, αf̃, g̃f̃ : IV, 2, 4. f̃ ≤ g̃, supₙ f̃ₙ, infₙ f̃ₙ, lim supₙ→∞ f̃ₙ, lim infₙ→∞ f̃ₙ (f, g, fₙ là các hàm số) : IV, 2, 6. |z| (z là một điểm của một không gian chuẩn) : IV, 3, 2. |f| (f là một hàm nhận giá trị trong một không gian chuẩn) : IV, 3, 2. N_p(f, μ), N_p(f), N_p(f̃) (1 ≤ p < +∞) : IV, 3, 2. $\mathscr{G}_F(X), \mathscr{G}_F$ : IV, 3, 3. $\mathscr{G}_F^p(X, \mu), \mathscr{G}_F^p(\mu), \mathscr{G}_F^p$ : IV, 3, 3. $\mathscr{G}_F$ : IV, 3, 3. $\mathscr{G}_F, \mathscr{D}_F^p(X, \mu), \mathscr{D}_F^p(\mu), \mathscr{D}_F^p, L_F^p(X, \mu), L_F^p(\mu), L_F^p, \mathscr{D}^p, L^p (1 \leq p < +\infty)$ : IV, 3, 4. ‖f̃‖_p (1 ≤ p < +∞) : IV, 3, 4. μ(f), ∫ f dμ, ∫ f(x) dμ(x), ∫ fμ, ∫ f(x)μ(x), μ(f̃) (f là một hàm μ-khả tích nhận giá trị trong một không gian Banach) : IV, 4, 1. μ(A) (A là một tập hợp μ-khả tích) : IV, 4, 5. $\mathscr{Q}'(X; C)$ : IV, 4, 8. $\mathscr{Q}$(Φ), $\mathscr{Q}_F$(Φ) (Φ là một clan các tập hợp) : IV, 4, 9. μ_*(f) (f là một hàm) : IV, 4, Bài tập 5.

$\mu_*(A)$ (A là một tập hợp) : IV, 4, Bài tập 7. $\int_A f d\mu, \int_A f\mu, \int_A^* f d\mu, \int_A^* f\mu$ : IV, 5, 6. $\mathscr{S}(A, \mu; F), \mathscr{S}_F(A, \mu), \mathscr{S}_F(\mu), \mathscr{S}_F$ : IV, 5, 11. $W(V, B, \delta)$ : IV, 5, 11. $S(A, \mu; F), S_F(A, \mu), S_F(\mu), S_F$ : IV, 5, 11. $f^*$ (sắp xếp giảm của $f$) : IV, 5, Bài tập 29. $M_\infty(f), m_\infty(f)$ : IV, 6, 2. $N_\infty(f)$ : IV, 6, 3. $\mathscr{L}_F^\infty(X, \mu), \mathscr{L}_F^\infty(\mu), \mathscr{L}_F^\infty, \mathscr{N}_F^\infty$ : IV, 6, 3. $\|\dot{f}\|_\infty, N_\infty(\dot{f})$ : IV, 6, 3. $L_F^\infty(X, \mu), L_F^\infty(\mu), L_F^\infty, \mathscr{L}^\infty, L^\infty$ : IV, 6, 3. $b_\mu$ : IV, 7, 1. $\mathrm{Ch}_\mathscr{H}(X), \mathrm{Ch}(X), \check{S}_\mathscr{H}(X), \check{S}(X)$ : IV, 7, 3.

Chương V :

$\mathscr{F}_+(E), \mathscr{F}_+$ (E là một tập hợp) : V, Các quy ước sơ bộ. $\mu^\bullet(f), \mu^\bullet(A), \int^\bullet f d\mu, \int^\bullet f(t) d\mu(t), \int^\bullet f\mu$ : V, 1, 1. $\overline{\mathscr{F}}_F^p(T, \mu), \overline{\mathscr{F}}_F^p(\mu), \overline{\mathscr{F}}_F^p$ : V, 1, 3. $\overline{N}_p(f), \overline{\mathscr{L}}_F^p(T, \mu), \overline{\mathscr{L}}_F^p(\mu), \overline{\mathscr{L}}_F^p$ : V, 1, 3. $\overline{\mathscr{L}}_F^p(T, \theta)$ ($\theta$ là một độ đo phức) : V, 1, 3. $\int \lambda_t d\mu(t)$ ($t \mapsto \lambda_t$ là một họ các độ đo dương) : V, 3, 1. $\int d\mu(t) \int f(x) d\lambda_t(x)$ : V, 3, 1. $\|\Lambda\|$ ($\Lambda$ là một khuếch tán) : V, 3, 5. $\langle \eta, h \rangle$ : V, 3, 5. $\Lambda f, \mu \Lambda$ : V, 3, 5. $\Lambda H$ : V, 3, 6. $\mathscr{L}_{\text{loc}}^1(T, \mu; F), L_{\text{loc}}^1(T, \mu; F)$ : V, 5, 1. $u \cdot \theta$ ($u$ là một hàm phức, $\theta$ là một độ đo phức) : V, 5, 2. $\int_A^\bullet f d\mu$ : V, 5, 3. $u(\mu_1, \ldots, \mu_n)$ ($u$ là một hàm số thuần nhất dương) : V, 5, 9. $\pi(\mu)$ ($\pi$ là một ánh xạ $\mu$-thực sự): V, 6, 1. $\pi(\theta)$ ($\theta$ là một độ đo phức, $\pi$ là một ánh xạ $|\theta|$-thực sự) : V, 6, 4. $\pi^{-1}(\mu)$ ($\pi$ là một đồng phôi địa phương): V, 6, 6. $\iint^* f(t, t') d\mu(t) d\mu'(t'), \iint^\bullet f(t, t') d\mu(t) d\mu'(t'), \iint f(t, t') d\mu(t) d\mu'(t')$ : V, 8, 1

Chương VI:

F', F'', {F'}^*, F_\sigma (F là một không gian lồi địa phương Hausdorff) : VI, Giới thiệu. \mathscr{K}(T), \mathscr{K}_R(T), \mathscr{K}_C(T), \mathscr{K}(T,A), \mathscr{K}_C(T,A) : VI, Giới thiệu. \langle f, z' \rangle, \langle z', f \rangle : VI, 1. \int f d\mu, \int f(t) d\mu(t) (f là một hàm nhận giá trị vectơ, \mu là một độ đo dương) : VI, 1, 1. gf, fg (f là một hàm nhận giá trị vectơ, g là một hàm vô hướng) : VI, 1, 1. \mathscr{C}'(T) : VI, 1, 6. \int f dm, \int f(t) dm(t) (f là một hàm số, m là một độ đo vectơ) : VI, 2, 1 và VI, 2, 2. g \cdot m (g là một hàm số, m là một độ đo vectơ) : VI, 2, 1. $\mathscr{L}(m)$ : VI, 2, 2. q(m), |m| (q là một nửa chuẩn, m là một độ đo vectơ) : VI, 2, 3. f \cdot \mu (f là một hàm nhận giá trị vectơ, \mu là một độ đo dương) : VI, 2, 4. $\mathscr{L}_{F_s'}^\infty, L_{F_s'}^\infty$ : VI, 2, 5. \langle f, g \rangle (f, g là các hàm nhận giá trị vectơ) : VI, 2, 6. I_{\Phi,m}, \int f dm (f là một hàm nhận giá trị vectơ, m là một độ đo vectơ) : VI, 2, 7. |m|, \int f dm (m là một độ đo phức) : VI, 2, 8, III, 1, 6. \mathscr{L}_F^p(T,m), \overline{\mathscr{L}}_F^p(T,m), L_F^p(T,m) (m là một độ đo phức) : VI, 2, 8, V, 1, 3. h \cdot m (m là một độ đo phức) : VI, 2, 8. \overline{m} (m là một độ đo phức) : VI, 2, 8, III, 1, 5. \|m\| (m là một độ đo phức) : VI, 2, 9, III, 1, 8. \pi(m), m_Y, m \otimes m' (m, m' là các độ đo phức) : VI, 2, 10. \mathscr{B}(F_1, F_2), r\Phi, l\Phi : VI, Phụ lục, 1. E_\sigma, F_\sigma, E'_s, F'_s, \mathscr{B}(E,F) : VI, Phụ lục, 1. \Lambda_{F'}^p(T,\mu), M_p, M'_p : VI, 1, Bài tập 16.

Bảng thuật ngữ

Các số tham chiếu chỉ, theo thứ tự, chương, mục và tiểu mục (hoặc, ngoại lệ, bài tập).

Giá trị tuyệt đối của một độ đo : III, 1, 6 và VI, 2, 8. Cặp thích nghi, $\mu^-$ : V, 4, 1. Hàm tập hợp cộng tính : IV, 4, 9. Tính cộng tính, đầy đủ : IV, 4, 5. Ánh xạ thích hợp, $\mu^-$ : V, 3, 1 và VI, 1, 1, Chú thích. Các độ đo xa lạ : V, 5, 7. Hàm được xác định hầu khắp nơi : IV, 2, 5. Tính chất đúng hầu khắp nơi : IV, 2, 3. Độ đo nguyên tử : III, 1, 3. Dải, trong không gian có thứ tự dàn đầy đủ : II, 1, 5. Trọng tâm của một độ đo : IV, 7, 1. Cơ sở $\mu$, độ đo với : V, 5, 2 và VI, 2, 8. Cơ sở $\mu$, theo vô hướng của (độ đo vectơ) : VI, 2, 5. Cơ sở $\mu$, độ đo vectơ với : VI, 2, 4. Thuộc miền của một khuếch tán, độ đo : V, 3, 5. Định lý Bishop : IV, 7, 5. Biên, biên giới : III, 1, 1, Chú thích. Khuếch tán bị chặn : V, 3, 5. Bị chặn theo độ đo, hàm : IV, 6, 2 và IV, 6, 3. Độ đo bị chặn : III, 1, 8 và VI, 2, 9. Mang một độ đo, tập con : V, 5, 7. Các định lý Choquet : IV, 7, 2 và IV, 7, 6. Tộc các tập con của một tập hợp : IV, 4, 9. Lớp, tương đương (của các hàm), đối với một độ đo : IV, 2, 4, IV, 2, 5 và IV, 5, 2. Lớp, ảnh giả (của một lớp các độ đo) : VI, 3, 2. Không gian con đồng dàn : II, 1, Bài tập 3. Hội tụ compact (trong không gian các độ đo) : III, 1, 10. Cộng tính hoàn toàn : IV, 4, 5. Độ đo phức : III, 1, 3 và VI, 2, 8. Khuếch tán hợp thành : V, 3, 6.

Tập trung trên một tập hợp, độ đo : V, 5, 7. Các số mũ liên hợp : IV, 6, 4. Độ đo liên hợp : III, 1, 5 và VI, 2, 8. Thành phần liên thông : V, 6, Bài tập 12, Chú thích. Ánh xạ bảo toàn : V, 7, Bài tập 9. Liên tục hầu khắp nơi : IV, 5, Bài tập 16. Hội tụ theo trung bình, hội tụ theo trung bình cấp $p$, hội tụ theo trung bình bình phương : IV, 3, 3. Hội tụ theo độ đo : IV, 5, 11. Hội tụ, hầu khắp nơi : IV, 2, 5. Hội tụ, compact (trong không gian các độ đo) : III, 1, 10. Hội tụ, compact nghiêm ngặt (trong không gian các độ đo) : III, 1, 10. Hội tụ, mơ hồ : III, 1, 9. Lọc hội tụ trong không gian có thứ tự dàn đầy đủ : II, 1, Bài tập 9. Đếm được ở vô cùng : III, 1, 1, Chú thích. Định lý về tính lồi đếm được : IV, 3, 2. Phân tích thành các lát, của một độ đo : V, 6, 6 và VI, 3. 1. Sắp xếp giảm của một hàm : IV, 5, Bài tập 29. Được xác định hầu khắp nơi (hàm) : IV, 2, 5. Được xác định địa phương hầu khắp nơi (hàm) : IV, 5, 2. Mật độ $g$ (đối với $\theta$), độ đo với : V, 5, 2 và VI, 2, 8. Điểm mật độ (của một tập con) : V, 6, Bài tập 15. Mật độ, của một độ đo vectơ đối với một độ đo dương : VI, 2, 4. Mật độ, đối với một độ đo phức : III, 1, 4, V, 5, 2 và VI, 2, 8. Các đạo hàm của một hàm : V, 6, Bài tập 12. Độ đo khuếch tán : V, 5, 10. Khuếch tán : V, 3, 5. Khuếch tán, bị chặn : V, 3, 5. Khuếch tán, hợp thành : V, 3, 6. Độ đo Dirac : III, 1, 3. Giới hạn trực tiếp, của một hệ trực tiếp các không gian lồi địa phương : III, 1, 1. Tổng trực tiếp, có thứ tự : II, 1, 4. Độ đo rời rạc : III, 1, 3. Phân tích thành tích phân con của một độ đo : V, 6, 6 và VI, 3, 1. Phân tích thành tích phân con, của một độ đo $\mu$ đối với một ánh xạ thực sự-$\mu$ : VI, 3, 1. Phân tích thành tích phân con, của một độ đo $\mu$ đối với một ảnh giả của $\mu$ : VI, 3, 3. Phân tích thành tích phân con, của một độ đo bởi một quan hệ tương đương đo được : VI, 3, 5. Phân phối của một dãy, giới hạn : III, 2, Bài tập 5. Miền của một khuếch tán, độ đo thuộc về : V, 3, 5.

Tích phân kép : III, 4, 1. Định lý Dunford–Pettis : VI, 2, 5. Định lý Egoroff : IV, 5, 4. Tập hợp đồng khả tích (của các hàm) : IV, 5, 11. Dãy phân bố đều (đối với một độ đo) : III, 2, Bài tập 5. Các hàm đồng đo được : IV, 5, Bài tập 29. Lớp tương đương của các hàm đối với một độ đo : IV, 2, 4, IV, 2, 5 và IV, 5, 2. Quan hệ tương đương, Hausdorff : VI, 3, 4. Quan hệ tương đương, đo được : VI, 3, 4. Các độ đo tương đương : V, 5, 6 và VI, 2, 8. Tương đương, $\mu$-tương đương (các hàm) : IV, 2, 4. Tích phân trên cốt yếu : V, 1, 1. Khả tích $\mu$ cốt yếu (tập hợp, hàm) : V, 1, 3. Hàm khả tích cốt yếu : V, 1, 3. Hàm khả tích cốt yếu, lũy thừa $p$ : V, 1, 3. Hàm khả tích cốt yếu, đối với một độ đo vectơ : VI, 2, 2. Hàm khả tích cốt yếu trên $A$ : V, 5, 3. Tập khai triển (phải-, trái-) của một hàm : V, 6, Bài tập 12. Điểm cực biên, $\mathscr{H}^-$ : IV, 7, 3. Hữu hạn hầu khắp nơi, hàm : IV, 2, 6. Dạng tuyến tính dương : II, 2, 1. Dạng tuyến tính bị chặn tương đối : II, 2, 2. Không gian có thứ tự dàn đầy đủ : II, 1, 3. Hàm chỉ phụ thuộc vào một số hữu hạn biến : III, 4, 6. Hàm, $\mu$-đo được trên $A$ : V, 5, 3. Hàm, được điều chỉnh bởi $\mu$ : V, 1, 2. Hàm, bước-$\Phi$ : IV, 4, 9. Hàm, lũy thừa $p$ khả tích cốt yếu : V, 1, 3. Hàm, lũy thừa $p$ khả tích : IV, 3, 4. Hàm, bị chặn theo độ đo : IV, 6, 2 và IV, 6, 3. Hàm, được xác định hầu khắp nơi : IV, 2, 5. Hàm, được xác định địa phương hầu khắp nơi : IV, 5, 2. Hàm, khả tích cốt yếu : V, 1, 3. Hàm, khả tích cốt yếu đối với một độ đo vectơ : VI, 2, 2. Hàm, khả tích cốt yếu trên $A$ : V, 5, 3. Hàm, hữu hạn hầu khắp nơi : IV, 2, 6. Hàm, có một tính chất theo vô hướng : VI, 1, 1. Hàm, khả tích, $\mu$-khả tích : IV, 4, 1. Hàm Lebesgue $n$-th : IV, 6, Bài tập 15.

Hàm, khả tích địa phương : V, 5, 1. Hàm, khả tích địa phương trên A : V, 5, 3. Hàm, không đáng kể địa phương, không đáng kể địa phương $\mu$ : IV, 5, 2. Hàm, bậc thang đo được : IV, 5, 5. Hàm, đo được, đo được $\mu$ : IV, 5, 1. Hàm, đo được, xác định trên một tập con đo được của X : IV, 5, 10 và V, 5, 3. Hàm, không đáng kể, không đáng kể $\mu$ : IV, 2, 1 và IV, 2, 4. Hàm, số : I, 1, 1, Chú thích. Hàm, khả tích cốt yếu theo vô hướng : V, 3, 1, VI, 1, 1 và VI, 2, 10. Hàm, khả tích tốt theo vô hướng : VI, 1, Bài tập 19. Hàm, bậc thang, bậc thang $\Phi$ : IV, 4, 9. Hàm, giá của : III, 1, 1. Hàm, đo được phổ quát : V, 3, 4. Hàm, đo được $\mu$ một cách mơ hồ : V, 3, 1. Hàm, liên tục một cách mơ hồ : V, 3, 1. Các hàm, đồng khả tích : IV, 5, 11. Các hàm, đồng đo được : IV, 5, Bài tập 29. Các hàm, tương đương, tương đương $\mu$ : IV, 2, 4. Tính chất (GDF) : VI, 1, 4. Định lý Gelfand–Dunford : VI, 1, 4. Phương pháp gò trượt : V, 5, Bài tập 13. Điểm cực biên $\mathscr{H}$ : IV, 7, 3. Bất đẳng thức Hölder : I, 2 và IV, 6, 4. Hệ trực chuẩn Haar : IV, 6, Bài tập 17. Bất đẳng thức Hardy : IV, 6, Bài tập 19. Quan hệ tương đương Hausdorff : VI, 3, 4. Ảnh của một độ đo : V, 6, 1, V, 6, 4 và VI, 2, 10. Phần ảo của một độ đo : III, 1, 5 và VI, 2, 8. Độ đo cảm sinh, trên một không gian con địa phương compact : IV, 5, 7 và VI, 2, 10. Độ đo cảm sinh, trên một tập con mở : III, 2, 1. Giới hạn quy nạp, của một hệ quy nạp các không gian lồi địa phương : xem giới hạn trực tiếp. Bất đẳng thức Hölder : I, 2 và IV, 6, 4. Bất đẳng thức Hardy : IV, 6, Bài tập 19. Bất đẳng thức M. Riesz : IV, 6, Bài tập 18. Bất đẳng thức Minkowski : I, 2 và IV, 3, 1. Bất đẳng thức trung bình : IV, 6, 2. Cận dưới lớn nhất : II, 1, 1, Chú thích.

Độ đo nội : IV, 4, Bài tập 7. Hàm khả tích : IV, 4, 1. Hàm khả tích, lũy thừa $p$-th : IV, 3, 4. Tập hợp khả tích, tập hợp khả tích $\mu$ : IV, 4, 5. Tích phân của một hàm trên $A$ (hoặc mở rộng đến $A$) : V, 5, 3. Tích phân của một ánh xạ khả tích cốt yếu theo vô hướng : V, 3, 1, VI, 1, 1 và VI, 2, 10. Tích phân của một hàm khả tích cốt yếu : V, 1, 3. Tích phân, kép : III, 4, 1. Tích phân, trên cốt yếu : V, 1, 1. Tích phân, dưới : IV, 4, Bài tập 5. Tích phân, bội, $n$-bộ : III, 4, 4. Tích phân, của một hàm số liên tục có giá compact : III, 1, 3. Tích phân, của một hàm số đối với một độ đo vectơ : VI, 2, 2. Tích phân, của một hàm giá trị vectơ đối với một độ đo dương : IV, 4, 1, V, 1, 3 và VI, 1, 1. Tích phân, của một hàm giá trị vectơ đối với một độ đo vectơ : VI, 2, 7. Tích phân, của một hàm liên tục yếu có giá compact theo vô hướng : III, 3, 1. Tích phân, của một hàm khả tích : IV, 4, 1. Tích phân, trên : IV, 1, 1, IV, 1, 3 và IV, 4, Bài tập 5. Tích phân từng phần : V, 8, Bài tập 9. Độ đo bất biến, dưới một đồng phôi : III, 1, 3. Ảnh ngược của một độ đo dưới một đồng phôi địa phương : V, 6, 6. Giới hạn ngược, của một hệ ngược các độ đo : III, 4, 5. Hệ ngược (của các độ đo) : III, 4, 5. Không gian con cô lập, của một không gian Riesz : II, 1, Bài tập 4. Định lý Krein : IV, 7, Bài tập 10. Không gian vectơ có thứ tự dàn : II, 1, 1. Ánh xạ tuyến tính dàn : II, 2, Bài tập 5. Hàm Lebesgue, thứ $n$ : IV, 6, Bài tập 15. Độ đo Lebesgue : III, 1, 3, III, 4, 1 và III, 4, 4. Định lý phân tích Lebesgue : V, 5, 7. Định lý Lebesgue : IV, 3, 7 và IV, 4, 3. Định lý Lebesgue–Fubini : V, 8, 4. Định lý Lebesgue–Nikodym : V, 5, 5. Tính chất nâng : VI, 2, 5. Phân phối giới hạn của một dãy : III, 2, Bài tập 5.

Giới hạn trên, giới hạn dưới, trong một không gian có thứ tự dàn đầy đủ : II, 1, Bài tập 9. Giới hạn, trực tiếp (hoặc quy nạp) : III, 1, 1. Giới hạn, ngược (hoặc xạ ảnh) : III, 4, 5. Giới hạn, của một lọc trong một không gian có thứ tự dàn đầy đủ : II, 1, Bài tập 9. Dạng tuyến tính, dương : II, 2, 1. Dạng tuyến tính, bị chặn tương đối : II, 2, 2. Nguyên lý địa phương hóa, cho các hàm đo được : IV, 5, 2. Nguyên lý địa phương hóa, cho các độ đo : III, 2, 1. Địa phương hầu khắp nơi : IV, 5, 2. Đếm được địa phương (họ các tập con) : IV, 5, 9. Họ địa phương đếm được của các hàm $\geq 0$ : V, 5, 4. Hàm khả tích địa phương : V, 5, 1. Hàm, khả tích địa phương trên $A$ : V, 5, 3. Hàm không đáng kể địa phương ($\mu$-không đáng kể) : IV, 5, 2. Tập không đáng kể địa phương, tập không đáng kể địa phương $\mu$ : IV, 5, 2. Tích phân dưới : IV, 4, Bài tập 5. Cặp thích nghi $\mu$ : V, 4, 1. Ánh xạ thích hợp $\mu$ : V, 3, 1 và VI, 1, 1, Chú thích. Trù mật $\mu$ (tập các tập compact) : IV, 5, 8. Các hàm tương đương $\mu$ : IV, 2, 4. Hàm khả tích $\mu$ : IV, 4, 1. Tập khả tích $\mu$ : IV, 4, 5. Cực đại $\mu$, cực tiểu $\mu$ : IV, 6, 2. Đo được $\mu$ (tập, hàm) : IV, 5, 1. Quan hệ tương đương đo được $\mu$ : VI, 3, 4. Điều hòa $\mu$ (hàm, tập con) : V, 1, 2. Hàm không đáng kể $\mu$ : IV, 2, 1 và IV, 2, 4. Tập không đáng kể $\mu$ : IV, 2, 2. Ánh xạ tiền thích hợp $\mu$ : V, 3, 1. Ánh xạ thực sự $\mu$ : V, 6, 1, V, 6, 4 và VI, 2, 10. Độ đo bị chặn bởi : VI, 2, 3. Ánh xạ, thích hợp $\mu$ : V, 3, 1. Ánh xạ, tiền thích hợp $\mu$ : V, 3, 1. Ánh xạ, thực sự $\mu$ (hoặc thực sự đối với $\mu$) : V, 6, 1, V, 6, 4 và VI, 2, 10. Ánh xạ, bảo toàn : V, 7, Bài tập 9. Ánh xạ, có giá compact theo vô hướng : III, 3, 1. Ánh xạ, liên tục yếu : III, 3, 1. Khối lượng, toàn phần, của một độ đo bị chặn : III, 1, 8 và IV, 4, 7. Các khối lượng, độ đo được xác định bởi : III, 1, 3.

Cực đại theo độ đo, $\mu$-cực đại : IV, 6, 2. Trung bình của một hàm : III, 1, 8. Trung bình cấp $p$, hội tụ theo : IV, 3. 3. Trung bình, hội tụ theo : IV, 3, 3. Trung bình, bất đẳng thức của : IV, 6, 2. Đo được (tập hợp, hàm) : IV, 5, 1. Quan hệ tương đương đo được : VI, 3, 4. Hàm đo được xác định trên một tập con đo được của X : IV, 5, 10 và V, 5, 3. Đo được trên A, hàm : IV, 5, 10 và V, 5, 3. Tiết diện đo được : VI, 3, 4. Hàm bậc thang đo được : IV, 5, 5. Độ đo thuộc miền của một khuếch tán : V, 3, 5. Độ đo tập trung trên một tập hợp : V, 5, 7. Độ đo của một tập khả tích : IV, 4, 5. Độ đo với cơ sở $\mu$ : V, 5, 2. Độ đo với mật độ $g$ (đối với $\theta$) : V, 5, 2. Độ đo, giá trị tuyệt đối của : III, 1, 6 và VI, 2, 8. Độ đo, nguyên tử : III, 1, 3. Độ đo, bị chặn : III, 1, 8 và VI, 2, 9. Độ đo, độ đo phức : III, 1, 3 và VI, 2, 8. Độ đo, liên hợp : III, 1, 5 và VI, 2, 8. Độ đo, xác định bởi một khối lượng đơn vị tại một điểm : III, 1, 3. Độ đo, xác định bởi các khối lượng : III, 1, 3. Độ đo, khuếch tán : V, 5, 10. Độ đo, Dirac : III, 1, 3. Độ đo, rời rạc : III, 1, 3. Độ đo, ảnh của : V, 6, 1, V, 6, 4 và VI, 2, 10. Độ đo, cảm sinh : III, 2, 1, IV, 5, 7 và VI, 2, 10. Độ đo, nội : IV, 4, Exer. 7. Độ đo, bất biến qua một phép đồng phôi : III, 1, 3. Độ đo, không chứa khối lượng nào trong một tập mở : III, 2, 2. Độ đo, Lebesgue : III, 1, 3, III, 4, 1 và III, 4, 4. Độ đo, chi phối được, $q$-chi phối được : VI, 2, 3. Độ đo, chuẩn của : III, 1, 8. Độ đo, ngoài : IV, 1, 2 và IV, 1, 4. Độ đo, điểm : III, 2, 4. Độ đo, dương : III, 1, 5. Độ đo, tích : III, 4, 1, III, 4, 4, III, 4, 6 và VI, 2, 10.

Độ đo, giả ảnh : VI, 3, 2. Độ đo, thương bởi một quan hệ tương đương : VI, 3, 5. Độ đo, thực : III, 1, 5 và VI, 2, 1. Độ đo, phần thực và phần ảo : III, 1, 5 và VI, 2, 8. Độ đo, vô hướng : VI, 2, 1. Độ đo, giá đỡ của : III, 2, 2. Độ đo, vectơ : VI, 2, 1. Độ đo, với mật độ $g$ đối với $\mu$ : III, 1, 4, V, 5, 2 và VI, 2, 8. Các độ đo, xa lạ : V, 5, 7. Các độ đo, tương đương : V, 5, 6 và VI, 2, 8. Cực tiểu theo độ đo, $\mu$-cực tiểu : IV, 6, 2. Bất đẳng thức Minkowski : I, 2 và IV, 3, 1. Hàm điều hòa, $\mu$- : V, 1, 2. Độ đo điều hòa : V, 1, 2. Tập con điều hòa, $\mu$- : V, 1, 2. Tích phân bội : III, 4, 4. Tích phân bộ $n$ : III, 4, 4. Hàm không đáng kể : IV, 2, 1 và IV, 2, 4. Tập không đáng kể : IV, 2, 2. Chuẩn của một khuếch tán : V, 3, 5. Chuẩn của một độ đo : III, 1, 8. Hàm số : I, 1, 1, Chú thích. Tích phân bội cấp $n$ : III, 4, 4. Hội tụ trung bình cấp $p$ : IV, 3, 3. Đều khả tích cấp $p$ của (tập hợp các hàm) : IV, 5, 11. Tổng trực tiếp có thứ tự : II, 1, 4. Dãy trực chuẩn, trong $\mathscr{L}^2$ : IV, 6, Exer. 15. Hệ trực chuẩn, Haar : IV, 6, Exer. 17. Độ đo ngoài : IV, 1, 2 và IV, 1, 4. Hàm khả tích lũy thừa $p$-th : IV, 3, 4. Các phần của một độ đo, thực và ảo : III, 1, 5 và VI, 2, 8. Hàm bậc thang $\Phi$ : IV, 4, 9. Độ đo điểm : III, 2, 4. Điểm, $\mathscr{H}$-cực trị : IV, 7, 3. Dạng tuyến tính dương : II, 2, 1. Độ đo dương : III, 1, 5. Ánh xạ tiền-thích hợp, $\mu$- : V, 3, 1. Nguyên lý địa phương hóa đối với các hàm đo được : IV, 5, 2. Nguyên lý địa phương hóa đối với các độ đo : III, 2, 1.

Tích của một họ các độ đo dương : III, 4, 6. Tích của một số hữu hạn các độ đo : III, 4, 4. Tích của một độ đo với một hàm liên tục : III, 1, 4. Tích của một độ đo với một hàm khả tích địa phương : V, 5, 2. Tích của hai độ đo : III, 4, 1 và VI, 2, 10. Giới hạn xạ ảnh, của một hệ xạ ảnh các độ đo : xem giới hạn ngược. Hệ xạ ảnh các độ đo : xem hệ ngược. Ánh xạ thực sự, $\mu^-$ : V, 6, 1, V, 6, 4 và VI, 2, 10. Tính chất (GDF) : VI, 1, 4. Tính chất đúng hầu khắp nơi : IV, 2, 3. Tính chất đúng địa phương hầu khắp nơi : IV, 5, 2. Tính chất, nâng : VI, 2, 5. Giả ảnh (lớp, độ đo) : VI, 3, 2. Độ đo $q$-chi phối được : VI, 2, 3. Tập bình phương được : IV, 5, Exer. 17. Hội tụ trung bình bình phương : IV, 3, 3. Hàm gần khả tích : IV, 5, Exer. 15. Tôpô gần mạnh : III, 1, Exer. 8. Độ đo thương, của một độ đo bởi một quan hệ tương đương : VI, 3, 5. Độ đo thực : III, 1, 5 và VI, 2, 1. Phần thực của một độ đo : III, 1, 5 và VI, 2, 8. Sắp xếp lại một hàm, giảm : IV, 5, Exer. 29. Lùi vô hạn theo một lọc : III, 2, 2. Dạng tuyến tính bị chặn tương đối : II, 2, 2. Hạn chế của một độ đo lên một tập con compact địa phương : IV, 5, 7 và VI, 2, 10. Hạn chế của một độ đo lên một tập mở : III, 2, 1. Không gian Riesz : II, 1, 1. Riesz, F., định lý của : II, 1, 5. Riesz, M., bất đẳng thức của : IV, 6, Exer. 18. Độ đo vô hướng : VI, 2, 1. Ánh xạ khả tích thiết yếu theo vô hướng : V, 3, 1, VI, 1, 1 và VI, 2, 10. Độ đo vectơ có cơ sở $\mu$ theo vô hướng : VI, 2, 5. Ánh xạ có giá đỡ compact theo vô hướng : III, 3, 1. Hàm khả tích tốt theo vô hướng : VI, 1, Exer. 19. Hàm có một tính chất theo vô hướng : VI, 1, 1. Tiết diện, đo được : VI, 3, 4. Tách được : IV, 2, 4, Chú thích. Dãy hội tụ hầu khắp nơi : IV, 2, 5. Dãy phân bố đều đối với một độ đo : III, 2, Exer. 5.

Chuỗi hội tụ hầu khắp nơi : IV, 2, 5. Hàm tập hợp, cộng tính : IV, 4, 9. Các lát cắt, phân tích thành (của một độ đo): V, 6, 6 và VI, 3, 1. Không gian, được sắp thứ tự theo dàn đầy đủ : II, 1, 3. Không gian Riesz : II, 1, 1. Hàm bậc thang : IV, 4, 9. Hàm bậc thang, $\Phi$ : IV, 4, 9. Hàm bậc thang, đo được : IV, 5, 5. Độ đo Stieltjes : V, 6, Bài tập 5. Không gian Stone : II, 1, Bài tập 13. Hội tụ compact nghiêm ngặt (trong không gian các độ đo) : III, 1, 10. Tập compact nghiêm ngặt, trong $\mathscr{K}(X;E)$ : III, 1, 1. Họ khả tổng của các độ đo dương : V, 2, 1. Giá của một hàm : III, 1, 1. Giá của một độ đo : III, 2, 2. Giá của một độ đo vectơ : VI, 2, 1. Cận trên đúng : II, 1, 1, Chú thích. Định lý Bishop : IV, 7, 5. Định lý về tính lồi đếm được : IV, 3, 2. Định lý Egoroff : IV, 5, 4. Định lý F. Riesz : II, 1, 5. Định lý Krein : IV, 7, Bài tập 10. Định lý Lebesgue : IV, 3, 7 và IV, 4, 3. Định lý, Dunford–Pettis : VI, 2, 5. Định lý, Gelfand–Dunford : VI, 1, 4. Định lý, phân tích Lebesgue : V, 5, 7. Định lý, Lebesgue–Fubini : V, 8, 4. Định lý, Lebesgue–Nikodym : V, 5, 5. Các định lý của Choquet : IV, 7, 2 và IV, 7, 6. Tôpô hội tụ compact, của hội tụ compact nghiêm ngặt (trên không gian các độ đo) : III, 1, 10. Tôpô hội tụ trung bình, trung bình cấp $p$, trung bình bậc hai : IV, 3. 3. Tôpô hội tụ theo độ đo : IV, 5, 11. Tôpô, gần mạnh : III, 1, Bài tập 8. Tôpô, siêu mạnh : III, 1, Bài tập 15. Tôpô, mơ hồ : III, 1, 9. Tổng khối lượng, của một độ đo bị chặn : III, 1, 8 và IV, 4, 7. Bộ tộc các tập con : IV, 4, 9, Chú thích.

Đúng hầu khắp nơi, tính chất : IV, 2, 3. Đúng địa phương hầu khắp nơi, tính chất : IV, 5, 2. Tôpô siêu mạnh : III, 1, Bài tập 15. Cấu trúc đều của hội tụ theo độ đo : IV, 5, 11. Đo được phổ quát (tập hợp, hàm) : V, 3, 4. Tích phân trên : IV, 1, 1, IV, 1, 3 và IV, 4, Bài tập 5. Tích phân trên, cốt yếu : V, 1, 1. Hội tụ mơ hồ : III, 1, 9. Tôpô mơ hồ : III, 1, 9. Hàm đo được $\mu$ theo nghĩa mơ hồ : V, 3, 1. Hàm liên tục theo nghĩa mơ hồ : V, 3, 1. Độ đo vectơ : VI, 2, 1. Độ đo vectơ với cơ sở $\mu$ : VI, 2, 4. Độ đo vectơ, $q$-trội được : VI, 2, 3. Độ đo vectơ, trội được : VI, 2, 3. Độ đo vectơ, theo vô hướng với cơ sở $\mu$ : VI, 2, 5. Độ đo vectơ, giá của : VI, 2, 1. Ánh xạ liên tục yếu : III, 3, 1. Khả tích theo vô hướng, : VI, 1, Bài tập 19.

Mục lục

Lời mở đầu ......................................................... ix

Chương I. — Các bất đẳng thức về tính lồi ......................... I.1 1. Bất đẳng thức cơ bản của tính lồi ............... I.1 2. Các bất đẳng thức Hölder và Minkowski ............. I.3 3. Các nửa chuẩn $N_p$ ................................. I.4 Bài tập Ch. I ................................................. I.6 Ghi chú lịch sử .................................................... I.8

Chương II. — Các không gian Riesz ....................................... II.1 §1. Các không gian Riesz và các không gian được sắp thứ tự theo dàn đầy đủ ........ II.1 1. Định nghĩa các không gian Riesz ............................. II.1 2. Sinh của một không gian Riesz bởi các phần tử dương của nó ... II.3 3. Các không gian được sắp thứ tự theo dàn đầy đủ ............................ II.4 4. Các không gian con và các không gian tích của các không gian được sắp thứ tự theo dàn đầy đủ ............................................. II.5 5. Các băng trong một không gian được sắp thứ tự theo dàn đầy đủ ................. II.6 §2. Các dạng tuyến tính trên một không gian Riesz .......................... II.9 1. Các dạng tuyến tính dương trên một không gian Riesz ............... II.9 2. Các dạng tuyến tính bị chặn tương đối ....................... II.10 Bài tập cho §1 .................................................. II.15 Bài tập cho §2 .................................................. II.19

Chương III. — Các độ đo trên các không gian compact địa phương ... III.1 §1. Các độ đo trên một không gian compact địa phương .................. III.1 1. Các hàm liên tục có giá compact ............. III.1 2. Các tính chất xấp xỉ ............................... III.4 3. Định nghĩa một độ đo ............................... III.7 4. Tích của một độ đo với một hàm liên tục ....... III.10 5. Các độ đo thực. Các độ đo dương ...................... III.11 6. Giá trị tuyệt đối của một độ đo phức ................. III.13 7. Định nghĩa một độ đo bằng mở rộng ................. III.15

8. Các độ đo bị chặn ............................................. III.16 9. Topo mờ trên không gian các độ đo ............... III.18 10. Hội tụ compact trong $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ .................. III.21

§2. Giá của một độ đo ............................................. III.23 1. Hạn chế một độ đo vào một tập mở. Định nghĩa một độ đo bằng các dữ liệu địa phương .................. III.23 2. Giá của một độ đo ............................................. III.25 3. Đặc trưng hóa giá của một độ đo .......... III.27 4. Các độ đo điểm. Các độ đo có giá hữu hạn .......... III.29 5. Các độ đo rời rạc ............................................. III.31

§3. Các tích phân của các hàm vectơ liên tục ............ III.32 1. Định nghĩa tích phân của một hàm vectơ ........... III.32 2. Các tính chất của tích phân vectơ ..................... III.34 3. Các tiêu chuẩn để tích phân thuộc E ................. III.37 4. Các tính chất liên tục của tích phân ................... III.39

§4. Tích của các độ đo ............................................. III.40 1. Tích của hai độ đo ............................... III.40 2. Các tính chất của các độ đo tích ........................... III.44 3. Tính liên tục của các độ đo tích ........................... III.47 4. Tích của một số hữu hạn các độ đo .................. III.48 5. Giới hạn nghịch đảo của các độ đo ............................... III.50 6. Tích vô hạn của các độ đo ............................ III.53 Bài tập cho §1 .................................................. III.55 Bài tập cho §2 .................................................. III.59 Bài tập cho §3 .................................................. III.60 Bài tập cho §4 .................................................. III.60

CHƯƠNG IV. — MỞ RỘNG CỦA MỘT ĐỘ ĐO. CÁC KHÔNG GIAN $L^p$ ....... IV.1

§1. Tích phân trên của một hàm dương ....................... IV.1 1. Tích phân trên của một hàm dương nửa liên tục dưới ............................................. IV.1 2. Độ đo ngoài của một tập hợp mở ............................. IV.4 3. Tích phân trên của một hàm dương ................... IV.6 4. Độ đo ngoài của một tập hợp tùy ý ....................... IV.10

§2. Các hàm và tập hợp không đáng kể ............................... IV.11 1. Các hàm dương không đáng kể ............................ IV.11 2. Các tập hợp không đáng kể ............................................. IV.12 3. Các tính chất đúng hầu khắp nơi ...................... IV.12

4. Các lớp hàm tương đương ......................... IV.13 5. Các hàm được xác định hầu khắp nơi ................. IV.15 6. Các lớp tương đương của các hàm nhận giá trị trong $\overline{\mathbf{R}}$ ..... IV.16

§3. Các không gian $L^p$ ............................................. IV.18 1. Bất đẳng thức Minkowski .................................. IV.18 2. Các bán chuẩn $N_p$ ................................. IV.19 3. Các không gian $\mathscr{F}_F^p$ .......................... IV.20 4. Các hàm khả tích lũy thừa bậc $p$ .................. IV.23 5. Các tính chất của các hàm khả tích lũy thừa bậc $p$ .... IV.25 6. Các tập có hướng trong $L^p$ và các dãy tăng trong $\mathscr{L}^p$ .. IV.27 7. Định lý Lebesgue ...................................... IV.30 8. Các quan hệ giữa các không gian $\mathscr{L}_F^p$ ($1 \leq p < +\infty$) ..... IV.31

§4. Các hàm và tập hợp khả tích ............................ IV.32 1. Mở rộng của tích phân ............................... IV.32 2. Các tính chất của tích phân ............................. IV.34 3. Chuyển qua giới hạn trong các tích phân ..................... IV.36 4. Các đặc trưng của các hàm số khả tích ... IV.37 5. Các tập hợp khả tích ........................................ IV.41 6. Các tiêu chuẩn khả tích của một tập hợp ............... IV.43 7. Các đặc trưng của các độ đo bị chặn .................. IV.46 8. Tích phân theo một độ đo có giá compact .................................................. IV.47 9. Các lớp và các hàm tập hợp cộng tính ....................... IV.50 10. Xấp xỉ các hàm liên tục bằng các hàm bậc thang ..................................................... IV.52 11. Mở rộng của một độ đo được xác định trên một họ các tập hợp ... IV.53

§5. Các hàm và tập hợp đo được ............................ IV.59 1. Định nghĩa các hàm và tập hợp đo được .......... IV.59 2. Nguyên lý định xứ. Các tập hợp không đáng kể địa phương ...... IV.61 3. Các tính chất sơ cấp của các hàm đo được ........ IV.63 4. Giới hạn của các hàm đo được .......................... IV.64 5. Các tiêu chuẩn đo được ............................. IV.66 6. Các tiêu chuẩn khả tích .............................. IV.71 7. Độ đo cảm sinh trên một không gian con compact địa phương ........ IV.73 8. Các họ compact trù mật theo $\mu$ ................. IV.76 9. Các phân hoạch đếm được địa phương ........................... IV.77 10. Các hàm đo được được xác định trên một tập hợp con đo được .. IV.78 11. Hội tụ theo độ đo ............................... IV.80 12. Một tính chất của sự hội tụ mơ hồ ....................... IV.86

§6. Các bất đẳng thức lồi ............................................. IV.89 1. Định lý lồi ............................................. IV.89 2. Bất đẳng thức của giá trị trung bình ............................................. IV.90 3. Các không gian $L_F^\infty$ ............................................. IV.91 4. Bất đẳng thức Hölder ............................................. IV.93 5. Ứng dụng: các quan hệ giữa các không gian $L_F^p$ ($1 \leq p \leq +\infty$) ............................................. IV.98

§7. Các trọng tâm ......................................................... IV.101 1. Định nghĩa các trọng tâm ............................................. IV.101 2. Các điểm cực trị và các trọng tâm ............................................. IV.102 3. Ứng dụng: I. Các không gian vectơ của các hàm thực liên tục ............................................. IV.106 4. Ứng dụng: II. Các không gian vectơ của các hàm phức liên tục ............................................. IV.110 5. Ứng dụng: III. Các đại số của các hàm liên tục .... IV.111 6. Tính duy nhất của các biểu diễn tích phân ................. IV.115

Các Bài tập của §1 .......................................................... IV.118 Các Bài tập của §3 .......................................................... IV.120 Các Bài tập của §4 .......................................................... IV.120 Các Bài tập của §5 .......................................................... IV.127 Các Bài tập của §6 .......................................................... IV.134 Các Bài tập của §7 .......................................................... IV.142

CHƯƠNG V. — Tích phân của độ đo .................................... V.1

§1. Tích phân trên cốt yếu ............................................. V.2 1. Định nghĩa của tích phân trên cốt yếu ................. V.2 2. Các hàm bị chặn và các độ đo .......................... V.4 3. Các hàm khả tích cốt yếu ............................. V.7 4. Một tính chất đặc biệt của tích phân trên cốt yếu ...... V.10

§2. Các họ khả tổng của các độ đo dương ....................... V.11 1. Định nghĩa của các họ khả tổng của các độ đo ............. V.11 2. Tích phân đối với một tổng các độ đo dương . V.12 3. Phân tích một độ đo thành một tổng các độ đo với giá đỡ compact ............................................. V.14

§3. Tích phân của các độ đo dương ................................. V.15 1. Các hàm có giá trị trong một không gian các độ đo ............. V.15 2. Các tích phân chồng chất của các hàm dương ............. V.20 3. Các tích phân chồng chất của các hàm có giá trị trong một không gian Banach ............................................. V.24

4. Universally measurable functions ......................... V.25 5. Diffusions .................................................. V.26 6. Composition of bounded diffusions ....................... V.29

§4. Tích phân của các độ đo điểm dương ................. V.31 1. Các họ độ đo điểm ............................. V.31 2. Các tích phân trên của các hàm dương đối với một tích phân của các độ đo điểm ......................... V.33 3. Tính đo được đối với một tích phân của các độ đo điểm .................................................... V.35 4. Tích phân của các hàm có giá trị trong một không gian Banach, đối với một tích phân của các độ đo điểm .......... V.37

§5. Các độ đo được xác định bởi các mật độ số ................. V.38 1. Các hàm khả tích địa phương ............................ V.38 2. Các độ đo được xác định bởi các mật độ số ................. V.40 3. Tích phân đối với một độ đo được xác định bởi một mật độ ..................................................... V.42 4. Tính chất của tích đối với các phép toán thông thường ..................................................... V.45 5. Đặc trưng hóa các độ đo có cơ sở $\mu$ ........ V.48 6. Các độ đo tương đương ...................................... V.52 7. Các độ đo xa lạ ........................................... V.54 8. Các áp dụng: I. Đối ngẫu của các không gian $L^p$ .......... V.56 9. Các áp dụng: II. Các hàm của độ đo ................. V.60 10. Các độ đo khuếch tán; các độ đo nguyên tử ..................... V.61

§6. Ảnh của một độ đo ....................................... V.62 1. Ảnh của một độ đo dương ............................ V.62 2. Tích phân đối với ảnh của một độ đo dương .................................................. V.64 3. Các tính chất của ảnh của một độ đo dương ........ V.65 4. Ảnh của một độ đo phức ............................. V.68 5. Áp dụng: thay đổi biến trong tích phân Lebesgue ....................................................... V.69 6. Phân tích thành các lát. Ảnh ngược của một độ đo dưới một đồng phôi địa phương ....................... V.71

§7. Tích phân đối với một độ đo cảm sinh .......... V.74 1. Tích phân đối với một độ đo cảm sinh ........ V.74 2. Các tính chất của các độ đo cảm sinh .......................... V.77

§8. Tích các độ đo ............................................. V.79 1. Giải thích độ đo tích như một tích phân của các độ đo ............................................. V.79 2. Các hàm đo được đối với tích của hai độ đo ............................................. V.81 3. Tích phân của các hàm dương ............................................. V.83 4. Tích phân của các hàm có giá trị trong một không gian Banach ............................................. V.87 5. Các phép toán trên tích của hai độ đo ............... V.89 6. Tích phân đối với một tích hữu hạn các độ đo ............................................. V.91 7. Áp dụng: Độ đo của quả cầu Euclid trong $\mathbf{R}^n$ ...... V.93 Các Bài tập của §1 ............................................. V.94 Các Bài tập của §2 ............................................. V.95 Các Bài tập của §3 ............................................. V.96 Các Bài tập của §4 ............................................. V.99 Các Bài tập của §5 ............................................. V.99 Các Bài tập của §6 ............................................. V.107 Các Bài tập của §7 ............................................. V.112 Các Bài tập của §8 ............................................. V.114 Ghi chú lịch sử ............................................. V.123

CHƯƠNG VI. — Tích phân vectơ ......................... VI.1

§1. Tích phân của các hàm nhận giá trị vectơ .................. VI.1 1. Các hàm khả tích theo vô hướng ....................... VI.2 2. Các tính chất của tích phân của một hàm khả tích theo vô hướng ............................................. VI.5 3. Tích phân của các toán tử ............................................. VI.7 4. Tính chất (GDF) ............................................. VI.9 5. Các ánh xạ đo được và các ánh xạ đo được theo vô hướng ............................................. VI.12 6. Ứng dụng: I. Mở rộng một hàm liên tục sang một không gian các độ đo ............................................. VI.13 7. Ứng dụng: II. Mở rộng, sang một không gian các độ đo, một hàm liên tục nhận giá trị trong một không gian các toán tử ............................................. VI.15

§2. Các độ đo vectơ ............................................. VI.18 1. Định nghĩa của một độ đo vectơ ....................... VI.18 2. Tích phân theo một độ đo vectơ ........ VI.20 3. Các độ đo vectơ có thể khống chế .......................... VI.22

4. Các độ đo vectơ có cơ sở $\mu$ ......................... VI.25 5. Định lý Dunford–Pettis ................................. VI.27 6. Đối ngẫu của không gian $L^1_F$ (F là một không gian Banach tách được .................................................. VI.32 7. Tích phân của một hàm có giá trị vectơ đối với một độ đo vectơ ............................................. VI.33 8. Các độ đo phức ............................................. VI.34 9. Các độ đo phức bị chặn ................................. VI.37 10. Ảnh của một độ đo phức; độ đo phức cảm sinh; tích của các độ đo phức ............................ VI.39

§3. Phân rã của các độ đo ........................................ VI.40 1. Phân rã của một độ đo $\mu$ tương đối với một ánh xạ $\mu$-thực sự .................................................. VI.40 2. Các độ đo ảnh giả ........................................ VI.44 3. Phân rã của một độ đo $\mu$ tương đối với một ảnh giả của $\mu$ .................................................. VI.45 4. Các quan hệ tương đương đo được .......................... VI.46 5. Phân rã của một độ đo bởi một quan hệ tương đương đo được .................................................. VI.50

Phụ lục: Bổ sung về các không gian vectơ tôpô ........ VI.52 1. Các dạng song tuyến tính và các ánh xạ tuyến tính ....................... VI.52 2. Một số kiểu không gian có tính chất (GDF) ....... VI.54

Bài tập cho §1 .................................................. VI.56 Bài tập cho §2 .................................................. VI.62 Bài tập cho §3 .................................................. VI.69 Ghi chú lịch sử .................................................. VI.72 Chỉ mục ký hiệu ............................................... 451 Chỉ mục thuật ngữ ........................................... 455